6.4.2 超几何分布(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.2　超几何分布 一、选择题 1.下列随机现象中的随机变量X服从超几何分布的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.将一枚硬币连抛3次,记正面向上的次数为X B.从7男3女共10名学生干部中随机选出5名学生干部,记选出女生的人数为X C.某射手的射击命中率为0.8,现对目标射击1次,记命中的次数为X D.盒中有除颜色外完全相同的4个白球和3个黑球,每次从中摸出1个球且不放回,记第一次摸出黑球时摸取的次数为X 2.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,设随机变量ξ表示所选3人中女生的人数,则P(ξ≤1)等于 (　 ) A. B. C. D. 3.有8名学生,其中有5名男生.从中选出4名代表,记选出的代表中男生的人数为X,则X的数学期望EX= (　 ) A.2 B.2.5 C.3 D.3.5 4.某箱子内有包装完全相同的9罐咖啡及3罐红茶.若从该箱子中随机取出4罐,则至少取出2罐红茶的概率为 (　 ) A. B. C. D. 5.由12人组成的兴趣小组中有5人是“三好学生”,现从中任选6人参加竞赛.若随机变量X表示参加竞赛的“三好学生”的人数,则为 (　 ) A.P(X=4) B.P(X=5) C.P(X=3) D.P(X=1) 6.中国的景观旅游资源相当丰富,5A级为中国旅游景区最高等级,代表着中国世界级精品的旅游风景区等级.某地7个旅游景区中有3个景区是5A级景区,现从中任意选3个景区,则下列事件中发生概率等于的是 (　 ) A.至少有1个5A级景区 B.有1个或2个5A级景区 C.有2个或3个5A级景区 D.恰有2个5A级景区 7.(多选题)下列关于超几何分布的说法正确的是 (　 ) A.超几何分布模型是不放回抽样 B.超几何分布的总体里可以只有一类对象 C.超几何分布中的参数是N,M,n D.超几何分布的总体往往由差异明显的两部分组成 8.(多选题)[2024·山东巨野高二期末] 2023年10月26日,搭载神舟十七号载人飞船的火箭发射升空,这是一件让全国人民关注的大事,当天有很多民众通过手机、电视、报纸了解有关新闻.某组织随机选取10人调查大家了解该新闻的方式,其中喜欢用电视、手机、报纸了解该新闻的分别有3人、6人、1人,现随机从这10人中选出2人,则 (　 ) A.有1人喜欢用电视了解该新闻的概率是 B.有2人喜欢用电视了解该新闻的概率是 C.至多有1人喜欢用电视了解该新闻的概率是 D.至少有1人喜欢用手机了解该新闻的概率是 二、填空题 9.10名同学中有a名女生,若从中抽取2名同学作为学生代表,恰好抽到1名女生的概率为,则a=　　　　.  10.设50个产品中有10个次品,从所有产品中任取20个,记取到的次品的个数为X,则EX=　　　　.  11.一个箱子中有6个大小相同的产品,其中4个正品、2个次品,从中任取3个产品,记取出的正品的个数为随机变量X,则X的均值EX=　　　　.  12.某高校设计了一个实验学科的考查方案:考生从6道备选题中一次性随机抽取3道题,按照题目要求独立完成全部实验操作.已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成,2道题不能正确完成,考生乙每道题正确完成的概率都是,且每道题正确完成与否互不影响,则甲、乙两位考生正确完成实验操作的题数的均值分别为　　　　.  三、解答题 13.[2024·安徽宣城高二期末] 为了推动乒乓球运动的发展,增强比赛的观赏性,某比赛中允许来自不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的5名运动员,其中3名种子选手;乙协会的3名运动员,其中2名种子选手.现从这8名运动员中随机选择4人参加比赛. (1)设事件A为“选出的4人中恰有2名种子选手,且这2名种子选手来自同一个协会”,求事件A发生的概率; (2)设X为选出的4人中种子选手的人数,求随机变量X的分布列,并求EX. 14.[2024·河南开封五校高二联考] 为积极响应国家医药卫生体制改革及2023年全国文化科技“三下乡”活动要求,真正让“人民至上”理念落实落地,着力推动优质医疗资源重心下移、力量下沉,不断增强医疗服务的“深度”和“温度”,某市人民医院打算从各科室推荐的6名医生中任选3名去参加“健康送下乡,义诊暖人心”的活动.这6名医生中,外科医生、内科医生、眼科医生各2名. (1)求选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率; (2)设X表示选出的3人中外科医生的人数,求X的均值与方差. 15.2024年端午节假期期间,某百货公司举办了一次有奖促销活动,顾客消费满600元(含600元)可抽奖一次,抽奖方案有两种(只能选择其中的一种). 方案一:从装有10个质地、大小完全相同的小球(其中红球2个,黑球8个)的抽奖盒中,有放回地随机摸出3个球,每摸到1个红球,立减200元. 方案二:从装有10个质地、大小完全相同的小球(其中红球2个,白球1个,黑球7个)的抽奖盒中,不放回地随机摸出3个球.若摸出2个红球,1个白球,则享受免单优惠;若摸出2个红球,1个黑球,则打5折;若摸出1个红球,1个白球和1个黑球,则打7.5折;其余情况不打折. (1)某顾客恰好消费600元,若选择抽奖方案一,求他实付金额的分布列和数学期望; (2)若顾客消费1000元,试从实付金额的期望分析顾客选择哪种抽奖方案更合理? 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　超几何分布 1.B　[解析] 由超几何分布的定义可判断,只有B中的随机变量X服从超几何分布.故选B. 2.D　[解析] P(ξ≤1)=1-P(ξ=2)=1-=.故选D. 3.B　[解析] 随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,P(X=k)=(k=1,2,3,4),所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 故随机变量X的数学期望EX=1×+2×+3×+4×==2.5. 4.A　[解析] 从该箱子中随机取出4罐,至少取出2罐红茶的概率为+=.故选A. 5.C　[解析] 由题意可知,随机变量X服从参数为12,5,6的超几何分布.由公式P(X=k)=(max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}),知P(X=3)=.故选C. 6.B　[解析] 用X表示这3个景区中5A级景区的个数,则X服从参数为7,3,3的超几何分布,且P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以P(X=1)+P(X=2)=,即有1个或2个5A级景区的概率为.故选B. 7.ACD　[解析] 由超几何分布的定义可知,超几何分布模型为不放回抽样,故A正确.超几何分布实质上就是总体中有个体总数为N的两类对象,其中一类对象中有M(M<N)个个体,从总体中任取n(n≤N)个个体,这n个个体中所含这类对象中个体的个数X是一个离散型随机变量,它取值为k时的概率为P(X=k)=(max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}),∴B错误,C,D正确.故选ACD. 8.AC　[解析] 设选出的2人中喜欢用电视了解该新闻的人数为X,则X的可能取值为0,1,2,则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,故A正确,B错误.这2人中至多有1人喜欢用电视了解该新闻的概率是P(X=0)+P(X=1)=,故C正确.这2人中至少有1人喜欢用手机了解该新闻的概率为+=,故D错误.故选AC. 9.2或8　[解析] 根据题意,得=,解得a=2或a=8. 10.4　[解析] 由题意得,随机变量X服从参数为50,10,20的超几何分布,则EX==4. 11.2　[解析] 由题意知X的可能取值为1,2,3,则P(X=1)===,P(X=2)===,P(X=3)===,则EX=1×+2×+3×=2. 12.2,2　[解析] 设考生甲正确完成实验操作的题数为ξ,则ξ的可能取值是1,2,3.P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,所以ξ的分布列为 ξ 1 2 3 P Eξ=1×+2×+3×=2.设考生乙正确完成实验操作的题数为η,易知η~B,所以Eη=3×=2. 13.解:(1)由题意知,事件A发生的概率P(A)==. (2)随机变量X的所有可能取值为1,2,3,4,则P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,P(X=4)==,所以随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 所以EX=1×+2×+3×+4×=. 14.解:(1)设事件A表示“选出的外科医生人数多于内科医生人数”,A1表示“恰好选出1名外科医生和2名眼科医生”,A2表示“恰好选出2名外科医生”, 则A1,A2互斥,且A=A1∪A2, 可得P(A1)===,P(A2)==, 所以选出的外科医生人数多于内科医生人数的概率为P(A1)+P(A2)=+=. (2)由题意知,随机变量X的可能取值为0,1,2, 则P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,所以EX=0×+1×+2×=1, DX=(0-1)2×+(1-1)2×+(2-1)2×=. 15.解:(1)设实付金额为X元,则X的可能取值为0,200,400,600,P(X=0)==,P(X=200)=××=,P(X=400)=××=,P(X=600)==,故X的分布列为 X 0 200 400 600 P 故EX=0×+200×+400×+600×=480. (2)若选择方案一,设摸到红球的个数为Y0,实付金额为Y元,则Y=1000-200Y0,由已知可得Y0~B,故EY0=3×=,所以EY=E(1000-200Y0)=1000-200EY0=1000-120=880. 若选择方案二,设实付金额为Z元,则Z的可能取值为0,500,750,1000,P(Z=0)==,P(Z=500)==,P(Z=750)==,P(Z=1000)=1---=,故Z的分布列为 Z 0 500 750 1000 P 所以EZ=0×+500×+750×+1000×=≈933.33.因为EY<EZ,所以从实付金额的期望分析顾客选择方案一更合理. 学科网（北京）股份有限公司 $