6.3.2 离散型随机变量的方差(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 一、选择题 1.下列说法正确的是 (　 ) A.离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的波动水平 B.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的变化趋势 C.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平 2.设ξ是随机变量,且D(5ξ)=20,则Dξ= (　 ) A.0.4 B.0.8 C.4 D.20 3.已知随机变量ξ的分布列如下表所示: ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 x 则ξ的标准差为 (　 ) A.3.56 B. C.3.2 D. 4.[2024·吉林延边汪清四中高二期末] 已知随机变量X的分布列如表(其中a为常数): X 0 1 2 3 P 0.2 0.3 0.4 a 则下列结论正确的是 (　 ) A.a=0.2 B. P(X≥2)=0.7 C.EX=1.5 D.DX=0.84 5.在一个箱子中装有除颜色外完全相同的3个白球和2个黑球,现从中不放回地摸取3个球,设摸得的白球个数为X,黑球个数为Y,则 (　 ) A.EX>EY,DX>DY B.EX=EY,DX>DY C.EX>EY,DX=DY D.EX=EY,DX=DY 6.[2024·山西太原高二期中] 若随机变量X的取值为0,1,2,且P(X=0)=,EX=1,则DX= (　 ) A. B. C. D.1 7.(多选题)已知随机变量X满足E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,则下列结论正确的是 (　 ) A.EX= B.EX=2 C.DX=4 D.DX=8 8.(多选题)投资甲、乙两种股票,每股收益(单位:元)的分布列分别如表1和表2所示. 表1　股票甲每股收益X的分布列 X -1 0 2 P 0.1 0.3 0.6 表2　股票乙每股收益Y的分布列 Y 0 1 2 P 0.3 0.4 0.3 则下列结论中正确的是 (　 ) A.投资股票甲每股收益的期望较小 B.投资股票乙每股收益的期望较小 C.投资股票甲比投资股票乙的风险高 D.投资股票乙比投资股票甲的风险高 二、填空题 9.若随机变量X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则D=　　　　.  10.[2024·山东嘉祥萌山中学高二月考] 已知随机变量ξ的分布列为 ξ -1 0 1 P a b c 其中a+c=2b,若Eξ=,则Dξ=　　　　.  11.已知随机变量X 的分布列为P(X=k)=,k=1,2,3,则D(3X+5)=　　　　.   12.甲、乙两人进行定点投篮游戏,投篮者若投中,则继续投篮,否则由对方投篮,第一次由甲投篮.已知每次投篮甲、乙投中的概率分别为,.记前3次投篮中,乙投篮的次数为ξ,则ξ的方差为　　　　.  三、解答题 13.[2024·山西运城稷山中学高二月考] 已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x P p 且EX=. (1)求DX的值; (2)若Y=3X-2,求DY的值. 14.已知有甲、乙两种品牌的手表,它们的日走时误差分别为X,Y(单位:秒),其分布列分别如下, 甲品牌手表的日走时误差分布列 X -1 0 1 P a 0.8 0.1 乙品牌手表的日走时误差分布列 Y -2 -1 0 1 2 P 0.1 0.2 0.4 b 0.1 试比较甲、乙两种品牌手表的性能. 15.[2024·吉林长春南关区实验中学高二期末] 若随机变量ξ服从两点分布,则的最大值为　　　　.  16.某短视频软件经过几年的快速发展,深受人们的喜爱,该软件除了有娱乐属性外,也可通过平台推送广告.某公司为了宣传新产品决定投放广告,现有以下两种方案. 方案一:投放该平台广告,记其收益为X万元,据市场调研,X的可能取值为0,20,40,且P(X=20)=0.3,期望EX=30. 方案二:投放传统广告,记其收益为Y万元,据市场调研,Y的可能取值为10,20,30,概率分别为0.3,0.4,0.3. (1)请写出方案一中X的分布列,并求方差DX; (2)请你根据所学的知识给出建议,该公司应该投放哪种广告?并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　离散型随机变量的方差 1.D　[解析] 因为离散型随机变量X的均值EX反映了X取值的平均水平,而非波动水平,离散型随机变量X的方差DX不能反映X取值的变化趋势或平均水平,可以反映X取值的波动水平,所以A,B,C错误,D正确.故选D. 2.B　[解析] 由题意得D(5ξ)=25Dξ=20,所以Dξ==0.8.故选B. 3.D　[解析] 由分布列的性质得0.4+0.1+x=1,解得x=0.5,∴Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴Dξ=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56,∴ξ的标准差为=.故选D. 4.D　[解析] 由0.2+0.3+0.4+a=1,解得a=0.1,则P(X≥2)=P(X=2)+P(X=3)=0.4+0.1=0.5,EX=0×0.2+1×0.3+2×0.4+3×0.1=1.4,DX=(0-1.4)2×0.2+(1-1.4)2×0.3+(2-1.4)2×0.4+(3-1.4)2×0.1=0.84,故选D. 5.C　[解析] X的可能取值为1,2,3,易知P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,所以EX=.Y的可能取值为0,1,2,易知P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,所以EY=.所以EX>EY.易知X+Y=3,所以DX=D(3-Y)=DY.故选C. 6.B　[解析] 设P(X=1)=p,P(X=2)=q,由题意得EX=0×+p+2q=1,+p+q=1,解得p=,q=,所以DX=×(0-1)2+×(1-1)2+×(2-1)2=.故选B. 7.BC　[解析] 因为E(2X+3)=7,D(2X+3)=16,所以2EX+3=7,4DX=16,所以EX=2,DX=4.故选BC. 8.BC　[解析] 投资股票甲每股收益的期望EX=-1×0.1+0×0.3+2×0.6=1.1,方差DX=(-1-1.1)2×0.1+(0-1.1)2×0.3+(2-1.1)2×0.6=1.29.投资股票乙每股收益的期望EY=0×0.3+1×0.4+2×0.3=1,方差DY=(0-1)2×0.3+(1-1)2×0.4+(2-1)2×0.3=0.6.所以EX>EY,DX>DY,则投资股票乙每股收益的期望较小,投资股票甲比投资股票乙的风险高.故选BC. 9.　[解析] 由题意知EX=1×+2×+3×+4×=,则DX=×+×+×+×=,所以D=DX=. 10.　[解析] 由题意得2b=a+c,a+b+c=1,c-a=,以上三式联立解得a=,b=,c=,故Dξ=×+×+×=. 11.6　[解析] 由题意知,EX=(1+2+3)×=2,则DX=×[(1-2)2+(2-2)2+(3-2)2]=,所以D(3X+5)=32DX=9×=6. 12.　[解析] 由题意知,乙投篮的次数ξ的取值为0,1,2,则P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=×+×=,P(ξ=2)=×=.故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 则Eξ=0×+1×+2×=,所以Dξ=×+×+×=. 13.解:由题意得++p=1,解得p=, 因为EX=0×+1×+x=,所以x=2. (1)DX=×+×+×=. (2)因为Y=3X-2,所以DY=D(3X-2)=9DX=5. 14.解:由分布列的性质知,a+0.8+0.1=1,解得a=0.1,0.1+0.2+0.4+b+0.1=1,解得b=0.2,则EX=(-1)×0.1+0×0.8+1×0.1=0,EY=(-2)×0.1+(-1)×0.2+0×0.4+1×0.2+2×0.1=0,所以EX=EY,即甲、乙两种品牌手表的日走时误差均值相同. DX=(-1)2×0.1+02×0.8+12×0.1=0.2,DY=(-2)2×0.1+(-1)2×0.2+02×0.4+12×0.2+22×0.1=1.2,所以DX<DY,即甲品牌手表的日走时误差的方差较小,日走时误差更稳定. 故甲、乙两种品牌手表的日走时误差均值相同,甲品牌手表的日走时误差的方差较小,性能更稳定. 15.2-2　[解析] 随机变量ξ服从两点分布,设成功的概率为p,可得Eξ=p,Dξ=p(1-p),其中0<p<1,所以==2-≤2-2=2-2,当且仅当2p=,即p=时取等号,即的最大值为2-2. 16.解:(1)设P(X=0)=a,P(X=40)=b, 依题意得解得 所以X的分布列为 X 0 20 40 P 0.1 0.3 0.6 则DX=(0-30)2×0.1+(20-30)2×0.3+(40-30)2×0.6=180. (2)由题意得Y的分布列为 Y 10 20 30 P 0.3 0.4 0.3 则EY=10×0.3+20×0.4+30×0.3=20,DY=(10-20)2×0.3+(20-20)2×0.4+(30-20)2×0.3=60. 由EX>EY可知投放平台广告所获收益的期望较大, 由DX>DY可知投放平台广告的收益更不稳定. 综上所述,若公司期望高收益,则选择投放平台广告;若公司期望收益稳定,则选择投放传统广告. 学科网（北京）股份有限公司 $