7.3.1 独立性检验&7.3.2 独立性检验的基本思想&7.3.3 独立性检验的应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 一、选择题 1.为了调查中学生的近视情况,测得某校150名男生中有80人近视,140名女生中有70人近视.用下列方法检验这些学生的近视情况是否与性别有关时,最有说服力的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.回归分析 B.均值与方差 C.独立性检验 D.概率 2.下面是一个2×2列联表: X分类 Y分类 总计 Y1 Y2 X1 a 21 73 X2 b 25 33 总计 c 46 106 则表中a,b,c的值分别为 (　 ) A.94,6,102 B.52,50,60 C.52,8,60 D.54,8,60 3.对于分类变量A和B,通过计算得到χ2≈4.514,则下列说法正确的是 (　 ) A.判断变量A和B有关,该判断犯错误的可能性不超过1% B.判断变量A和B有关,该判断犯错误的可能性不超过5% C.判断变量A和B无关,该判断犯错误的可能性不超过1% D.判断变量A和B无关,该判断犯错误的可能性不超过5% 4.根据是否爱好运动与性别的2×2列联表得到χ2≈3.852>3.841,判断是否爱好运动与性别有关,那么这种判断犯错误的可能性不超过 (　 ) A.2.5% B.0.5% C.1% D.5% 5.通过随机询问110名大学生是否爱好某项运动,得到如下的2×2列联表. 单位:人 性别 是否爱好某项运动 总计 不爱好 爱好 男 20 40 60 女 30 20 50 总计 50 60 110 则下列结论正确的是 (　 ) A.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联” B.在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别无关联” C.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联” D.在犯错误的概率不超过0.001的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别无关联” 6.[2024·江西九江同文中学高二期末] 假设有两个变量X和Y,它们的取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其2×2列联表为 X Y 总计 Y=y1 Y=y2 X=x1 a b a+b X=x2 c d c+d 总计 a+c b+d n=a+b+c+d 根据以下选项中的数据计算χ2的值,其中χ2最大的一组为 (　 ) A.a=60,b=50,c=40,d=30 B.a=60,b=40,c=50,d=30 C.a=40,b=30,c=50,d=60 D.a=30,b=40,c=50,d=60 7.(多选题)下面关于χ2的说法错误的是 (　 ) A.χ2的值越小,两个变量有关的可能性就越大 B.χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大 C.若χ2=2.89,则认为两个变量有关,该判断犯错误的可能性不超过1% D.χ2的计算公式是χ2= 8.(多选题)[2024·河南南阳高二期中] 如表,在两个变量X与Y的2×2列联表中,已知χ2=,其中n=a+b+c+d,则下列结论正确的是 (　 ) X Y 总计 Y=y1 Y=y2 X=x1 a b a+b X=x2 c d c+d 总计 a+c a+d a+b+c+d A.若每个数据a,b,c,d均变为原来的2倍,则χ2的值不变 B.|ad-bc|越大,两个变量有关联的可能性越大 C.对于独立性检验,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关联”犯错误的概率越大 D.若计算得到χ2=5.012,则认为“X与Y有关联”犯错误的概率不超过0.05 二、填空题 9.为了研究患慢性支气管炎是否与吸烟有关,调查了339名50岁以下的人,根据调查结果得到如下列联表(单位:人). 吸烟情况 患慢性病情况 总计 患慢性支气管炎 未患慢性支气管炎 吸烟 43 162 205 不吸烟 13 121 134 总计 56 283 339 根据列联表中的数据,求得χ2的值约为　　　　.(精确到0.001)  10.在下面的2×2列联表中,a-b+d=　　　　.  X分类 Y分类 总计 Y1 Y2 X1 a b 20 X2 6 d 总计 18 50 11.[2024·吉林长春南关区实验中学高二期末] 为了考察某种药物治疗疾病的效果,进行动物试验后得到如下的2×2列联表(单位:只): 服用药物情况 治疗效果情况 总计 治愈 未治愈 服用药物 a 15-a 15 未服用药物 20-a 30+a 50 总计 20 45 65 其中a,15-a均为大于5的整数,则当a=　　　　时,认为“是否服用药物与治疗效果有关联”,该判断犯错误的可能性不超过1%.  12.[2024·武汉武钢三中高二月考] 某校团委对“学生性别和是否喜欢某视频APP是否有关联”做了一次调查,其中被调查的女生人数是男生人数的一半,男生喜欢该视频APP的人数占男生人数的,女生喜欢该视频APP的人数占女生人数的,若认为是否喜欢该视频APP和性别有关联,且犯错误的可能性不超过5%,则男生至少有　　　　人.  三、解答题 13.为考察某种药物A对预防疾病B的效果,进行了动物试验,得到如下列联表(单位:只): 服用药物情况 患疾病情况 总计 未患疾病B 患疾病B 未服用药物A 29 15 44 服用药物A 47 14 61 总计 76 29 105 试问:药物A对预防疾病B是否有效. 14.某校学生社团组织社会调查活动,随机调查了市区某个路口100个工作日中每天早高峰时段(7点至9点)的天气情况和当天早高峰时段经过该路口的机动车车次,整理数据得到下表: 天气 机动车车次 [0,800) [800,1600) [1600,2400] 晴天 10 52 13 阴天 2 9 8 雨天 0 2 4 (1)分别估计该市一天早高峰时段的天气为晴天和雨天的概率. (2)晴天记为“天气好”,阴天或雨天记为“天气不好”.若当天早高峰时段经过该路口的机动车车次小于1600,则视为交通顺畅,否则视为交通拥堵.根据所给数据,列出2×2列联表,试问:交通状况与天气情况是否有关联? 15.[2024·龙岩上杭一中高二月考] 某兴趣小组调查并统计了某班级学生期末统考中的数学成绩和建立个性化错题本的情况,用来研究这两者是否有关联.若从该班级中随机抽取1名学生,设A=“抽取的学生期末统考中的数学成绩不及格”,B=“抽取的学生建立了个性化错题本”,且P(A|)=,P(B|)=,P(B)=. (1)求P(A)和P(A|B). (2)若该班级共有36名学生,请完成列联表,试问:学生期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本是否有关联? 单位:人 个性化 错题本 期末统考中的数学成绩 总计 及格 不及格 建立 未建立 总计 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 1.C　[解析] 作出2×2列联表如下(单位:人): 近视情况 性别 总计 男 女 近视 80 70 150 不近视 70 70 140 总计 150 140 290 根据列联表可得χ2的值,再根据χ2与临界值比较,可检验这些中学生的近视情况是否与性别有关,故利用独立性检验的方法最有说服力.故选C. 2.C　[解析] 因为a+21=73,所以a=52.因为b+25=33,所以b=8,所以c=a+b=52+8=60. 3.B　[解析] 由独立性检验知χ2≈4.514>3.841,所以判断变量A与B有关,该判断犯错误的可能性不超过5%.故选B. 4.D　[解析] 因为χ2≈3.852>3.841,所以有95%的把握判断是否爱好运动与性别有关,即这种判断犯错误的可能性不超过5%,故选D. 5.A　[解析] 由题意,可得χ2=≈7.822>6.635,所以在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为“是否爱好某项运动与性别有关联”.故选A. 6.C　[解析] 对于A,==;对于B,==;对于C,==;对于D,= =.显然最大,故选C. 7.ACD　[解析] χ2的值越大,两个变量有关的可能性就越大,A中说法错误,B中说法正确;若χ2=2.89>2.706,则认为两个变量有关,该判断犯错误的可能性不超过10%,C中说法错误;χ2的计算公式是χ2=,D中说法错误.故选ACD. 8.BCD　[解析] 对于A,若2×2列联表中的每个数字均变成原来的2倍,则χ2==2×,此时χ2的值变为原来的2倍,所以A错误;对于B,同一个样本中,|ad-bc|越小,说明两个变量有关联的可能性越小,|ad-bc|越大,说明两个变量有关联的可能性越大,所以B正确;对于C,独立性检验中,随机变量χ2的值越小,判定“两变量有关联”犯错误的概率越大,所以C正确;对于D,根据独立性检验的意义可知χ2=5.012>3.841,所以认为“X与Y有关联”犯错误的概率不超过0.05,所以D正确.故选BCD. 9.7.469　[解析] χ2=≈7.469. 10.28　[解析] 由2×2列联表得a+6=18,所以a=12,因为a+b=20,所以b=8.因为6+d=50-20,所以d=24,故a-b+d=12-8+24=28. 11.9　[解析] 由题意知χ2≥6.635,则=≥6.635,解得a≥8.65或a≤0.58,又因为a>5且15-a>5,a∈Z,所以a=9. 12.12　[解析] 设被调查的男生人数为x,则被调查的女生人数为,则2×2列联表为 单位:人 性别 对某视频APP的态度 合计 喜欢 不喜欢 男生 x 女生 合计 x 因为是否喜欢某视频APP和性别有关联,且犯错误的可能性不超过5%,所以χ2≥3.841,因为χ2==,所以≥3.841,则x≥≈10.243,又,,均为整数,所以男生至少有12人. 13.解:由列联表知χ2=≈1.586 9<2.706,∴根据独立性检验的思想,没有充分的证据推断药物A对预防疾病B有效,故可认为药物A对预防疾病B无效. 14.解:(1)该市一天早高峰时段的天气为晴天的概率的估计值为=0.75,该市一天早高峰时段的天气为雨天的概率的估计值为=0.06. (2)2×2列联表如下: 单位:天 天气情况 交通状况 总计 交通顺畅 交通拥堵 天气好 62 13 75 天气不好 13 12 25 总计 75 25 100 提出假设H0:交通状况与天气情况无关联. 由表中数据,得χ2=≈9.404,因为9.404>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为交通状况与天气情况有关联. 15.解:(1)因为P(A|)=,P(B|)=, 所以P(|)=1-P(A|)=,P(|)=1-P(B|)=,由P(B)=,得P()=1-P(B)=, 因为P(|)·P()=P(|)·P(), 所以P()=,所以P(A)=.P(A)=P(B)·P(A|B)+P()·P(A|),解得P(A|B)=. (2)由(1)可知,期末统考中的数学成绩及格的学生人数为36×P()=36×=24,其中建立了个性化错题本的学生人数为24×P(B|)=24×=20,未建立个性化错题本的学生人数为24-20=4. 期末统考中的数学成绩不及格的学生人数为36-24=12,其中建立了个性化错题本的学生人数为12×P(B|A)=12×=12×=4, 未建立个性化错题本的学生人数为12-4=8,列联表如下: 单位:人 个性化 错题本 期末统考中的数学成绩 总计 及格 不及格 建立 20 4 24 未建立 4 8 12 总计 24 12 36 提出假设H0:期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本无关联.根据列联表中的数据,经计算得到χ2==9, 因为9>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为期末统考中的数学成绩与建立个性化错题本有关联. 学科网（北京）股份有限公司 $