专题1 函数与导数 第3讲 导数的简单应用-【名师带你过关】2027年数学高中总复习专题复习

第3讲　导数的简单应用 真题感悟 1.A　解析：f'（x）=，所以f'（0）=3，所以曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程为y-1=3（x-0），即3x-y+1=0，切线与两坐标轴的交点分别为（0，1），，所以切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为×1×=，故选A. 2.C　解析：方法一：由题意，得f'（x）=aex-，∴f'（x）=aex-≥0在区间（1，2）上恒成立，即a≥在区间（1，2）上恒成立.设函数g（x）=，x∈（1，2），则g'（x）=-<0，∴函数g（x）在区间（1，2）单调递减.∴∀x∈（1，2），g（x）<g（1）==e .∴a≥e ，∴a的最小值为e .故选C. 方法二：∵函数f（x）=aex-ln x，∴f'（x）=aex-. ∵函数f（x）=aex-ln x在区间（1，2）单调递增，∴f'（x）≥0在（1，2）恒成立，即aex-≥0在（1，2）恒成立，易知a>0，则0<≤xex在（1，2）恒成立.设g（x）=xex，则g'（x）=（x+1）ex.当x∈（1，2）时，g'（x）>0，g（x）单调递增，∴在（1，2）上，g（x）>g（1）=e，∴≤e，即a≥=， 故选C. 3.ACD　解析：对A，因为函数f（x）的定义域为R，而f'（x）=2（x-1）（x-4）+（x-1）2=3（x-1）·（x-3），易知当x∈（1，3）时，f'（x）<0，当x∈（-∞，1）或x∈（3，+∞）时，f'（x）>0，故函数f（x）在（-∞，1）上单调递增，在（1，3）上单调递减，在（3，+∞）上单调递增，故x=3是函数f（x）的极小值点，A正确；对B，当0<x<1时，x-x2=x（1-x）>0，所以x>x2，又函数f（x）在（0，1）上单调递增，所以f（x）>f（x2），B错误；对C，当1<x<2时，1<2x-1<3，而由上可知，函数f（x）在（1，3）上单调递减，所以f（1）>f（2x-1）>f（3），即-4<f（2x-1）<0，C正确；对D，由2-x-x=2-2x，又-1<x<0，故2-2x>0，所以f（2-x）-f（x）=（1-x）2（-2-x）-（x-1）2（x-4）=（x-1）2（2-2x）>0，D正确.故选ACD. 4.4　解析：方法一：对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1，因为直线y=2x+5是曲线的切线，直线的斜率为2，令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0，将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5，所以切点坐标为（0，5），因为切点（0，5）在曲线y=ex+x+a上，所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4.故答案为4. 方法二：对于y=ex+x+a，其导数为y'=ex+1， 假设y=2x+5与y=ex+x+a的切点为， 则解得a=4.故答案为4. 重难攻坚 例1　（1）A　解析：方法一：设直线y=kx+b与曲线y=ln x的切点坐标为（x1，y1），直线y=kx+b与曲线y=-ln（-x）的切点坐标为（x2，y2），对y=ln x求导得y'=，对y=-ln（-x）求导得y'=-·（-1）=-，所以有 得得所以k==. 故选A. 方法二：对于A，对y=ln x求导得y'=，令=k=，得x=e，又ln e=1，所以曲线y=ln x在点（e，1）处的切线方程为y-1=（x-e），即y=x，同理得曲线y=-ln（-x）在点（-e，-1）处的切线方程为y=x，故A正确，故选A. （2）2　解析：因为函数f（x）=，求导得f'（x）=，依题意得消去a，得=，而>0，解得x0=2. 跟踪演练1 1.A　解析：由题意知f'（x）=2x+2a+，因为曲线y=f（x）在点A，B处的切线都与直线x+2y=0垂直，所以切线斜率都是2，即关于x的方程f'（x）=2x+2a+=2有两个不相等的正实数根，化简得x2-（1-a）x+=0有两个不相等的正实数根，则解得a<1-. 2.A　解析：设切点为（x0，（-2x0+2）），由f（x）=ex（x2-2x+2）可得f'（x）=x2ex，则切线的斜率k=，所以切线方程为y-（-2x0+2）=（x-x0），代入原点（0，0）得-+2x0-2=0，故（x0-1）+2（x0-1）=0，即（x0-1）（+2）=0，解得x0=1，故过坐标原点的切线共有1条. 例2　A　解析：由题可得f（x+1）-5=x3+sin x，所以f（-x+1）-5=（-x）3+sin （-x）=-x3-sin x，即有f（x+1）-5+f（-x+1）-5=0，即f（x+1）=10-f（1-x），故不等式f（2x+1）+f（1-x）≥10等价于f（2x+1）≥f（x+1），又f'（x）=3（x-1）2+cos（x-1），当x∈时，cos（x-1）≥0，故f'（x）>0，当x∈∪时，3（x-1）2>3×>1，cos（x-1）∈［-1，1］，故f'（x）>0，即f'（x）>0恒成立，故f（x）在R上单调递增，故由f（2x+1）≥f（x+1）可得2x+1≥x+1，即x≥0. 跟踪演练2　解析：（1）因为f（x）=x［1-ln（kx）］，k≠0，所以f'（x）=-ln（kx），f（x）在x=e处的切线与直线y=x垂直，所以f'（e）=-ln（ke）=-1，解得k=1. （2）由f（x）=x［1-ln（kx）］得f'（x）=-ln（kx），k≠0，当k>0时，f（x）的定义域为（0，+∞），令f'（x）=0得x=，当x∈时，f'（x）>0，当x∈时，f'（x）<0，所以f（x）在上单调递增，在上单调递减； 当k<0时，f（x）的定义域为（-∞，0），令f'（x）=0得x=，当x∈时，f'（x）<0，当x∈时，f'（x）>0，所以f（x）在上单调递减，在上单调递增. 综上所述，当k>0时，f（x）在上单调递增，在上单调递减；当k<0时，f（x）在上单调递减，在上单调递增. 例3　B　解析：f'（x）=3x2-2ax+1，是开口向上的二次函数，因为函数f（x）=x3-ax2+x+1没有极值点，则f'（x）≥0，所以Δ=4a2-12≤0，解得-≤a≤ ，所以a的取值范围是［-，］.故选B. 跟踪演练3　-4　解析：设f（x1）=g（x2）=m，m∈R，则x1=，x2=m-2，x2-2x1=m-2-2.令h（x）=x-2-2，则h'（x）=1-，令h'（x）>0，解得x<0，所以h（x）在（-∞，0）上单调递增，令h'（x）<0，解得x>0，所以h（x）在（0，+∞）上单调递减，h（x）max =h（0）=-4，所以x2-2x1的最大值为-4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3讲　导数的简单应用 1.导数的几何意义和计算是导数应用的基础,是高考的热点,多以选择题、填空题的形式考查,难度较小. 2.在选择、填空题中会继续考查切线方程的求法及应用,利用导数研究函数的单调性、极值、最值及应用,注意构造法的应用. 1.(2024·全国甲卷理)(导数的几何意义)设函数f(x)=,则曲线y=f(x)在点(0,1)处的切线与两坐标轴所围成的三角形的面积为 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.　　　　 B. C.　　　　 D. 2.(2023·新高考Ⅱ卷)(函数单调性的应用)已知函数f(x)=aex-ln x在区间(1,2)上单调递增,则实数a的最小值为 (　　) A.e2 B.e C. D. 3.(多选)(2024·新高考Ⅰ卷)(求函数的单调区间、极值)设函数f(x)=(x-1)2(x-4),则 (　　) A.x=3是f(x)的极小值点 B.当0<x<1时,f(x)<f(x2) C.当1<x<2时,-4<f(2x-1)<0 D.当-1<x<0时,f(2-x)>f(x) 4.(2025·新高考Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的切线,则a=　　　　　　.  考点一　导数的几何意义 (1)函数在x=x0处的导数即曲线在点(x0,f(x0))处的切线的斜率. (2)曲线在某点的切线与曲线过某点的切线不同. (3)切点既在切线上,又在曲线上. 例1　 (1)已知直线y=kx+b既是曲线y=ln x的切线,也是曲线y=-ln(-x)的切线,则(　　) A.k=,b=0 B.k=1,b=0 C.k=,b=-1 D.k=1,b=-1 (2)已知函数f(x)=,若曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程为ax-y=0,则x0的值为　　.  求曲线y=f(x)的切线方程的三种类型及方法 (1)已知切点P(x0,y0),求切线方程:求出切线的斜率f'(x0),由点斜式写出方程. (2)已知切线的斜率k,求切线方程:设切点为P(x0,y0),通过方程k=f'(x0)解得x0,再由点斜式写出方程. (3)已知切线上一点(非切点),求切线方程:设切点为P(x0,y0),利用导数求得切线斜率f'(x0),再由斜率公式求得切线斜率,列方程(组)解得x0,再由点斜式或两点式写出方程. 跟踪演练1 1.已知函数f(x)=(x+a)2+ln x的图象上存在不同的两点A,B,使得曲线y=f(x)在点A,B处的切线都与直线x+2y=0垂直,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1-) B.(1-,0) C.(-∞,1+) D.(0,1+) 2.过坐标原点作曲线f(x)=ex(x2-2x+2)的切线,则切线共有 (　　) A.1条 B.2条 C.3条 D.4条 考点二　利用导数研究函数的单调性 利用导数研究函数单调性的步骤: (1)求函数y=f(x)的定义域. (2)求f(x)的导数f'(x). (3)求出f'(x)的零点,划分单调区间. (4)判断f'(x)在各个单调区间内的符号. 例2　已知函数f(x)=(x-1)3+sin(x-1)+5,则不等式f(2x+1)+f(1-x)≥10的解集为 (　　) A.[0,+∞)　　　 B.[1,+∞)　　 C.[2,+∞)　　　 D.[3,+∞) 利用导数比较大小或解不等式的策略 　　利用导数比较大小或解不等式,常常要构造新函数,把比较大小或解不等式的问题,转化为利用导数研究函数单调性问题,再由单调性比较大小或解不等式. 跟踪演练2 已知函数f(x)=x[1-ln(kx)]. (1)若f(x)在x=e处的切线与直线y=x垂直,求实数k的值. (2)讨论f(x)的单调性. 考点三　利用导数研究函数的极值与最值 利用导数研究函数极值与最值的方法: (1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解. (3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,从而得到函数的最值. 例3　已知函数f(x)=x3-ax2+x+1没有极值点,则a的取值范围是 (　　) A.(-,) B.[-,] C.(-∞,-) D.[,+∞) 利用导数研究函数极值与最值的方法 (1)若求极值,则先求方程f'(x)=0的根,再检查f'(x)在方程根的左右函数值的符号. (2)若已知极值大小或存在情况,则转化为已知方程f'(x)=0根的大小或存在情况来求解. (3)求函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值时,在得到极值的基础上,结合区间端点的函数值f(a),f(b)与f(x)的各极值进行比较,从而得到函数的最值. 跟踪演练3 已知函数f(x)=2ln x,g(x)=x+2,若f(x1)=g(x2),则x2-2x1的最大值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $