7.3.1 独立性检验&7.3.2 独立性检验的基本思想&7.3.3 独立性检验的应用(课件PPT)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

该高中数学课件聚焦独立性检验问题，涵盖2×2列联表、χ²统计量及应用。课堂从“吸烟与疾病关系”情境导入，通过列联表频率估计概率，引出χ²公式，再结合临界值判断变量关联，构建完整知识链条。 其亮点在于以现实情境培养数学眼光，通过胃病与生活规律等典例研析发展数学思维，用表格和公式规范数学语言。助力学生提升数据分析能力，为教师提供分层教学资源，提高教学效率。

§3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 第七章　统计案例 1 课标 要求 1.通过实例，理解2×2列联表的统计意义（数学建模）. 2.通过实例，了解2×2列联表独立性检验及其应用（数据分析）. 目 录 CONTENTS 基础落实 典例研析 课时作业 基础落实 >> 目录 4 有关医学研究表明，许多疾病，如心脏病、癌症、脑血管病、慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关，吸烟已成为继高血压之后的第二号全球杀手.为此，联合国固定每年5月31日为世界无烟日. 【问题】　这些疾病与吸烟有怎样的关系呢？能否通过独立性检验来 分析？ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点一　2×2列联表及作用 1.2×2列联表 设A，B为两个变量，每一个变量都可以取两个值，变量A：A1，A2＝； 变量B：B1，B2＝.我们将下表这种形式的数据统计表称为2×2列联表： A B B1 B2 总计 A1 a b a＋b A2 c d c＋d 总计 a＋c b＋d n＝a＋b＋c＋d 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 列联表的作用 分别用频率，，，估计P（A1B1），P（A1B2），P（A2B1），P （A2B2）；用频率，，，，估计P（A1），P（B1），P （A2），P（B2）；由事件的相互独立性可知： 若有式子＝·，则可以认为A1与B1独立； 若＝·，则可以认为A1与B2独立； 若＝·，则可以认为A2与B1独立； 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 若＝·，则可以认为A2与B2独立. 在＝·中，由于，，表示的是频率，不同于概率.即使变 量A，B之间独立，式子两边也不一定恰好相等.但是当两边相差很大时， 变量A，B之间就不独立. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 知识点二　独立性检验的基本思想及应用 1. 统计思想 统计学家选取以下统计量，用它的大小来检验变量之间是否独立： χ2＝ （其中n＝a＋b＋c＋d）. 在变量A，B独立的前提下，当样本量很大时，χ2近似服从一个已知的分布 χ2（1）.当χ2较大时，说明变量之间不独立. 　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 应用 在统计中，用以下结果对变量的独立性进行判断： （1）当χ2≤2.706时，没有充分的证据判断变量A，B有关联，可以认为变 量A，B是 关联的； （2）当χ2＞2.706时，有 的把握判断变量A，B有关联； （3）当χ2＞3.841时，有 的把握判断变量A，B有关联； （4）当χ2＞6.635时，有 的把握判断变量A，B有关联. 没有　 90%　 95%　 99%　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 【想一想】 　如何对独立性检验的基本思想进行理解？ 提示：独立性检验的基本思想是经过选取统计量χ2，按照计算公式χ2＝ ，当χ2较大时，说明两变量A，B有关联（不独 立），χ2越大，A与B关联性就越强，当χ2小于一个临界值时，A与B两变量 基本相互独立，即没有关联性.因此用χ2作为判断变量A与B是否有具有关 联性的统计量. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）随机事件中的变量与函数中的变量是同一概念. （　×　） （2）独立性检验的方法就是用样本频率估计概率的应用. （　√　） （3）独立性检验中可通过统计表从数据上说明两随机事件的相关性的大 小. （　√　） × √ √ 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 下面是2×2列联表： X Y y1 y2 总计 x1 a 21 73 x2 2 25 27 总计 b 46 100 则表中a＝ ，b＝ ⁠. 解析：a＝73－21＝52，b＝a＋2＝52＋2＝54. 52　 54　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 若由一个2×2列联表中的数据计算得χ2＝4.013，那么，有 ⁠的把 握判断两个变量之间有关系. 解析：因为χ2＝4.013＞3.841，所以有95%的把握认为两个变量之间 有关系. 95%　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 考察棉花种子是否经过处理跟得病之间的关系，得如表所示的数据： 是否得病 种子是否经过处理 种子经过处理 种子未处理 总计 得病 32 101 133 不得病 61 213 274 总计 93 314 407 根据以上数据得χ2的值是 （精确到0.001）. 解析：依题意χ2＝≈0.164. 0.164　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 典例研析>> 目录 16 题型一　独立性检验的思想 为了调查胃病是否与生活规律有关，在某地对540名40岁以上的人进 行了调查，结果是：患胃病者生活不规律的共60人，患胃病者生活规律的 共20人，未患胃病者生活不规律的共260人，未患胃病者生活规律的 共200人. （1）根据以上数据列出2×2列联表； 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 由已知可列2×2列联表： 生活规律情况 患胃病情况 患胃病 未患胃病 总计 生活规律 20 200 220 生活不规律 60 260 320 总计 80 460 540 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）是否有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系？ 解： 根据列联表中的数据，由计算公式得 χ2＝≈9.638. 因为9.638＞6.635， 故有99%的把握判断40岁以上的人患胃病与否和生活规律有关系. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 解决独立性检验问题的基本步骤 （1）根据相关数据，列出2×2列联表，确定a，b，c，d的值； （2）求χ2的统计量； （3）由χ2的值判断两变量是否具有关联关系. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　某调查机构对196个接受心脏搭桥手术的病人和196个接受血管清障手术 的病人进行了3年的跟踪研究，调查他们是否又发作过心脏病，调查结果 如下表所示： 手术类型 发作心脏病情况 又发作过心脏病 未发作心脏病 总计 心脏搭桥手术 39 157 196 血管清障手术 29 167 196 总计 68 324 392 试根据上述数据比较这两种手术对病人又发作心脏病的影响有没有差别. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：这是一个2×2列联表的独立性检验问题， χ2＝≈1.779. 因为1.779＜2.706，所以我们认为这两种手术对病人又发作心脏病的影响 无差别. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 题型二　独立性检验的实际应用 某省进行高中新课程改革，为了解教师对新课程教学模式的使用情 况，某一教育机构对某学校的教师关于新课程教学模式的使用情况进行了 问卷调查，共调查了50人，其中有老年教师20人，青年教师30人.老年教 师对新课程教学模式赞同的有10人，不赞同的有10人；青年教师对新课程 教学模式赞同的有24人，不赞同的有6人. （1）根据以上数据建立一个2×2列联表； 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解： 2×2列联表如表所示 教师年龄 对新课程教学模式 赞同 不赞同 总计 老年教师 10 10 20 青年教师 24 6 30 总计 34 16 50 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）是否有95%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄 有关系？ 解： 由公式得χ2＝≈4.963＞3.841， 所以有95%的把握认为对新课程教学模式的赞同情况与教师年龄有关系. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 通性通法 利用独立性检验解决实际问题的步骤 （1）计算χ2＝； （2）比较χ2与三个临界值：2.706，3.841和6.635的大小； （3）得出结论. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 　为加强环境保护，治理空气污染，环境监测部门对某市空气质量进 行调研，随机抽查了100天空气中的PM2.5和SO2浓度（单位： μg/m3），得下表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，50] （50，150] （150，475] [0，35] 32 18 4 （35，75] 6 8 12 （75，115] 3 7 10 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （1）估计事件“该市一天空气中PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过 150”的概率； 解： 根据抽查数据，该市100天空气中的PM2.5浓度不超过75，且 SO2浓度不超过150的天数为32＋18＋6＋8＝64，因此，该市一天空气中 PM2.5浓度不超过75，且SO2浓度不超过150的概率的估计值为＝0.64. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）根据所给数据，完成下面的2×2列联表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，150] （150，475] [0，75] （75，115] 解：根据抽查数据，可得2×2列联表： 　　　SO2 PM2.5　　 [0，150] （150，475] [0，75] 64 16 （75，115] 10 10 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （3）根据（2）中的列联表，判断是否有99%的把握认为该市一天空气中 PM2.5浓度与SO2浓度有关？ 附：K2＝， P（K2≥k） 0.050　0.010　0.001 k 3.841　6.635　10.828 . 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解：根据（2）的列联表得 K2＝≈7.484. 由于7.484＞6.635，故有99%的把握认为该市一天空气中PM2.5浓度与SO2 浓度有关. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 1. 对于两个变量X与Y的随机变量χ2，下列说法正确的是（　　） A. χ2越大，“X与Y有关系”的可信程度越小 B. χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小 C. χ2越接近于0，“X与Y没有关系”的可信程度越小 D. χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越大 √ 解析： 　χ2越大，“X与Y没有关系”的可信程度越小，则“X与Y有关 系”的可信程度越大.即χ2越小，“X与Y有关系”的可信程度越小. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 〔多选〕若在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集、整理分析数据得 “吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%的把握认为这个结论是成立 的，则下列说法中正确的是（　　） A. 在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟和患肺癌有关系 B. 1个人吸烟，那么这个人有99%的概率患有肺癌 C. 在100个吸烟者中一定有患肺癌的人 D. 在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有 √ √ 解析： 　独立性检验的结论是一个统计量，统计的结果只是说明事件发 生的可能性的大小，具体到一个个体，则不一定发生. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 下表是一个2×2列联表，则表中m，n的值分别为（　　） x y y1 y2 总计 x1 a 35 45 x2 7 b n 总计 m 73 s A. 10，38 B. 17，45 C. 10，45 D. 17，38 √ 解析： 根据2×2列联表可知，a＋35＝45，解得a＝10，则m＝a＋7＝10 ＋7＝17，又由35＋b＝73，解得b＝38，则n＝7＋38＝45，故选B. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 某销售部门为了研究具有相关大学学历和能按时完成销售任务的关系， 对本部门200名销售人员进行调查，所得数据如下表所示： 学历 销售任务 能按时完成 销售任务 不能按时完成 销售任务 总计 具有相关大学学历 57 42 99 不具有相关大学学历 36 65 101 总计 93 107 200 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 根据上述数据能得出结论：有 的把握认为“销售人员具有相关大 学学历与能按时完成销售任务是有关系的”. 解析：χ2＝≈9.67＞6.635，所以有99%的把握认为 “销售人员具有相关大学学历与能按时完成销售任务是有关系的”. 99%　 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 课时作业 >> 目录 37 1. 在某次飞行航程中遭遇恶劣气候，55名男乘客中有24名晕机，34名女乘 客中有8名晕机，在检验这些乘客晕机是否与性别有关时，采用的数据分 析方法应是（　　） A. 频率分布直方图 B. 回归分析 C. 独立性检验 D. 用样本估计总体 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 √ 解析： 　根据题意，结合题目中的数据，列出2×2列联表，求出χ2，得出 概率结论，这种分析数据的方法是独立性检验. 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 2. 给出下列实际问题： ①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③ 吸烟者得肺病的概率；④吸烟是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪 是否有关系. 其中用独立性检验可以解决的问题有（　　） A. ①②③ B. ②④⑤ C. ②③④⑤ D. ①②③④⑤ √ 解析： 　独立性检验是判断两个分类变量是否有关系的方法，而①③都 是概率问题，不能用独立性检验. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 3. 利用独立性检验对两个分类变量是否有关系进行研究时，若有99%的把 握认为事件A和B有关系，则具体计算出的数据应该是（　　） A. χ2＞6.635 B. χ2＜6.635 C. χ2＞3.841 D. χ2＜3.841 √ 解析： 　有99%的把握认为事件A和B有关系，由独立性检验可知应为χ2 ＞6.635. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 4. 表中是甲、乙两个班级进行数学考试，按学生考试及格与不及格统计成 绩后的2×2列联表，则χ2的值约为（　　） 班级 考试成绩 不及格 及格 总计 甲班 12 33 45 乙班 9 36 45 总计 21 69 90 A. 0.559 B. 0.456 C. 0.443 D. 0.4 √ 解析： 　χ2＝≈0.559，故选A. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 5. 某学校食堂对30名高三学生偏爱蔬菜与偏爱肉类进行了一次调查，将统 计数据制成如下表格： 偏爱蔬菜 偏爱肉类 男生 4 8 女生 16 2 则认为偏爱蔬菜与偏爱肉类与性别有关的把握至少有（　　） 附： P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.005 0.001 x0 3.841 6.635 7.879 10.828 A. 95% B. 99% C. 99.5% D. 99.9% √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　由已知，2×2列联表为 偏爱蔬菜 偏爱肉类 总计 男生 4 8 12 女生 16 2 18 总计 20 10 30 则χ2＝＝10＞7.879，故至少有99.5%的把握认为偏爱蔬 菜与偏爱肉类与性别有关，故选C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 6. 〔多选〕下列关于独立性检验的说法中，正确的是（　　） A. 独立性检验依据小概率原理 B. 利用独立性检验原理得到的结论一定正确 C. 样本不同，独立性检验的结论可能有差异 D. 独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方法 √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 根据独立性检验的概念，可得独立性检验依据小概率原理， 所以A正确；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以得到的结论可能 有误，所以B错误；利用独立性检验时与样本的选取有关，所以样本不 同，独立性检验的结论可能有差异，所以C正确；例如回归分析也能判定 两类事物的相关性，所以独立性检验不是判定两类事物是否相关的唯一方 法，所以D正确，故选A、C、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 7. 博鳌亚洲论坛2025年年会于3月25日至28日在海南博鳌举行.为了搞好对 外宣传工作，会务组选聘了30名记者担任对外翻译工作，在下面“性别与 会俄语”的2×2列联表中，a－b＋d＝ ⁠. 性别 会俄语情况 会俄语 不会俄语 总计 男 a b 20 女 6 d 总计 18 30 8　 解析：由2×2列联表的性质，可得：a＝18－6＝12，b＝20－12＝8，6＋d ＝30－20，可得d＝4，所以a－b＋d＝8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 8. 在独立性检验中，统计量χ2有两个临界值：3.841和6.635.当χ2≥3.841 时，至少有95%的把握说明两个事件有关；当χ2≥6.635时，至少有99%的 把握说明两个事件有关；当χ2＜3.841时，认为两个事件无关.在一项打鼾 与患心脏病的调查中，共调查了2 000人，经计算得χ2＝20.87.根据这一数 据，我们可认为打鼾与患心脏病 （填“有关”或“无关”）. 解析：当χ2＝20.87＞6.635时，至少有99%的把握认为打鼾与患心脏 病有关. 有关　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 9. 为研究某新药的疗效，给100名患者服用此药，跟踪调查后得下表中的 数据： 性别 疗效 无效 有效 总计 男性患者 15 35 50 女性患者 6 44 50 总计 21 79 100 由上表中数据计算得χ2≈ ，从而得出结论：有 ⁠的把握认 为服用此药的效果与患者的性别有关. 解析：由公式计算得χ2≈4.882.因为χ2＞3.841，所以我们有95%的把握认为 服用此药的效果与患者的性别有关. 4.882　 95%　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 10. 为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样的方 法从该地区调查了500位老年人，结果如下： 是否需要志愿者 性别 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 （1）估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； 解： 调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区 老年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为×100%＝14%. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （2）能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性 别有关？ 解： χ2＝≈9.967. 由于9.967＞6.635，所以有99%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助 与性别有关. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 （3）根据（2）的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人 中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由. 解： 由（2）的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有 关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮 助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女 的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层随机抽样方法比采用 简单随机抽样方法更好. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 11. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向、速度、 厚度、颜色等的变化，总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经 验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”“日落云里走，雨在半夜 后”……小波同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了所在地 区A100天的日落和夜晚天气，得到如下2×2列联表： 　　　　　夜晚天气 日落云里走　　　　　 下雨 未下雨 出现 25 5 未出现 25 45 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 经计算得到χ2≈19.05，下列对地区A天气的判断不正确的是（　　） 附： P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 A. 夜晚下雨的概率约为 B. 未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为 C. 有99.9%的把握认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨” 有关 D. 出现“日落云里走”，有99.9%的把握认为夜晚会下雨 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　用频率估计概率可得，夜晚下雨的概率约为＝，故A 判断正确；未出现“日落云里走”时夜晚下雨的概率约为＝， 故B判断正确；由χ2≈19.05＞10.828，可得有99.9%的把握认为“‘日 落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，故C判断正确，D判 断不正确.故选D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 12. 〔多选〕有两个分类变量X，Y，其列联表如下所示： X Y Y1 Y2 X1 a 20－a X2 15－a 30＋a 其中a，15－a均为大于5的整数，若有95%的把握判断X，Y有关，则a的值 为（　　） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析： 　根据公式，得χ2＝＝ ＞3.841，根据a＞5且15－a＞5，a∈Z，求得当a＝8或9时 满足题意. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 13. 针对“中学生追星问题”，某校团委对“学生性别和中学生追星是否 有关”作了一次调查，调查样本中女生人数是男生人数的，男生追星人数 占男生人数的，女生追星的人数占女生人数的，若有95%把握认为是否 追星和性别有关，则调查样本中男生至少有 人. 参考数据及公式：χ2＝，n＝a＋b＋c＋d. P（χ2≥x0） 0.05 0.01 0.001 x0 3.841 6.635 10.828 12　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 解析：设男生人数为x，依题意可得2×2列联表如下： 性别 是否追星 追星 不追星 总计 男生 ​ ​ x 女生 ​ ​ ​ 总计 ​ x ​ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 若有95%把握认为是否追星和性别有关，则χ2≥3.841，由χ2＝ ＝x≥3.841，解得x≥10.24，因为，，均为整数，所以若有95%把握 认为是否追星和性别有关，则男生至少有12人. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 14. 某大学为了解喜欢看篮球赛是否与性别有关，随机调查了部分学生， 在被调查的学生中，男生人数是女生人数的2倍，男生喜欢看篮球赛的人 数占男生人数的，女生喜欢看篮球赛的人数占女生人数的.若被调查的男 生人数为n，且有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，求n的最小值. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 性别 看篮球赛情况 喜欢 不喜欢 总计 男 ​ ​ n 女 ​ ​ ​ 总计 n ​ ​ 解：由题意得到如下列联表： 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 所以χ2＝＝. 因为有95%的把握认为喜欢看篮球赛与性别有关，所以χ2＞3.841， 即＞3.841，得n＞≈10.24. 又，，为整数，所以n的最小值为12. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 数学·选择性必修第一册 (BSD) 目录 $