6.4.1 第2课时 二项分布的综合应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　二项分布的综合应用 一、选择题 1.已知随机变量X服从二项分布B,则P(X=2)= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 2.已知随机变量X~B(20,p),且EX=6,则DX= (　 ) A.1.8 B.6 C.2.1 D.4.2 3.[2024·黑龙江牡丹江三中高二期末] 已知随机变量X~B(n,p),随机变量Y=3X+1,若EY=7,DY=12,则p= (　 ) A. B. C. D. 4.某人从家乘车到单位,途中经过3个路口.假设在各路口遇到红灯的事件是相互独立的,且事件发生的概率都是0.4,则此人上班途中遇到红灯的次数的方差为 (　 ) A.0.48 B.1.2 C.0.72 D.0.6 5.把27粒种子分别种在9个坑内,每坑3粒,每粒种子发芽的概率为.若一个坑内至少有1粒种子发芽,则这个坑不需要补种;若一个坑内的种子都没发芽,则这个坑需要补种.假定每个坑至多补种1次,每补种一个坑需12元,若补种费用为X元,则X的数学期望为 (　 ) A.3 B.4 C.12 D.24 6.甲、乙两名运动员进行羽毛球比赛,已知每局比赛甲胜的概率为p,乙胜的概率为1-p,且各局比赛结果相互独立.当比赛采取5局3胜制时,甲用4局赢得比赛的概率为.现甲、乙进行6局比赛,设甲胜的局数为X,则DX= (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)设随机变量X~B,则下列结论正确的有 (　 ) A.P(X=1)= B.P(X=2)=P(X=3) C.X的数学期望EX= D.X的方差DX= 8.(多选题)一个盒子中装有3个黑球和1个白球,现从该盒子中有放回地随机取球3次,每次取1个球,取到白球记1分,取到黑球记0分,记3次取球后的总得分为X,则 (　 ) A.X服从二项分布 B.P(X=1)= C.EX= D.D(2X)= 二、填空题 9.已知某同学每次投篮投中的概率均为0.6,且各次投篮是否投中相互独立.该同学投了25次,X表示投中的次数,则EX=　　　　.  10.若随机变量X服从二项分布B(n,p),EX=3,p=,则DX=　　　　.  11.已知随机变量X~B(4,p),若EX+DX=,则P(X≥1)=　　　　.  12.某商场进行抽奖促销活动,抽奖规则中规定,抛掷一枚质地均匀的硬币n次,若正面向上的次数为0或n,则获得一等奖.为使顾客获得一等奖的概率不超过1%,则n的最小值为　　　　.  三、解答题 13.投掷两枚质地均匀的骰子,当至少有一枚出现5点或至少有一枚出现6点时,就说这次试验成功,求在10次试验中成功次数的均值. 14.在一次国际大型体育运动会上,某运动员报名参加了其中3个项目的比赛.已知该运动员在这3个项目中,每个项目能打破世界纪录的概率都是,且各项目能否打破世界纪录互不影响. (1)求该运动员在本次运动会上至少能打破2项世界纪录的概率; (2)若该运动员在本次运动会上能打破世界纪录的项目个数为X,求X的分布列及期望. 15.[2024·辽宁五校高二联考] 已知某种疾病采取某种疗法的治愈率为80%.若有100位该病患者采取了这种疗法,且每位患者治愈与否相互独立,设其中被治愈的人数为X,则下列选项中正确的是 (　 ) A.E(2X+1)=160 B. P(X=30)=×(0.8)30×(0.2)70 C.D(2X+1)=32 D.存在k≠50,使得P(X=k)=P(X=100-k)成立 16.某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱的废品率有10%或者20%两种可能,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品的正品每件的市场价格为100元,废品不值钱.现处理价格为每箱8400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据. (1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买. (2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验. (i)若此箱的废品率为20%,记抽到的废品件数为X,求X的分布列和期望. (ii)若已发现在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品,请判断是否可以购买?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二项分布的综合应用 1.A　[解析] 因为随机变量X服从二项分布B,所以P(X=2)=××=.故选A. 2.D　[解析] 因为X~B(20,p),所以EX=20p=6,得p=0.3,故DX=np(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故选D. 3.B　[解析] 因为X~B(n,p),所以EX=np,DX=np(1-p),因为Y=3X+1,所以EY=3EX+1=3np+1=7,解得np=2,又DY=9DX=9np(1-p)=12,所以18(1-p)=12,解得p=.故选B. 4.C　[解析] 设此人上班途中遇到红灯的次数为X,则X~B(3,0.4),所以DX=3×0.4×0.6=0.72.故选C. 5.B　[解析] 每个坑需要补种的概率为=,故9个坑需要补种的个数Y~B,所以EY=9×=,又X=12Y,故EX=12×=4.故选B. 6.D　[解析] 由题意知p2(1-p)·p=,所以p=,所以每局比赛甲胜的概率为,乙胜的概率为.由题意知,随机变量X~B,所以DX=6××=. 7.ACD　[解析] ∵随机变量X~B,∴P(X=1)=××=,故A正确;P(X=2)=××=,P(X=3)=××=,P(X=2)≠P(X=3),故B错误;X的数学期望EX=4×=,故C正确;X的方差DX=4××=,故D正确.故选ACD. 8.AC　[解析] 对于A选项,由题意知,3次取球后的总得分X等于3次取球后取得白球的个数,因为每次取球的结果只有2个,且每次取球后都放回,所以X服从二项分布,故A正确;对于B选项,由A选项的分析及题意知X~B,所以P(X=1)=××=,故B错误;对于C选项,因为X~B,所以EX=3×=,故C正确;对于D选项,因为X~B,所以DX=3××=,所以D(2X)=4DX=,故D错误.故选AC. 9.15　[解析] 由题意可得随机变量X~B(25,0.6),则EX=25×0.6=15. 10.　[解析] 因为EX=np=3,且p=,所以n=21,所以DX=np(1-p)=21××=. 11.　[解析] 因为EX+DX=,所以4p+4p(1-p)=,解得p=或p=(舍去),所以P(X≥1)=1-P(X=0)=1-=. 12.8　[解析] 由题意可得,获得一等奖的概率为=,n∈N*,令≤1%=,则2n-1≥100,可得n≥8,故n的最小值为8. 13.解:记A表示“抛掷两枚质地均匀的骰子,至少有一枚出现5点或至少有一枚出现6点”,则P(A)=1-×=.用X表示10次试验中成功的次数,则X~B,故EX=10×=. 14.解:(1)设事件A表示“该运动员在本次运动会上至少能打破2项世界纪录”,事件B表示“该运动员在本次运动会上能打破2项世界纪录”,事件C表示“该运动员在本次运动会上能打破3项世界纪录”,则P(A)=P(B)+P(C)=××+×=. (2)由题意可知X~B,则P(X=0)=×=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=×=,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以EX=0×+1×+2×+3×=2. 15.B　[解析] 由题意可得X~B(100,0.8),则EX=100×0.8=80,DX=100×0.8×(1-0.8)=16,所以E(2X+1)=2EX+1=161,D(2X+1)=4DX=64,故A,C错误;由二项分布的概率公式得P(X=30)=×(0.8)30×(0.2)70,故B正确;P(X=k)=·(0.8)k·(0.2)100-k,P(X=100-k)=·(0.8)100-k·(0.2)k,假设存在k≠50,使得P(X=k)=P(X=100-k),则·(0.8)k·(0.2)100-k=·(0.8)100-k·(0.2)k,化简得(0.8)2k-100=(0.2)2k-100,解得k=50,与k≠50矛盾,故假设不成立,D错误.故选B. 16.解:(1)在不开箱检验的情况下,一箱产品中正品的价格期望值Eξ=100×(1-0.2)×100×0.5+100×(1-0.1)×100×0.5=8500>8400,∴在不开箱检验的情况下,可以购买. (2)(i)由题可知,X的所有可能取值为0,1,2,则P(X=0)=×0.20×0.82=0.64,P(X=1)=×0.21×0.81=0.32,P(X=2)=×0.22×0.80=0.04,∴X的分布列为 X 0 1 2 P 0.64 0.32 0.04 ∴EX=0×0.64+1×0.32+2×0.04=0.4. (ii)设事件A表示“在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品”,则P(A)=×0.2×0.8×0.5+×0.1×0.9×0.5=0.25. 设一箱产品的价格的期望值为η,则η=8000,9000. 设事件B1表示“抽到的废品来自废品率为20%的一箱”,则P(η=8000)=P(B1|A)===0.64,事件B2表示“抽到的废品来自废品率为10%的一箱”,则P(η=9000)=P(B2|A)===0.36,∴Eη=8000×0.64+9000×0.36=8360<8400,∴在抽取检验的2件产品中,恰有一件是废品时,不可以购买. 学科网（北京）股份有限公司 $