18.1 分式及其基本性质 导学案2026-2027学年人教版数学八年级上册

人教版数学八年级上册 · 第十八章 分式 · 18.1 分式及其基本性质（导学案） 第十八章 分式 18.1 分式及其基本性质 · 导学案 2026—2027学年 人教版数学 八年级上册 姓名：____________ 班级：____________ 日期：____________ 第十八章 分式 · 第 1 节 · 3 课时 · 教材 P137—P145 小学学过分数，七年级学过整式与因式分解。这一节要把"分数"的样子放大到含字母的一般情形：分数的分子、分母都是具体的数，把其中的数换成字母，样子没变，名字却换了——叫分式。整节内容都是照着分数办：分数有什么性质，分式就有什么性质；分数怎么约分、怎么通分，分式就怎么约分、怎么通分。 照着分数办，是这一节最省力的思路。每遇到一个新问题，先回头想分数是怎么做的：分数的分母能不能为 0？分数的分子、分母同乘或同除以同一个不为 0 的数，值变不变？分数怎样才能化成最简？把这些规矩一条条搬过来，只多留一个心眼——分式的分母里含有字母，字母取什么值，会让分母变成 0。 学习目标 1. 知道什么叫分式：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式；在分式 中，A 叫作分子，B 叫作分母。 2. 会判断一个式子是分式还是整式：只看分母里有没有字母。 3. 会求分式有意义的条件（分母不为 0）、无意义的条件（分母为 0）、值为 0 的条件（分子为 0 且分母不为 0）。 4. 理解分式的基本性质：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变，即 = ， = ，其中 A、B、C 是整式，C≠0。 5. 会用分式的基本性质把分式的分子、分母中的各项系数化为整数，会按性质给分式变形，也会改变分子、分母的符号。 6. 知道什么叫约分、什么叫最简分式：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分；分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。 7. 知道什么叫通分、什么叫最简公分母：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分；取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 学习重点与难点 项目 内容 学习重点 分式的概念，以及"分母里含有字母"这一条判断标准；分式有意义、无意义、值为 0 的条件；分式的基本性质，以及由它得到的约分与通分；最简分式与最简公分母 学习难点 第一，判断分式与整式只看一处——分母里有没有字母，不能只看式子"像不像"， 的分母里只有数 3，它是整式，而 的分子虽然含字母，整个式子仍是整式；第二，π 是一个具体的数，不是字母，所以 不是分式；第三，求有意义的条件时要把分母看成一个整体，分母是 (x - y) 时条件是 x≠y，不能拆成 x 与 y 各自不等于 0；第四，分式的值为 0 要两个条件同时满足，由分子为 0 定出字母的取值以后，还必须回头检查分母是不是也变成了 0，变成 0 的那个值要舍去；第五，基本性质里只有乘或除以，不能给分子、分母同加或同减同一个整式；第六，约分要先分解因式再看公因式，公因式要整段约去，不能把某一项单独划掉；第七，通分的关键是最简公分母，各分母的所有因式都要取到，并取最高次幂 课时与教材页码 课时 教材页码 这一课时要弄明白的事 打勾 第 1 课时　从分数到分式 P138—P139 从三个情境列式，与分数比样子，得到分式的概念；按"分母里有没有字母"判断分式与整式；求分式有意义、无意义、值为 0 的条件；课本 P139 例 1，课本 P139—P140 练习 第 1—4 题 ○ 第 2 课时　分式的基本性质 P140—P142 类比分数的基本性质得到分式的基本性质；会用基本性质填空、变形，把分子、分母中的各项系数化为整数；课本 P140 例 2、课本 P141 例 3，课本 P141—P142 练习 ○ 第 3 课时　约分与通分 P142—P144 用基本性质定义约分与最简分式、通分与最简公分母；会约分、会通分；课本 P142 例 4、课本 P143 例 5，课本 P144 练习 第 1—4 题；完成《习题18.1》 ○ 本节正文从课本 P137 第十八章章首图开始，到 P145 结束。本节的内容几乎都是在与分数对照着走，每走一步先问一句：分数在这一处是怎么做的。 开场六问 1. 把 的分子、分母都换成字母，写成 ，这个式子就叫作 ______。 2. 填空：如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有 ______，那么式子 叫作分式；在分式 中，A 叫作 ______，B 叫作 ______。 3. 分数的分母能不能为 0？为什么？想一想，分式的分母呢？ 4. 填空：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值 ______；这条性质与分数的基本性质 ______（填"一样"或"不一样"）。 5. 计算： = = ______；再把结果与 比一比，值变了没有？ 6. 想一想： 与 哪一个是分式？为什么？学完这一节再回来对一对。 我的热身答案: 【预习提醒】第 1 题：分式。第 2 题：字母；分子；分母。第 3 题：不能为 0，分母为 0 时这个式子没有意义；分式的分母表示除数，除数不能为 0，所以分式的分母也不能为 0。第 4 题：不变；一样。第 5 题： = ，值没有变——分子、分母同乘了一个不为 0 的数。第 6 题： 是分式，因为它的分母里含有字母； 是整式，它的分母里只有数 3，没有字母。 一、认一认 · 分式长什么样 先把分式的样子认出来。课本从三个实际情境里各列了一个式子，把它们与小学学的分数摆在一起看：样子几乎一样，都是"分子在上、分数线居中、分母在下"；不一样的只有一处——分母那一层写的还是不是一个具体的数。 认样子是这一节的第一件事。往后所有的判断与运算，第一眼都要落在这个问题上：这个式子的分母里，有没有字母。 1. 分数与分式的样子（如图 1）：左边是分数，右边是分式，两边都是三段，不一样的只有分母那一处。 图 1 分数与分式的样子：三段一样，分母那一处不一样 对着图看两件事：① 两边的三段各是什么；② 分式与分数真正不一样的是哪一处。看明白了这一处，分式的概念就抓住了一半。 2. 从三个情境列式子（如图 2）：课本用一块长方形的菜地、一条越野滑雪的滑道、江上的一条轮船，各引出一个式子。 图 2 从分数到分式的三个情境 对着图看：三个情境里列出来的式子，分母那一层写的不再是数。先把式子列出来，再回头看分母那一处有什么不一样——这一步正是分式与分数的分界。 3. 式子的两类（如图 3）：把式子按分母分成两类，一类分母里只有数，一类分母里含有字母。 图 3 式子的两类：分母是数 与 分母含字母 对着图看：两类的分界只看分母那一处。分母里含有字母的，就是分式；分母里只有数的，仍是整式。 4. 分式的概念（课本 P139）：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式。在分式 中，A 叫作分子，B 叫作分母。 分式要同时满足三个条件：① 形如 的样子；② A 与 B 都是整式；③ 分母 B 中含有字母。三个条件里，第 ③ 条是分式的"身份证"——判断一个式子是不是分式，只看分母里有没有字母。要留心两处：π 是一个具体的数，不是字母，所以 的分母里没有字母，它是整式；式子中含有多项时，只要有一项的分母里含有字母，整个式子也是分式，比如 1 + 。 5. 分数与分式摆在一起，对着表把该看的地方逐处比一遍。 看的地方 分数 分式 三段的样子 分子在上、分数线居中、分母在下 分子在上、分数线居中、分母在下 分子 一个具体的数 一个整式 分母 一个具体的数，不能为 0 一个整式，含有字母，不能为 0 值不变的依据 分子与分母同乘（或同除以）一个不为 0 的数 分子与分母同乘（或同除以）一个不为 0 的整式 6. 辨一辨：下列各式中，哪些是分式？哪些是整式？（照课本 P139—P140 练习 第 2 题抄题完成。） 我的判断与理由: 【判断提醒】判断只看一处：分母里有没有字母。要特别注意三个容易看走眼的地方： 的分母里只有数 3，它是整式； 的分母里是 π，π 是一个具体的数，它也是整式；- 整体带着一个负号，负号不影响判断，它的分母里含有字母，是分式。 7. 想一想：同一个式子，把它写成分数形式还是写成除法算式，会不会影响它是分式还是整式的判断？ 我的想法: 8. 自主小结：用一句话说清分式与分数的相同点与不同点；再说说判断一个式子是不是分式，只需要看哪一处。 我的小结: 二、守一守 · 分母不为 0 分式与分数最要紧的一处差别，就在分母。分数的分母是一个具体的数，是不是 0 一眼能看出来；分式的分母里含有字母，字母取不同的值，分母就可能变成 0。分母一旦变成 0，这个分式就没有意义了。所以拿到一个分式，第一件事往往是问一句：分母里的字母要满足什么条件。 这一处的规矩仍然照分数办：分数的分母不能为 0，分数才有意义；分数要等于 0，分子必须是 0，而分母照样不能为 0。把这两条搬过来，就是分式的三条结论。 1. 分母与分子的三处（如图 4）：分母管的是分式有没有意义，分子管的是分式的值会不会是 0。 图 4 分母与分子的三处：有意义、无意义、值为 0 对着图看三处：① 分母不为 0 时，分式才有意义；② 分母为 0 时，分式没有意义；③ 分子为 0，是分式的值等于 0 的一个前提，还得同时保证分母不为 0。 2. 三条结论（课本 P139）：对于分式 ，当 B≠0 时，分式有意义；当 B=0 时，分式无意义；当 A=0 且 B≠0 时，分式的值为 0。 这三条里最容易被漏掉的是最后一条。分式的值为 0，光有分子为 0 还不够——分母必须同时不为 0。原因很简单：分母一旦为 0，这个分式本身就没有意义了，一个没有意义的式子谈不上"值等于 0"。所以解题时是两步：先由分子为 0 求出字母的取值，再把这个取值代回分母验一验，让分母为 0 的那个值要舍去。 3. 例题（课本 P139 例 1）：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。 分析与解答：分式有意义，只要分母不为 0，所以把每一题的分母单独拿出来，让它不等于 0。 (1) 要使 有意义，分母 3x≠0，即 x≠0。 (2) 要使 有意义，分母 x - 1≠0，即 x≠1。 (3) 要使 有意义，分母 5 - 3b≠0，即 b≠。 (4) 要使 有意义，分母 x - y≠0，即 x≠y。 【解题提醒】四道小题的动作完全一样：让分母不等于 0，再解出那个条件。第 (1) 小题 3x≠0 只要 x≠0；第 (3) 小题别写成 b≠5，5 - 3b≠0 解出来是 b≠；第 (4) 小题的条件要写成 x≠y，不能拆成 x 与 y 各自不等于 0，因为分母是一个整体 x - y。 我的例题解答: 4. 想一想：分式的值为 0 的时候，分母能不能为 0？为什么？ 我的想法: 5. 即时练习（课本 P139—P140 练习 第 3 题）：下列分式中的字母满足什么条件时分式有意义？（六道小题，照课本 P139—P140 练习 第 3 题抄题计算。） 我的练习答案: 【解题提醒】六道小题都是同一句话：让分母不等于 0。答案依次是 a≠0；x≠1；m≠-；x≠y；a≠；x≠-2。解题时盯住分母里字母所在的那一处，第 (3)(5) 两道小题的分母是两项的式子，解出来的条件是一个不等关系，不是一个数；第 (6) 道小题的分母是 x 加 2，条件是 x≠-2，别写成 2。 6. 自主小结：把分式有意义、无意义、值为 0 的三个条件各写一句；再说说"值为 0"为什么要多看分母一眼。 我的小结: 三、立一立 · 分式的基本性质 分数的基本性质在小学就学过：分数的分子与分母同乘（或同除以）一个不为 0 的数，分数的值不变。分式与分数的样子一样，规矩也一样，只是把"同一个数"换成了"同一个整式"。这条性质立起来以后，约分与通分才有依据。 搬这条性质的时候，要额外补上一句话：乘或除以的那个整式不等于 0。因为整式里可以含有字母，字母取值一变，这个整式就可能变成 0；而给分子、分母同乘 0 或同除以 0，式子的值就保不住了。 1. 基本性质要看的三处（如图 5）：分子、分母要同时动；两边乘或除以的是同一个整式；这个整式不为 0。 图 5 分式的基本性质要看的三处 对着图看三处：① 分子、分母同时乘或同时除以，不能只动一处；② 乘或除以的是同一个整式；③ 这个整式不为 0。三处都对上，分式的值才不变。 2. 分式的基本性质（课本 P140）：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。即 = ， = ，其中 A、B、C 都是整式，C≠0。 这条性质与分数的基本性质是同一条，只多了"整式"两个字与"C≠0"这一句。做题时要养成一个习惯：每做一次变形，先问自己三句——分子、分母是不是都动了？动的是不是同一个整式？这个整式会不会取到 0？三句都答得上来，这一步才站得住。 3. 例题（课本 P140 例 2）：下列等式，从左到右是怎样运用分式的基本性质变形的？(1) = （c≠0）；(2) = 。 分析与解答：(1) 分式的分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变。(2) 分式的分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变。 【解题提醒】看清两件事：从左到右，分子、分母是不是同时动了；动的那个整式是什么，它等不等于 0。第 (1) 小题乘的是 c，题目专门给出了 c≠0；第 (2) 小题除的是 x，x 本来就在分母里出现过，它本身不能为 0，所以不必另加条件。 我的例题解答: 4. 例题（课本 P141 例 3）：填空：(1) = ；(2) = ；(3) = ；(4) = 。 分析与解答：看分母怎么变，就想分子怎么变；看分子怎么变，就想分母怎么变。 (1) 分母 x 变成 2xy，是乘了 2y，所以分子 1 也乘 2y，括号里填 2y。 (2) 分子 x 变成 y，是除以了 xy，所以分母 y 也除以 xy，括号里填 x。 (3) 分母 m - n 变成 ，是乘了 m - n，所以分子 2m 也乘 m - n，括号里填 2 - 2mn。 (4) 分子 ab + 分解得 b(a + b)，分母 a + b 分解得 b(ab + 1)，分子、分母同除以 b（b≠0），括号里填 ab + 1。 【解题提醒】这一步的口诀是"看一处，想另一处"：分母变了几倍，分子就跟着变几倍。第 (4) 小题要先分解因式，才看得出分子、分母公有的那个 b；题目给出 b≠0，正是为了让"同除以 b"这一步站得住。 我的例题解答: 5. 想一想：第 (1) 小题为什么要给出 c≠0，而第 (2) 小题不给出 x≠0？ 我的想法: 6. 即时练习（课本 P141—P142 练习）：照课本抄题完成——第 1 题是判断各等式从左到右的变形是否正确；第 2 题是用基本性质填空；第 3 题是不改变分式的值，把分子、分母中的各项系数都化为整数，并使分子、分母的最高次项的系数都为正数。 我的练习答案: 【解题提醒】三类小题都盯着"同乘或同除"这一条：变形正确的前提是分子、分母动的是同一个整式，而且那个整式不为 0。第 3 题有一个常用手法——把分子、分母同时乘一个适当的数或乘 -1，各项系数就都化成整数、最高次项的符号也翻过来了，而分式的值不变。 7. 自主小结：把分式的基本性质说一遍；再说说它与分数的基本性质"一样"在哪里、多出的一句话是什么。 我的小结: 四、缩一缩 · 约分与最简分式 基本性质立起来以后，马上就有两个用处：一个把式子往小里收，一个把分母往齐里排。先看往小里收的那一个。分数的约分是把分子、分母的公因数约去，分式的约分一模一样，只是把公因数换成了公因式。 这一处的门槛不在"约"，而在"找"：分子、分母都是多项式的时候，得先各自分解因式，公因式才露得出来。所以约分的第一步往往不是约，而是分解。 1. 约分的样子（如图 6）：分子、分母里的公因式同时约去，剩下的两段就不再含有这个公因式。 图 6 约分的样子：分子、分母同除以公因式 对着图看：左边一个分式，分子、分母里都有同一个因式 C；把 C 同时约去，右边的分式里分子、分母各少乘一个 C，分式的值没有变。 2. 约分与最简分式（课本 P142）：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分；分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。约去分子、分母所有的公因式，所得的结果是最简分式或者整式。 约分用的就是基本性质，只是把"同除以同一个整式"这一步做到底。要留心两处：第一，分子、分母都是多项式时，先各自分解因式，才看得清公因式是什么；第二，公因式可以是一个数、一个字母，也可以是一整段，约的时候要把这一整段整体约去，不能把分子、分母里的某一项单独划掉。 3. 例题（课本 P142 例 4）：约分：(1) ；(2) ；(3) 。 分析与解答：(1) 分子、分母的公因式是 5abc，所以原式 = -。(2) 分子 - 9 = (x + 3)(x - 3)，分母 + 6x + 9 = ，公因式是 x + 3，所以原式 = 。(3) 分子 6 - 12xy + 6 = 6，分母 3x - 3y = 3(x - y)，公因式是 3(x - y)，所以原式 = 2(x - y)。 【解题提醒】三道小题的手法一样：先分解，再找公因式，最后整段约去。第 (1) 小题的分子带着负号，约分以后负号留在分式前面；第 (2)(3) 小题的看点在分解—— + 6x + 9 要写成 ，6 - 12xy + 6 要先提出 6 写成 6，分解不出来就看不清公因式。 我的例题解答: 4. 即时练习（课本 P142—P144 练习 第 2 题）：约分：(1) ；(2) 。 分析与解答：(1) 分子、分母的公因式是 ab，所以原式 = ac。(2) 分子、分母的公因式是 8，所以原式 = 。 我的练习答案: 5. 想一想：分式约分以后的结果可以是整式吗？试举一个例子。 我的想法: 【补充说明】可以。比如 约分以后得 ac，分子、分母的公因式被整段约去，剩下的就是一个整式。课本上写的是"结果是最简分式或者整式"，两种都算约到底了。 6. 自主小结：约分的第一步是什么？为什么说"先分解，再约分"？ 我的小结: 五、排一排 · 通分与最简公分母 再看基本性质的第二个用处：把几个分母不一样的分式，各自化成与原来相等的同分母分式。这一步在分数里叫通分，在分式里也叫通分。它的用处很实在——分母一样了，几个分式的大小与加减才好比较、才好合并。 通分的关键全在一个分母上：几个分母的公分母取哪一个。取小了不行，取大了也不算错但式子会变长，所以课本专门给了一个名字，叫作最简公分母。 1. 通分的样子（如图 7）：几个分母不一样的分式，各自变成与原来相等的同分母分式。 图 7 通分的样子：分母不一样 → 分母一样 对着图看：左边的两个分式分母不同，右边的两个分式分母一样；从左边到右边，每个分式的分子、分母都乘了适当的整式，每个分式的值都没有变。 2. 通分与最简公分母（课本 P142）：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分。通分时，取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 找最简公分母分两种情形。分母是单项式时，系数取各系数的最小公倍数，字母取各字母的最高次幂，乘起来就是最简公分母。分母是多项式时，先把每个分母分解因式，再把每一个因式取最高次幂，乘起来；同一个因式在两个分母里都出现，只取一次，取最高次幂那一个。 3. 约分与通分摆在一起比（如图 8）：一个往小里收，一个往齐里排，依据却是同一条性质。 图 8 约分与通分摆在一起比：一个收小，一个排齐 对着图看两处：① 约分是把分子、分母同除以公因式，把式子收小；② 通分是把各分式同乘适当的整式，把分母对齐。两个动作的依据都是分式的基本性质，都要求乘或除的那个整式不为 0。 4. 例题（课本 P143 例 5）：通分：(1) 与 ；(2) 与 。 分析与解答：(1) 两个分母都是单项式，系数 2 与 3 的最小公倍数是 6，字母取最高次幂，所以最简公分母是 6c。 = ， = 。 (2) 先把两个分母分解因式： - 25 = (x + 5)(x - 5)，2x + 10 = 2(x + 5)，所以最简公分母是 2(x + 5)(x - 5)。 = ， = 。 【解题提醒】通分的关键一步是最简公分母。第 (2) 小题两个分母都含有因式 (x + 5)，取一次就够，不必写两遍；系数 2 也要跟着取进去，写成 2(x + 5)(x - 5)。定了公分母以后，回头看每个分母"乘了什么"，分子也照着乘同样的整式，这一步就是基本性质。 我的例题解答: 5. 即时练习（课本 P144 练习 第 3 题）：通分：(1) 与 ；(2) 与 。 分析与解答：(1) 最简公分母是 10c。(2) 最简公分母是 24。 6. 即时练习（课本 P144 练习 第 4 题）：把 、、 通分时，各分母所乘的单项式依次是 ______，最简公分母是 ______。 分析与解答：分母所乘的单项式依次是 6、4x、3y，最简公分母是 12x。 我的练习答案: 7. 自主小结：约分与通分都用分式的基本性质，它们各自"动"的是什么？各举一个例子。 我的小结: 六、查一查 · 易错、作业与自我评价 一节的内容学完，先把最容易踩的几处集中查一遍。本节的办法不多，可判断的"看一处"与运算前的"验一遍"特别容易省掉，所以出错也特别集中。下面把最常见的七处列成三栏：错法、错在哪里、怎么改。做题时若有一道怎么算都不顺，回来对一对。 查完以后再动手做作业。本节作业分两层：第一层是课本《习题18.1》的复习巩固与综合运用，人人必做；第二层是拓广探索与自编的分层练习，量力选做。 错法 错在哪里 怎么改 ① 只看式子"像不像"就给判断 把 当成分式，因为它是分数形式 判断只看一处：分母里有没有字母， 的分母里只有数 3，它是整式 ② 把 π 当成字母 认为 是分式 π 是一个具体的数，不是字母， 的分母里没有字母，它是整式 ③ 求有意义的条件时只看一处 给 只写上 x≠0 分母是一个整体，条件是 x - y≠0，即 x≠y ④ 求值为 0 时漏看分母 由分子为 0 定出字母的值就收手 值为 0 要两个条件同时满足：分子为 0 且分母不为 0，代回去验一遍 ⑤ 给分子、分母同加或同减 写成 = 基本性质只有乘或除以，同加、同减都会改变分式的值 ⑥ 约分时把某一项单独划掉 把 里的 直接划去 先把分子、分母各自分解，公因式要整段约去，结果是 ⑦ 通分时漏取某个因式 与 只取 (x + 5) 当公分母 最简公分母取各分母所有因式的最高次幂的积，应为 2(x + 5)(x - 5) 自查：上面的七条里，本节你做错过的有哪几条？把序号写下来，再各写一句"下一次怎么躲开它"。 我的易错自查: 【自查提醒】七条里，第 ③ 条与第 ④ 条最隐蔽。第三条错在把分母的两项拆开看，式子写出来一点不别扭，却从一开始就错了；第四条错在提前收手，少验一回分母。养成两个小习惯：写条件之前先把分母整段圈出来；求完值为 0 的取值以后，把分母再算一遍。这两步各花几秒钟，却能把这两类错都挡住。 评价项目 自评 能说出分式的概念，并按"分母里有没有字母"判断分式与整式 ○ 知道 π 是数不是字母，能把 与 分开 ○ 会求分式有意义、无意义、值为 0 的条件 ○ 能说出分式的基本性质，并说清它与分数的基本性质的联系与差别 ○ 会用分式的基本性质给分式变形、填空，并说清条件从哪来 ○ 会把分子、分母中的各项系数化为整数，并会改变分子、分母的符号 ○ 会约分，并知道结果要化成最简分式或者整式 ○ 会求最简公分母，并会通分 ○ 学习反思：写两句——这一节里哪一步你用着最顺？哪一处最容易踩坑，还需要再练几道题？ 我的学习反思: 作业安排（课本《习题18.1》在课本 P144—P145，共 12 题） 层次 题目范围 要求 打勾 必做 复习巩固 第 1—5 题（课本 P144） 全做，写在作业本上，过程写完整 ○ 必做 综合运用 第 6—8 题（课本 P145） 全做；第 7、8 两题先把要求读两遍再动笔 ○ 选做 拓广探索 第 9—12 题（课本 P145） 量力选做，第 11、12 题可作为探究性作业 ○ 《习题18.1》全览（课本 P144—P145，共 12 题） 题号 教材页码 这一题要做什么 打勾 第 1 题 P144 复习巩固：用分式表示三个情境里的数量关系，并判断是不是分式 ○ 第 2 题 P144 复习巩固：把给出的各式分成整式与分式两类 ○ 第 3 题 P144 复习巩固：求各分式中字母满足什么条件时分式有意义 ○ 第 4 题 P144 复习巩固：判断两个分式是否相等，并说出变形的依据 ○ 第 5 题 P144 复习巩固：不改变分式的值，把分子、分母的符号整理好 ○ 第 6 题 P145 综合运用：约分，分子、分母是多项式的先分解因式 ○ 第 7 题 P145 综合运用：求各组分式的最简公分母 ○ 第 8 题 P145 综合运用：用分式表示打字速度与所用时间的关系 ○ 第 9 题 P145 拓广探索：用分式表示玉米与水稻的单位面积产量 ○ 第 10 题 P145 拓广探索：由四块场地的面积求大长方形的宽 ○ 第 11 题 P145 拓广探索：在什么条件下分式的值为 0 ○ 第 12 题 P145 拓广探索：由 a - = 1 先化简，再求 x 的值 ○ 分层练习 A 组（必做·把概念与条件用熟） 1. 辨一辨：下列各式中哪些是分式？哪些是整式？，，，，，。 2. 填空：当 x 满足什么条件时，下列分式有意义？(1) ；(2) ；(3) 。 3. 用分式的基本性质填空：(1) 把 的分子、分母同乘 3a，所得的式子是 ______；(2) 把 的分子、分母同乘 2x，所得的式子是 ______。 我的 A 组解答: B 组（选做·把约分与通分用上） 1. 当 x 取什么值时，分式 的值为 0？ 2. 约分：(1) ；(2) 。 3. 通分：(1) 与 ；(2) 与 。 4. 不改变分式的值，把 的分子、分母中的各项系数都化为整数。 我的 B 组解答: C 组（挑战·先整理再判断） 1. 已知 = 3，求 的值。 2. 当 x 取什么值时，分式 的值为 0？ 3. 把分式 中的 x、y 都扩大为原来的 2 倍，分式的值变不变？说明理由。 4. 先约分再求值：，其中 x = 3。 我的 C 组解答: 【挑战提醒】C 组四道小题都藏了一步"先整理"。第 1 小题把 x = 3y 代进去以后，分子、分母都含有 ，约去即可。第 2 小题有两步：先由分子为 0 得 x = 3 或 x = -3，再把两个值各自代回分母，让分母为 0 的那个值要舍去。第 3 小题把两个字母同时扩大 2 倍以后，分子、分母里 2 的个数一样多，约掉以后分式的值不变。第 4 小题先把分子、分母分解再约分，最后代值，比直接代入数算快得多。 七、参考答案 （一）学习目标与开场六问 （1）第 1 题：分式。第 2 题：字母；分子；分母。 （2）第 3 题：分数的分母不能为 0，为 0 时式子没有意义；分式的分母也一样，表示除数，除数不能为 0，所以分式的分母不能为 0。 （3）第 4 题：不变；一样（分式的基本性质与分数的基本性质是同一条，只多了"整式"与"这个整式不等于 0"）。 （4）第 5 题： = ，值没有变。 （5）第 6 题： 是分式，它的分母里含有字母 x； 是整式，它的分母里只有数 3。判断只看一处：分母里有没有字母。 （二）认一认 · 分式长什么样 （1）分式的概念：一般地，如果 A、B 表示两个整式，并且 B 中含有字母，那么式子 叫作分式；A 叫作分子，B 叫作分母。 （2）分式的三个条件：形如 的样子；A 与 B 都是整式；分母 B 中含有字母。 （3）判断分式与整式（课本 P139—P140 练习 第 2 题）：分式有 、、、、；整式有 、。详见课本 P139—P140 练习 第 2 题。 （4）易看走眼的两处： 的分母里只有数 3，是整式； 的分母里是 π，π 是一个具体的数，也是整式。式子中含有多项时，只要有一项的分母里含有字母，整个式子就是分式，如 1 + 。 （5）小结示例：分式与分数样子相同，都是分子在上、分数线居中、分母在下；不同点只在分母那一处——分式的分母里含有字母。判断一个式子是不是分式，只看分母里有没有字母。 （三）守一守 · 分母不为 0 （1）三条结论：对于分式 ，当 B≠0 时，分式有意义；当 B=0 时，分式无意义；当 A=0 且 B≠0 时，分式的值为 0。 （2）例题（课本 P139 例 1）：(1) 3x≠0，即 x≠0；(2) x - 1≠0，即 x≠1；(3) 5 - 3b≠0，即 b≠；(4) x - y≠0，即 x≠y。 （3）最容易被漏掉的一条：值为 0 时光有分子为 0 不够，分母必须同时不为 0；把由分子定出的取值代回分母验一遍，让分母为 0 的那个值要舍去。 （4）练习（课本 P139—P140 练习 第 3 题）：依次是 a≠0；x≠1；m≠-；x≠y；a≠；x≠-2。 （5）小结示例：有意义——分母不为 0；无意义——分母为 0；值为 0——分子为 0 且分母不为 0。值为 0 要多看分母一眼，因为分母一旦为 0，分式本身就没有意义，谈不上值等于 0。 （四）立一立 · 分式的基本性质 （1）分式的基本性质（课本 P140）：分式的分子与分母乘（或除以）同一个不等于 0 的整式，分式的值不变。即 = ， = ，其中 A、B、C 都是整式，C≠0。 （2）要看的三处：分子、分母同时乘或同时除以；乘或除以的是同一个整式；这个整式不为 0。 （3）例题（课本 P140 例 2）：(1) 分子与分母乘同一个不等于 0 的整式 c，分式的值不变；(2) 分子与分母除以同一个不等于 0 的整式 x，分式的值不变。 （4）例题（课本 P141 例 3）：(1) 填 2y；(2) 填 x；(3) 填 2 - 2mn；(4) 填 ab + 1。 （5）为什么第 (1) 小题给出 c≠0 而第 (2) 小题不给出 x≠0：c 是这一步乘上去的整式，它必须不为 0；x 本来就出现在分母里，它本身就不能为 0，条件已经包含在题目里了。 （6）练习（课本 P141—P142 练习）：第 1 题判断各等式从左到右的变形是否正确——错的都是"分子、分母没有动同一个整式"；第 2 题用基本性质填空，口诀是"看一处，想另一处"；第 3 题把分子、分母同乘一个适当的数，把各项系数化为整数，再必要时同乘 -1，使最高次项的系数为正。 （7）小结示例：分式的基本性质与分数的基本性质是同一条，一样在"分子、分母同时、同乘或同除、值不变"，多出的一句话是"乘或除的那个整式不等于 0"。 （五）缩一缩 · 约分与最简分式 （1）约分与最简分式（课本 P142）：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫作分式的约分；分子与分母没有公因式的分式，叫作最简分式。约去所有的公因式以后，结果是最简分式或者整式。 （2）例题（课本 P142 例 4）：(1) 原式 = -；(2) 原式 = ；(3) 原式 = 2(x - y)。 （3）练习（课本 P142—P144 练习 第 2 题）：(1) 原式 = ac；(2) 原式 = 。 （4）小结示例：约分的第一步是分解因式，把分子、分母各看成一个整体；分解出来才看得清公因式是什么，公因式要整段约去，不能把某一项单独划掉。约分的结果可以是整式，例如 = ac。 （六）排一排 · 通分与最简公分母 （1）通分与最简公分母（课本 P142）：把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫作分式的通分；取各分母的所有因式的最高次幂的积作公分母，它叫作最简公分母。 （2）约分与通分的比较：约分是把分子、分母同除以公因式，把式子收小；通分是把各分式同乘适当的整式，把分母对齐；两个动作的依据都是分式的基本性质。 （3）例题（课本 P143 例 5）：(1) 最简公分母是 6c， = ， = ；(2) 最简公分母是 2(x + 5)(x - 5)， = ， = 。 （4）练习（课本 P144 练习 第 3 题）：(1) 最简公分母是 10c；(2) 最简公分母是 24。 （5）练习（课本 P144 练习 第 4 题）：分母所乘的单项式依次是 6、4x、3y，最简公分母是 12x。 （6）小结示例：约分"动"的是分子、分母里的公因式，把式子收小，如 = ac；通分"动"的是各分式的分子、分母，乘上适当的整式把分母对齐，如 与 都化成公分母 ab。 （七）查一查 · 易错清单与自我评价 （1）七条依次是：只看式子"像不像"就给判断；把 π 当成字母；求有意义的条件时只看一处；求值为 0 时漏看分母；给分子、分母同加或同减；约分时把某一项单独划掉；通分时漏取某个因式。 （2）最隐蔽的两条是"求有意义的条件时只看一处"与"求值为 0 时漏看分母"。写条件之前先把分母整段圈出来；求完值为 0 的取值以后，把分母再算一遍。 （3）自我评价：逐项对照评价表打勾；没有打勾的项目，就回到对应的课时，把那一处重看一遍，再把那一栏的练习重做一遍。 （八）作业 ·《习题18.1》与分层练习 （1）习题18.1 第 1 题（课本 P144）：(1) 万字，是分式；(2) 步行用 2x h，骑车所用时间比步行所用时间的一半少 0.2 h，即 (x - 0.2) h，速度为 km/h，是分式；(3) 甲完成一项工作需 t h，乙完成同样工作比甲少用 1 h，乙的工作效率为 ，是分式。 （2）习题18.1 第 2 题（课本 P144）：整式有 x - 1、、(x + y)、；分式有 、、、、。 （3）习题18.1 第 3 题（课本 P144）：(1) x≠3；(2) x≠-；(3) x 为任意实数（因为 + 1 恒大于 0）；(4) x≠±4。 （4）习题18.1 第 4 题（课本 P144）：(1) 相等， = = ，分子、分母同乘 2y；(2) 相等， = = ，分子、分母同除以 3a。 （5）习题18.1 第 5 题（课本 P144）：(1) = ；(2) - = -；(3) = -；(4) - = 。 （6）习题18.1 第 6 题（课本 P145）：(1) = ；(2) = ；(3) = 3a + b；(4) = 。 （7）习题18.1 第 7 题（课本 P145）：(1) 最简公分母 6；(2) 最简公分母 3；(3) 最简公分母 2；(4) 最简公分母 (2m + 3)(2m - 3)。 （8）习题18.1 第 8 题（课本 P145）：第一天打字 120w 字，还剩 (12000 - 120w) 字；第二天每分打 (w + 10) 个字，所用时间是 分钟，即 h。 （9）习题18.1 第 9 题（课本 P145）：玉米的单位面积产量为 ；水稻的种植面积为 (m + p)，总产量为 (2n + q)，单位面积产量为 。 （10）习题18.1 第 10 题（课本 P145）：四块场地的面积和为 + + 2ab = ，大长方形的宽为 ÷ 2(a + b) = 。（四块场地的拼法见课本 P145 第 10 题的图） （11）习题18.1 第 11 题（课本 P145）：(1) 由分子 3 - 12 = 0 得 x = ±2，其中 x = -2 使分母 + 4x + 4 = 0，应舍去，所以 x = 2；(2) 由分子 5a - b = 0 得 b = 5a，且 a + b≠0，即 a≠-b，所以当 b = 5a 且 a≠-b 时，分式的值为 0。 （12）习题18.1 第 12 题（课本 P145）：已知 a - = 1，且 = 1，求 x 的值。由 a - = 1，两边同乘 a（a≠0），得 - 1 = a，即 = a + 1。分母 - a = a( - 1) = a·a = = a + 1；分子里的 = = = + 2a + 1 = 3a + 2，所以 2 - 3x + 2 = 6a + 6 - 3(a + 1)x = 6(a + 1) - 3(a + 1)x = (a + 1)(6 - 3x)，于是 = 6 - 3x。由 6 - 3x = 1 得 x = 。 （13）A 组第 1 题：分式有 、、、；整式有 、。A 组第 2 题：(1) x≠0；(2) x≠-4；(3) x 为任意实数（因为 + 1 恒大于 0）。A 组第 3 题：(1) 填 2ab；(2) 填 x。 （14）B 组第 1 题：由分子 - 4 = 0 得 x = ±2，其中 x = -2 使分母 x + 2 = 0，应舍去，所以 x = 2。B 组第 2 题：(1) 原式 = = ；(2) 原式 = = 。 （15）B 组第 3 题：(1) 最简公分母 ， = ， = ；(2) 最简公分母 (x + 2)(x - 2)， = ， = 。B 组第 4 题：分子、分母同乘 10，得 。 （16）C 组第 1 题：由 = 3 得 x = 3y，代入得 = 12。C 组第 2 题：由分子 - 9 = 0 得 x = ±3，其中 x = 3 使分母 - 6x + 9 = 0，应舍去，所以 x = -3。 （17）C 组第 3 题：把 x、y 都扩大为原来的 2 倍，原式变为 = ，与原来的值一样，所以分式的值不变。C 组第 4 题：原式 = = ，当 x = 3 时，原式 = = 。 — 2026—2027学年 · 班级 ______ 姓名 ______ — 学科网（北京）股份有限公司 $