第五单元 第05 课时 探索规律 —— 路程中的数量关系（教学设计）数学人教版五年级上册（新教材）

第五单元 第5课时 探索规律—路程中的数量关系 教学设计 课程基本信息: 学科·版本 数学·人教版 授课班级 授课教师 年 级 学 期 单 元 五用字母表示数和数量关系 课 题 第5课时 探索规律—路程中的数量关系 一、教材内容分析 1. 知识内涵 （1）单元地位： 本课时是人教版五年级上册第五单元简易方程第 4 课时，学生已经掌握数字、字母相乘简写规则，会用字母表示简单公式、基础数量模型。本节课以小明一家乘坐复兴号旅游的现实生活情境为载体，按照教材 “阅读理解 — 分析解答 — 回顾反思” 的例题流程展开教学，探索分段路程情境下变量之间的复合数量关系，是学生代数思维进一步推进的关键课时。引导学生读懂情境信息，借助线段图整理数量，从两种不同解题角度归纳等价的字母表达式，巩固字母简写、代入求值；同时沟通乘法分配律与字母运算之间的联系，完成从简单静态数量关系到复合动态数量关系的跨越，为后续列方程解决复杂实际问题、初中代数运算学习奠定基础。若学生不能读懂分段情境、不会借助几何直观拆解数量关系、不理解运算定律同样适用于字母式子，后续复杂列方程、代数式化简学习会产生思维障碍。 （2）教材编排逻辑： 教材以复兴号高铁出行的生活情境引入，依托甲站‑乙站‑丙站分段行驶的现实素材，搭配线段图直观呈现两段路程；遵循**阅读理解→分析解答→回顾反思→试一试**的例题结构。“阅读理解” 提取已知条件与所要解决的问题；“分析解答” 借助线段图，从 “总时间 × 速度”“两段路程相加” 两条路径推导字母关系式，沟通乘法分配律，得到两组等价的字母表达式；“回顾反思” 代入具体数值验证两个关系式结果一致；“试一试” 完成正向代入求值，巩固字母式子化简。 整体学习路径：旧知回顾（字母表示数、路程基本数量关系、乘法分配律）→阅读理解提取信息→分析解答探究复合数量关系、建立模型→回顾反思验证模型→试一试应用模型，符合小学生从具体到抽象、由已知迁移未知的认知发展规律。 （3）编排特点 ①新旧衔接：立足简单字母表示数、路程基本公式、整数乘法分配律旧知，依托高铁分段行驶现实情境，把简单静态字母表达式学习延伸到复合等价字母关系式，降低抽象复合数量关系的理解门槛； ②流程清晰：遵循教材例题 “阅读理解‑分析解答‑回顾反思” 完整流程，完整经历解决数学问题的全过程； ③表达递进：从读取情境信息，看懂线段图，写具体算式，再抽象到两种等价字母关系式s=320(a+b)、s=320a+320b，经历 “具体数字→算式→字母符号” 递进，不直接灌输公式，依靠图形观察、多角度列式对比归纳得到； ④重视模型建构：把高铁分段路程现实问题抽象成路程字母数学模型，既可以已知a、b正向代入求总路程s，也能读懂两种等价表达式，体会运算定律对字母式子的化简价值； ⑤逻辑层层递进：读取信息→线段图拆解数量→多角度列式推导字母关系式→对比验证等价关系→回顾反思验证规律→代入求值练习，练习分层，兼顾情境信息提取、模型书写、运算定律迁移、代入求值，落实知识迁移综合运用。 2.素养内涵 本课时重点落实符号意识、模型意识、几何直观、运算能力、应用意识、推理意识**小学数学核心素养。 （1）符号意识：经历用字母a、b表示两段行驶时间，s表示总路程，建构关系式s=320(a+b)与s=320a+320b的全过程；理解字母可以代表变化的数量，感受符号对复合变化规律的概括性、简洁性；巩固含有字母式子书写、代入求值的方法。 （2）模型意识：依托高铁分段行驶情境，建立路程 = 速度×时间的数学模型；能用两种字母式子表达同一段总路程；读懂、使用模型解决分段行程现实问题，遇到同类分段求和情境尝试抽象对应字母关系式。 （3）几何直观：借助线段图标注站点、时间、路程，把文字情境转化为图形，直观拆解总路程由两段路程合成，借助图形理解两种列式思路的由来，降低复合数量关系抽象难度。 （4）推理意识：从同一个情境出发得到两个不同形式字母式子，通过代入具体数值举例验证二者相等（归纳推理）；迁移整数乘法分配律到字母运算，推导出两个式子等价（演绎推理），发展逻辑推理，感受数学结论需要验证的严谨性。 （5）运算能力：在字母式子对比、代入模型求值练习中，巩固四则运算，理解运算定律同样适用于字母，体会字母式子化简，提升代数运算准确性与灵活性。 （6）应用意识：从高铁旅游生活场景出发发现数学规律，运用路程模型解决各类分段行程真实问题，体会数学和生活紧密联系。 二、教学目标： 知识能力： 1. 按照阅读理解、分析解答、回顾反思的例题探究流程，经历分段路程情境的探究过程，巩固字母式子书写、代入求值方法；能提取分段情境数学信息，借助线段图分析复合数量关系，抽象写出等价的字母数量关系式；理解乘法分配律在字母运算中的应用，会正向代入字母式子求值。 2. 通过读取信息、画线段图、多角度列式、对比验证表达式，提升抽象概括、逻辑分析能力，发展符号意识、几何直观、模型意识与推理意识。 3. 感受字母符号表达复合数量关系的简洁通用，理解字母取值要符合现实情境，体会代数知识解决行程类生活问题的实用价值，养成读懂题目、验证数学结论的严谨学习习惯。 3. 素养能力： 体会字母符号刻画复合变化规律的作用，进一步渗透模型思想、推理思想，沟通整数运算定律与字母代数运算，为后续列方程解决实际问题做好铺垫。 三、教学重点、难点： 重点：读懂分段行程情境，提取数学信息；借助线段图分析分段路程的数量关系；抽象写出两种等价的字母表示的路程关系式；理解乘法分配律在字母运算中的应用，会代入求值。 难点：理解同一个实际问题可以写出形式不同但结果等价的字母式子；实现从具体行程数据到复合字母关系式的抽象；把整数乘法分配律迁移到字母式子化简。 教学流程 一、复习导入 【设计意图】复习字母表示数量关系、路程基础公式、乘法分配律旧知，激活已有代数认知，搭建旧知通往复合数量关系新知的阶梯，抛出新问题激发探究欲望，明确本节课学习任务。 创设情境 + 复习旧知导入法 教师活动： 师：前面我们学习了用字母表示简单的数量关系，还记得路程、速度、时间三者的基本关系吗？ 出示两道复习习题： ①一辆车速度每小时 60 千米，行驶t小时，路程怎么表示？ ②25×4+75×4，用乘法分配律简便计算。 学生口答之后追问：大家已经掌握简单的路程字母表达式和整数的乘法分配律。如果一段路程分成两段行驶，两段的行驶时间不一样，总路程又该怎样用字母表示呢？面对这样的复合问题，我们依旧可以按照 “阅读理解、分析解答、回顾反思” 三步来研究。今天我们就来学习《探索规律 —— 路程中的数量关系》。 学生活动：独立思考口答习题，回顾路程公式、字母简写、乘法分配律，思考分段变化数量如何表达，产生探究需求。 二、探究新知 学习任务一：阅读理解，分析解答 —— 探究分段路程的变化规律，建立字母关系式 【设计意图】依托复兴号分段行驶情境，借助线段图实现文字到图形的转化；从两个不同角度列式，得到两组字母表达式，层层递进完成符号抽象，落实几何直观、符号意识，突破本课重点难点。 活动 1：阅读理解，提取数学信息 教师活动：出示教材复兴号旅游情境。 核心问题：读一读题目，你读懂了哪些信息？题目要我们研究什么问题？ 引导学生完成阅读理解：复兴号速度 320km/h，从甲站到乙站行驶a小时，乙站到丙站行驶b小时；研究甲站到丙站总路程s和时间a、b之间的数量关系。 学生活动：读题，观察情境，说一说已知条件，明确研究对象：总路程s，两段行驶时间a、b。 活动 2：分析解答 —— 画线段图，多角度推导数量关系 教师活动： 核心问题：甲站到丙站分成甲‑乙、乙‑丙两段，怎么用线段图表示出站点、速度、两段时间、总路程？想一想求总路程可以有哪两种思路？ 教师示范线段图画法：画线段分为两段，标注甲站、乙站、丙站；第一段标注时间a，第二段标注时间b，整条线段标注总路程s，速度 320km/h。 继续提问：思路一：先算一共行驶了多少小时，再算总路程；思路二：先分别算出两段路程，再相加。你能分别写出算式吗？如果用字母表示，该怎样写？ 组织学生小组讨论，巡视指导线段图绘制与列式。 学生活动： 1.阅读题目，跟着示范画出线段图，标注站点、时间、总路程； 2.小组交流两种解题思路； 3.写出对应字母式子： 思路 1：总时间(a+b)小时，总路程：s=320(a+b) 思路 2：甲到乙路程320a，乙到丙路程320b，总路程：s=320a+320b 教师小结板书两个关系式：s=320(a+b)；s=320a+320b。 追问辨析：同样求甲站到丙站的总路程，为什么能写出两个不一样的字母式子？ 预设：思考角度不同，一个先算总时间，一个先算两段路程，根据乘法分配律，两个式子是相等的。 学习任务二：回顾反思，实践应用 —— 验证关系式等价性，双向理解字母运算 【设计意图：】完成例题 “回顾反思” 环节，对推导出来的两组关系式进行验证，体会数学结论需要检验；再通过 “试一试” 开展应用，练习已知a、b正向代入求s，体会乘法分配律在字母式中的迁移，发展推理意识与运算能力，突破教学难点。 活动 1：回顾反思，验证关系式 教师活动（回顾反思）：我们得到两个不同形式的关系式s=320(a+b)和s=320a+320b，它们都表示甲站到丙站总路程，是不是真的相等？可以用什么方法检验？ 核心问题：当a=1，b=2，分别代入两个式子算一算总路程，计算结果一样吗？ 学生活动： 计算： s=320×(1+2)=960 s=320×1+320×2=960 两边计算结果相同，验证两个关系式等价。 教师小结：得到字母关系式后，可以代入具体数值检验，这就是回顾反思，保证我们结论的正确性；整数的乘法分配律，在字母式子当中同样适用。 活动 2：试一试，代入求值解决实际问题 教师出示试一试习题： ①当a=3，b=2时，求甲站到丙站总路程s。 ②高铁速度 280km/h，甲地到乙地m小时，乙地到丙地n小时，写出总路程的两种字母表达式，当m=2，n=3时，计算总路程。 核心思考问题：字母式子代入数值计算要注意运算顺序；乘法分配律可以帮助我们改写、化简字母式子。 教师板书代入求值规范格式： 例：a=3,b=2 s=320(a+b) =320×(3+2) =320×5 =1600 着重强调易错点：①数字与字母相乘简写规则；②乘法分配律在字母式中的使用；③现实情境中时间字母取值必须是非负数。 学生活动：独立完成两道试一试习题；学生板演，全班纠错，说一说每一步的含义。 三、课堂练习 【设计意图】学生自主回顾，教师串联本课时与第 3 课时知识，梳理 “阅读理解‑分析解答‑回顾反思” 解题流程，搭建单元知识脉络，预告后续列方程学习。 1.基础填空：复兴号列车平均每小时行驶 320km，从 A 站到 B 站用了x小时，从 B 站到 C 站用了y小时。用含有x和y的式子表示从 A 站到 C 站的总路程S： 、 。 2.一辆汽车每小时行驶v千米，第一天行驶了t1小时，第二天行驶了t2小时，用两种不同的式子表示这两天行驶的总路程。 3.已知高铁速度为 280km/h，从甲地到乙地用了m小时，从乙地到丙地用了n小时，当m=2，n=3时，求从甲地到丙地的总路程（写出代入求值过程）。 4.判断辨析：4a+4b可以写成4(a+b)（  ），说说理由。 5.小明骑自行车每分钟行a米，先骑了 5 分钟，又骑了b分钟，用含有a和b的式子表示他一共骑行的路程。 四、课堂总结 【设计意图】学生自主回顾，教师串联本课时与前面课时知识，梳理 “阅读理解分析解答回顾反思” 解题流程，搭建单元知识脉络，预告后续列方程学习。 教师活动：请 2-3 名同学分享本节课收获，之后教师完整梳理。 师：今天我们研究路程中的数量关系，我们按照哪三步来研究问题？结合前面学习的用字母表示数、乘法分配律，你有哪些收获？ 学生发言后教师梳理总结： ①阅读理解：读懂分段情境，提取题目里面的数学信息，可以借助线段图把文字变成图形，看清数量结构； ②分析解答：多角度思考问题，可以抽象得到形式不同、但是等价的字母关系式；整数的乘法分配律同样可以用到字母运算； ③回顾反思：代入具体数值验证关系式是否正确； ④已知字母取值，可以直接代入式子求值；同一个实际问题，能够写出多种等价字母表达式； ⑤字母的取值要符合生活现实。 结束语：前面课时我们学习简单的字母表示数，本节课按照阅读理解、分析解答、回顾反思三步探究复合数量关系，把运算定律迁移到字母式子。这些都是我们下节课正式学习列方程解决问题的重要基础。课后完成分层作业，生活中还有很多分段求和的情境，可以尝试用今天的三步法去探究。 五、板书设计 第 5 课时 探索规律 —— 路程中的数量关系 探究三步：阅读理解 → 分析解答 → 回顾反思 阅读理解： 复兴号速度：320km/h 甲→乙：a小时 乙→丙：b小时 研究：总路程s、时间(a、b) （线段图：甲 ———— 乙 ———— 丙，标注(a、b、s) 分析解答： 思路 1：总路程 = 速度 × 总时间  s=320(a+b) 思路 2：总路程 = 甲‑乙路程 + 乙‑丙路程  s=320a+320b 乘法分配律迁移：320(a+b)=320a+320b 回顾反思（验证）： 当a=1,b=2 s=320×(1+2)=960 s=320× 1+320×2=960，两式相等。 试一试： 当a=3，b=2 s=320(a+b) =320×(3+2) =1600 要点： 1. 读题提取信息，线段图帮助理解分段数量； 2. 多角度列式，抽象字母关系式，要回顾反思验证； 3. 整数运算定律可以用于字母式子； 4. 字母取值要符合现实情境。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $