6.4.2 超几何分布(Word教参)-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册（北师大版）

本讲义聚焦超几何分布核心知识点，系统梳理其概念（不放回抽样、两类对象、古典概型）、均值公式及特点，通过自主招生答题问题引入，结合判断题、选择题、题型解析（模型辨析、概率计算）及母题探究搭建学习支架，衔接古典概型与二项分布。 该资料以问题驱动创设情境（如自主招生答题实例），通过模型辨析题培养数学抽象能力，母题变式（变条件为有放回抽样）发展数学建模思维，对比二项分布强化数据分析意识。课中助力教师系统授课，课后练习题与拓视野内容帮助学生巩固提升，查漏补缺。

4.2　超几何分布 课标 要求 通过具体实例，了解超几何分布及其均值，并能解决简单的实际问题（数学抽象、数学建模、数据分析）. 　　某学校实行自主招生，参加自主招生的学生从8个试题中随机挑选4个进行作答，至少答对3个才能通过初试，已知在这8个试题中甲能答对6个. 【问题】　如何求出甲通过自主招生初试的概率？若记甲答对试题的个数为X，那么如何构建适当的概率模型刻画其分布？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点　超几何分布 1.超几何分布的概念 一般地，设有N件产品，其中有M（M≤N）件次品，从中任取n（n≤N）件产品，用X表示取出的n件产品中次品的件数，那么P（X＝k）＝　　，max{0，n－（N－M）}≤k≤min{n，M}.其中n≤N，M≤N，n，M，N∈N＋. 若一个随机变量X的分布列由上式确定，则称随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布. 2.超几何分布的均值 当随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布时，其均值为EX＝　　. 提醒：超几何分布的特点：①不放回抽样；②考察对象分两类；③实质是古典概型. 1.判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）超几何分布是不放回抽样.（　√　） （2）超几何分布的总体中只有两类物品.（　√　） （3）超几何分布与二项分布的均值相同.（　√　） （4）超几何分布与二项分布没有任何联系.（　×　） 2.在15个村庄中有7个村庄交通不方便，用X表示任选10个村庄中交通不方便的村庄数，则X服从超几何分布，其参数为（　　） A.N＝15，M＝7，n＝10　B.N＝15，M＝10，n＝7 C.N＝22，M＝10，n＝7 D.N＝22，M＝7，n＝10 解析：A　由超几何分布的概念可知A正确. 3.某12人的兴趣小组中，有5名“三好学生”，现从中任意选6人参加竞赛，用X表示这6人中“三好学生”的人数，则当X取　3　时，对应的概率为. 解析：由题意可知，X服从超几何分布，由概率值中的可以看出“从5名三好学生中选取了3名”. 题型一　超几何分布的概率模型辨析 下列问题中，哪些属于超几何分布问题，说明理由. （1）抛掷三枚骰子，所得向上的数是6的骰子的个数记为X，求X的分布列； （2）有一批种子的发芽率为70%，任取10颗种子做发芽实验，把实验中发芽的种子的个数记为X，求X的分布列； （3）盒子中有红球3只，黄球4只，蓝球5只，任取3只球，把不是红色的球的个数记为X，求X的分布列； （4）某班级有男生25人，女生20人.选派4名学生参加学校组织的活动，班长必须参加，其中女生人数记为X，求X的分布列； （5）现有100台平板电脑未经检测，抽取10台送检，把检验结果为不合格的平板电脑的个数记为X，求X的分布列. 解：（1）（2）中样本没有分类，不是超几何分布问题，是重复试验问题. （3）（4）符合超几何分布的特征，样本都分为两类，随机变量X表示抽取n件样本某类样本被抽取的件数，是超几何分布. （5）中没有给出不合格产品数，无法计算X的分布列，所以不属于超几何分布问题. 通性通法 判断一个随机变量是否服从超几何分布的三个注意点 （1）总体是否可分为两类明确的对象； （2）是否为不放回抽样； （3）随机变量是否为样本中其中一类个体的个数. 〔多选〕下列随机变量中，服从超几何分布的有（　　） A.在10件产品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，记取到的次品件数为X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有6个交通岗，记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生，5名女生中选3人参加植树活动，其中男生人数记为X 解析：ABD　依据超几何分布模型定义可知，A、B、D中随机变量X服从超几何分布.而C中显然不能看作一个不放回抽样问题，故随机变量X不服从超几何分布. 题型二　超几何分布的概率 一个袋中装有6个形状、大小完全相同的小球，其中红球有3个，编号为1，2，3；黑球有2个，编号为1，2；白球有1个，编号为1.现从袋中一次随机抽取3个球，记取得1号球的个数为随机变量X，求随机变量X的分布列. 解：由题意知X的可能取值为0，1，2，3，服从超几何分布， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 【母题探究】 1.（变设问）在本例条件下，若记取到白球的个数为随机变量η，求随机变量η的分布列. 解：由题意可知η的可能取值为0，1，服从两点分布. 又P（η＝1）＝＝，所以η的分布列为 η 0 1 P 2.（变条件）〔一题多解〕将本例的条件“一次随机抽取3个球”改为“有放回地抽取3次，每次抽取1个球”，其他条件不变，结果又如何？ 解：由题意知X的可能取值为0，1，2，3. 法一　P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝. 法二　根据X～B（3，），由P（X＝k）＝（1－（）k求出各式概率， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 通性通法 求超几何分布的分布列的步骤 1.一个班级共有30名学生，其中有10名女生，现从中任选三人代表班级参加学校开展的某项活动，假设选出的3名代表中的女生人数为X，男生的人数为Y，则P（X＝2）＋P（Y＝2）＝（　　） A. B. C. D. 解析：C　由题意可知X，Y服从超几何分布， P（X＝2）＝，P（Y＝2）＝，所以P（X＝2）＋P（Y＝2）＝.故选C. 2.现有来自甲、乙两班学生共7名，从中任选2名都是甲班的概率为. （1）求7名学生中甲班的学生人数； （2）设所选2名学生中甲班的学生人数为ξ，求ξ≥1的概率. 解：（1）设甲班的学生人数为M，则＝＝， 即M2－M－6＝0， 解得M＝3或M＝－2（舍去）. ∴7名学生中甲班的学生共有3人. （2）由题意可知，ξ服从超几何分布. ∴P（ξ ≥1）＝P（ξ＝1）＋p（ξ＝2）＝＋＝＋＝. 1.在100张奖券中，有4张能中奖，从中任取2张，则2张都能中奖的概率是（　　） A. B. C. D. 解析：C　记X为抽取的2张中的中奖数，则P（X＝2）＝＝. 2.从一副不含大、小王的52张扑克牌中任意抽出5张，则至少有3张是A的概率为（　　） A. B. C.1－ D. 解析：D　设X为抽出的5张扑克牌中含A的张数，则P（X≥3）＝P（X＝3）＋P（X＝4）＝＋. 3.〔多选〕下列随机事件中的随机变量X不服从超几何分布的是（　　） A.将一枚硬币连抛3次，正面向上的次数X B.从7名男生与3名女生共10名学生干部中选出5名优秀学生干部，选出女生的人数为X C.某射手的命中率为0.8，现对目标射击1次，记命中目标的次数为X D.盒中有4个白球和3个黑球，每次从中摸出1球且不放回，X是首次摸出黑球时的总次数 解析：ACD　由超几何分布的定义可知仅B是超几何分布，故选A、C、D. 4.〔一题多解〕从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，设随机变量X表示所选3人中女生的人数，则X的均值EX＝　1　. 解析：法一　由题意，X的可能取值为0，1，2，P（X＝k）＝，k＝0，1，2.X的分布列为 X 0 1 2 P 所以EX＝0×＋1×＋2×＝1. 法二　EX＝＝＝1. 拓视野　　二项分布与超几何分布的区别 1.建立模型 袋子中有大小相同的N个球，其中有M个红球、N－M个白球，令p＝，设X表示摸出的n个球中红球的个数，则： 摸球方式 X的分布 EX DX 放回摸球 二项分布B（n，p） np np（1－p） 不放回 摸球 参数为N，n，M的超几何分布 np np（1－p） 2.二项分布与超几何分布的联系与区别 （1）由古典概型得出超几何分布，由独立重复试验得出二项分布，放回摸球是二项分布，不放回摸球是超几何分布； （2）对于同一个模型，两个分布的均值相同，但超几何分布的方差较小，说明超几何分布中随机变量的取值更集中于均值附近； （3）对于不放回摸球，当N充分大，且n远远小于N时，各次抽样结果彼此影响很小，可近似认为是独立的.此时，超几何分布可以用二项分布近似代替.从方差的角度看，由于≈1，两个分布的方差也近似相等； （4）在确定分布列时，超几何分布必须同时知道N和M，而二项分布只需要知道p＝即可. 某试验机床生产了12个电子元件，其中8个合格品，4个次品.从中随机抽出4个电子元件作为样本，用X表示样本中合格品的个数. （1）若采用有放回的方式抽取，求X的分布列与期望； （2）若采用不放回的方式抽取，求样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过的概率. 解：（1）采用有放回的方式抽取P（取到合格品）＝＝， P（取到次品）＝＝， 根据题意随机变量X满足二项分布B（4，），可得X的可能取值为0，1，2，3，4， 所以P（X＝0）＝（）0（）4＝，P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝（）2（）2＝，P（X＝3）＝（）3（）1＝， P（X＝4）＝（）4（）0＝. X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以X的数学期望EX＝4×＝. （2）由题意得总体中合格品的比例为＝， 因为样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过，所以样本中合格品的比例大于等于小于等于，即样品中合格品的个数为2或3. P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝. 所以P（样本中合格品的比例与总体中合格品的比例之差的绝对值不超过）＝＋＝. 1.盒中有4个白球，5个红球，从中任取3个球，则取出1个白球和2个红球的概率是（　　） A.　　 　B.　　 　C.　　 　D. 解析：C　根据题意，得P＝＝. 2.某工厂生产的100个产品中有90个一等品，10个二等品，现从这批产品中随机抽取4个，则其中恰有一个二等品的概率为（　　） A.1－ B. C. D. 解析：D　由超几何分布的概率公式可知，所求概率为.故选D. 3.一个盒子里装有大小相同的10个黑球，12个红球，4个白球，从中任取2个，其中白球的个数记为X，则下列概率等于的是（　　） A.P（0＜X≤2） B.P（X≤1） C.P（X＝1） D.P（X＝2） 解析：B　本题相当于求至多取出1个白球的概率，即取到1个白球或没有取到白球的概率. 4.已知某10件产品中含有次品，从这10件产品中抽取2件进行检查，其次品数为ξ.若P（ξ＝1）＝，且该产品的次品率不超过40%，则这10件产品的次品率为（　　） A.10% B.20% C.30% D.40% 解析：B　设这10件产品中有n件次品，则P（ξ＝1）＝＝，即n2－10n＋16＝0，解得n＝2或n＝8.又该产品的次品率不超过40%，所以n≤4，所以n＝2，所以这10件产品的次品率为×100%＝20%.故选B. 5.〔多选〕某人参加一次测试，在备选的10道题中，他能答对其中的5道.现从备选的10道题中随机抽出3道题进行测试，规定至少答对2题才算合格.则下列选项正确的是（　　） A.答对0题和答对3题的概率相同，都为 B.答对1题的概率为 C.答对2题的概率为 D.合格的概率为 解析：CD　设此人答对题目的个数为ξ，则ξ＝0，1，2，3，P（ξ＝0）＝＝，P（ξ＝1）＝＝，P（ξ＝2）＝＝，P（ξ＝3）＝＝，则答对0题和答对3题的概率相同，都为，故A错误；答对1题的概率为，故B错误；答对2题的概率为，故C正确；合格的概率P＝P（ξ＝2）＋P（ξ＝3）＝＋＝，故D正确.故选C、D. 6.〔多选〕在一个袋中装有大小一样的6个豆沙粽，4个咸肉粽，现从中任取4个粽子，设取出的4个粽子中咸肉粽的个数为X，则下列结论正确的是（　　） A.P（X＝2）＝ B.随机变量X服从二项分布 C.随机变量X服从超几何分布 D.P（1＜X＜4）＝ 解析：ACD　由题意知，随机变量X服从超几何分布，故B错误，C正确；P（X＝2）＝＝，P（X＝3）＝＝，所以P（1＜X＜4）＝P（X＝2）＋P（X＝3）＝＋＝，故A、D正确.故选A、C、D. 7.有10件产品，其中4件是次品，从中任取3件，若X表示取得次品的个数，则E（2X＋1）＝　　. 解析：由题意可得X服从超几何分布，EX＝＝.所以E（2X＋1）＝2EX＋1＝. 8.有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X表示取得次品的个数，则P（X＜2）＝　　，随机变量X的均值EX＝　　. 解析：X表示取得次品的个数，则X服从超几何分布，所以P（X＜2）＝P（X＝0）＋P（X＝1）＝＋＝＋＝，EX＝＝. 9.某学校有一个体育运动社团，该社团中篮球、足球都会的有2人，从该社团中任取2人，设X为选出的人中篮球、足球都会的人数，若P（X＞0）＝，则该社团的人数为　7　. 解析：设该社团的人数为n，∴P（X＝0）＝＝.∵P（X＝0）＝1－P（X＞0）＝，∴＝， 即（11n－18）（n－7）＝0，又∵n∈N＋，解得n＝7. 10.在箱子中有10个小球，其中有3个红球，3个白球，4个黑球.从这10个球中任取3个球.求： （1）取出的3个球中红球的个数X的分布列； （2）取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率. 解：（1）由题意知，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3， 且X服从参数为N＝10，M＝3，n＝3的超几何分布， 因此P（X＝k）＝（k＝0，1，2，3）. 所以P（X＝0）＝＝＝， P（X＝1）＝＝＝， P（X＝2）＝＝＝， P（X＝3）＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P （2）设“取出的3个球中红球个数多于白球个数”为事件A，“恰好取出1个红球和2个黑球”为事件A1，“恰好取出2个红球”为事件A2，“恰好取出3个红球”为事件A3，由于事件A1，A2，A3彼此互斥，且A＝A1＋A2＋A3， 而P（A1）＝＝， P（A2）＝P（X＝2）＝， P（A3）＝P（X＝3）＝， 所以取出的3个球中红球个数多于白球个数的概率为 P（A）＝P（A1）＋P（A2）＋P（A3）＝＋＋＝. 11.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳术数之源，其中河图排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中.如图，白圈为阳数，黑点为阴数.若从这10个数中任取3个数，则这3个数中至多有1个阴数的概率为（　　） A. B. C. D. 解析：A　由题意知，10个数中，1，3，5，7，9为阳数，2，4，6，8，10为阴数，若任取的3个数中有0个阴数，则概率为＝；若任取的3个数中有1个阴数，则概率为＝，故这3个数中至多有1个阴数的概率为P＝＋＝.故选A. 12.〔多选〕一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，下列说法正确的是（　　） A.这2台电脑中A品牌台数为1的概率是 B.这2台电脑中A品牌台数为2的概率是 C.这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是 D.这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率是 解析：AC　设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X，X的可能取值为0，1，2，则P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝，A正确，B错误.这2台电脑中至多有1台A品牌电脑的概率是P（X＝0）＋P（X＝1）＝，C正确.这2台电脑中至少有1台B品牌电脑的概率为＋＝，D错误.故选A、C. 13.为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加.现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名.从这8名运动员中随机选择4人参加比赛.设A为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，则事件A发生的概率是　　；设X为选出的4人中种子选手的人数，则随机变量X的均值EX＝　　. 解析：由已知得P（A）＝＝，∴事件A发生的概率为.随机变量X服从参数为8，5，4的超几何分布，其分布列为P（X＝k）＝（k＝1，2，3，4）. 如表： X 1 2 3 4 P ∴EX＝1×＋2×＋3×＋4×＝. 14.根据历史资料显示，某种慢性疾病患者的自然痊愈率为5%.为试验一种新药，在有关部门批准后，医院将此药给10位病人服用，试验方案为：若这10人中至少有2人痊愈，则认为该药有效，提高了治愈率；否则，则认为该药无效. （1）如果在该次试验中有5人痊愈，院方欲从参加该次试验的10人中随机选2人了解服药期间的感受，记抽到痊愈的人的个数为X，求X的分布列及均值； （2）如果新药有效，将治愈率提高到了50%，求通过试验却认定新药无效的概率p，并根据p的值解释该试验方案的合理性. （参考结论：通常认为发生概率小于5%的事件为小概率事件） 解：（1）X的所有可能取值为0，1，2， P（X＝0）＝＝，P（X＝1）＝＝，P（X＝2）＝＝， ∴X的分布列为 X 0 1 2 P EX＝0×＋1×＋2×＝1（或EX＝n×＝2×＝1）. （2）新药无效的情况有10人中1人痊愈、10人中0人痊愈， ∴p＝（）0×（）10＋（）×（）9＝≈0.01＜0.05. 故实验方案合理. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $