5.1.3 基本计数原理的简单应用(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.3　基本计数原理的简单应用 1.A　[解析] 先从4幅画中选1幅挂在左边墙上,再从剩下的3幅画中选1幅挂在右边墙上,共有4×3=12(种)挂法.故选A. 2.B　[解析] 当有1名男生被选中时,选男生有2种方法,选女生有3种方法,共有3×2=6(种)方法;当2名男生均被选中时,只有1种方法.所以共有6+1=7(种)选法.故选B. 3.A　[解析] 因为4名学生来自高一、高二年级各2名,所以随机选2名学生来自不同年级的选择方法共有2×2=4(种).故选A. 4.B　[解析] 分两种情况讨论:①数字3不出现,此时四位数的每个数位上的数字都可以为6或9,都有2种情况,则此时四位数有2×2×2×2=16(个);②数字3出现1次,则数字3出现的情况有4种,剩下的三个数位上的数字都可以为6或9,都有2种情况,此时四位数有4×2×2×2=32(个).故共有16+32=48(个)四位数,故选B. 5.A　[解析] 根据题意,记正五角星的六个区域依次为A,B,C,D,E,F,如图所示,要将每个区域都涂色才做完这件事.对A区域涂色,有3种方法;B,C,D,E,F这5个区域都与A相邻,每个区域都有2种涂色方法.所以共有3×2×2×2×2×2=96(种)不同的涂色方案. 6.B　[解析] 如图,依次涂色,底面ABCD的涂色有4种选择,侧面PAB的涂色有3种选择,侧面PBC的涂色有2种选择.①若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色相同,则侧面PAD的涂色有2种选择;②若侧面PCD与侧面PAB所涂颜色不同,则侧面PCD的涂色有1种选择,侧面PAD的涂色有1种选择.综上,不同的涂法有4×3×2×(1×2+1×1)=72(种).故选B. 7.ABD　[解析] 对于A,从中任选1个球,有4+5+6=15(种)不同的选法,所以该选项正确;对于B,若每种颜色选出1个球,有4×5×6=120(种)不同的选法,所以该选项正确;对于C,若要选出不同颜色的2个球,有4×5+5×6+4×6=74(种)不同的选法,所以该选项错误;对于D,若要不放回地依次选出2个球,有15×14=210(种)不同的选法,所以该选项正确.故选ABD. 8.BC　[解析] 对于选项A,若a,b均为正,则有2×2=4(种)情况,若a,b均为负,则有1×2=2(种)情况,但=,所以共有5个满足条件的数,所以选项A错误;对于选项B,若为正,显然均比1大,所以只需为负即可,共有2×2+1×2=6(个)满足条件的数,所以选项B正确;对于选项C,要使(a,b)表示x轴上方的点,只需b为正即可,共有2×3=6(个)满足条件的点,所以选项C正确;对于选项D,要使(a,b)表示y轴右侧的点,只需a为正即可,共有2×4=8(个)满足条件的点,所以选项D错误.故选BC. 9.9　[解析] 1至10中的质数有2,3,5,7,由2,3,5,7组成没有重复数字的两位奇数,个位有3种选择,十位有3种选择,故共有3×3=9(个)满足条件的两位数. 10.12　[解析] 分四步.第一步:先安排小张,有2种选派方案;第二至四步依次安排剩余三人,分别有3种、2种、1种选派方案.则由分步乘法计数原理得,不同的选派方案有2×3×2×1=12(种). 11.180　[解析] 当A,C的颜色相同时:第一步涂A,C,有5种方法,第二步涂B,有4种方法,第三步涂D,有3种方法,共计5×4×3=60(种)方法;当A,C的颜色不同时:第一步涂A,有5种方法,第二步涂B,有4种方法,第三步涂C,有3种方法,第四步涂D,有2种方法,共计5×4×3×2=120(种)方法.所以共有60+120=180(种)方法. 12.15　[解析] 分三类:第一类,使用甲,则先投甲,再投除甲、乙之外的三种原料的任意一种,有3种投放方案;第二类,使用乙,则乙有2种投法,再选除甲、乙之外的三种原料的任意一种进行投放,有3种选法,共有2×3=6(种)投放方案;第三类,不使用甲、乙,则选除甲、乙之外的三种原料的任意两种进行投放,有3×2=6(种)投放方案.根据分类加法计数原理得,共有3+6+6=15(种)投放方案. 13.解:(1)每位同学取1本书,第1,2,3位同学依次有8,7,6种取法,则由分步乘法计数原理知,不同的分法共有8×7×6=336(种). (2)每位旅客都有3种不同的住宿方法,因而不同的住宿方法共有3×3×3×3=81(种). 14.解:完成这件事有三类方法.第一类是个位上的数字为0且比2000大的4位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的数字,只有2,3,4,5可以选择,有4种选法;第二步,选取百位上的数字,除0和千位上已选定的数字以外,还有4个数字可供选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法.依据分步乘法计数原理可知,这类数有4×4×3=48(个).第二类是个位上的数字为2且比2000大的4位偶数,它可以分三步去完成:第一步,选取千位上的数字,除去2,1,0,只有3个数字可以选择,有3种选法;第二步,选取百位上的数字,在去掉已经确定的首尾两数字之后,还有4个数字可供选择,有4种选法;第三步,选取十位上的数字,有3种选法.依据分步乘法计数原理可知,这类数有3×4×3=36(个).第三类是个位上的数字为4且比2000大的4位偶数,其步骤同第二类,可得这类数有36个.由分类加法计数原理,可得所求无重复数字且比2000大的四位偶数有48+36+36=120(个). 15.18　[解析] 各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)的“好序数”等于3,这个数组中可以组成的实数对有=21(个),则(a7,a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”为21-3=18. 16.30　[解析] 以小球A放的盒子为分类标准,共分为三类:第一类,当小球A放在4号盒内时,小球B放在3号盒内,则不同的放法有1×3×2×1=6(种);第二类,当小球A放在3号盒内时,小球B放在2号或4号或5号盒内,则不同的放法有3×3×2×1=18(种);第三类,当小球A放在5号盒内时,小球B放在3号盒内,则不同的放法有1×3×2×1=6(种).综上所述,不同的放法有6+18+6=30(种). 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3　基本计数原理的简单应用 一、选择题 1.从甲、乙、丙、丁4幅不同的画中选出2幅,分别挂在左、右两边墙上指定的位置,则不同的挂法种数是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.12 B.7 C.24 D.6 2.在2名男生和3名女生中任选2名学生参加党史知识竞赛,则至少有1名男生被选中的选法有 (　 ) A.6种 B.7种 C.8种 D.10种 3.某校文艺部有4名学生,其中高一、高二年级各有2名,从这4名学生中随机选2名组织校文艺汇演,要求这2名学生来自不同年级,则不同的选择方法共有 (　 ) A.4种 B.6种 C.8种 D.12种 4.用数字3,6,9组成四位数,各数位上的数字允许重复,且数字3至多出现一次,则可以组成的四位数的个数为 (　 ) A.81 B.48 C.36 D.24 5.现有红、黄、蓝三种颜色,给如图所示的正五角星的内部涂色(分割成六个不同部分),要求每个区域涂一种颜色且相邻部分(有公共边的两个区域)的颜色不同,则不同的涂色方案有 (　 ) A.96种 B.84种 C.36种 D.18种 6.四色定理又称四色猜想,是世界近代三大数学难题之一,其通俗的说法是“任何一张地图只用四种颜色就能使具有共同边界的国家着上不同的颜色”.某校数学兴趣小组在研究给四棱锥P-ABCD的各个面涂颜色时,提出如下的“四色问题”:要求相邻面(含公共棱的面)不得使用同一种颜色,现有4种颜色可供选择,则不同的涂法有 (　 ) A.36种 B.72种 C.48种 D.24种 7.(多选题)现有不同的红球4个,黄球5个,绿球6个,则下列说法正确的是 (　 ) A.从中任选1个球,有15种不同的选法 B.若每种颜色选出1个球,有120种不同的选法 C.若要选出不同颜色的2个球,有31种不同的选法 D.若要不放回地依次选出2个球,有210种不同的选法 8.(多选题)已知集合M={1,-2,3},N={-4,5,6,-7},从M,N这两个集合中各选一个元素分别记作a,b.则下列说法正确的有 (　 ) A.表示不同正数的个数是6 B.表示不同的比1小的数的个数是6 C.(a,b)表示x轴上方不同的点的个数是6 D.(a,b)表示y轴右侧不同的点的个数是6 二、填空题 9.1至10中的质数能够组成的所有没有重复数字的两位奇数的个数为　　　　.  10.某运动会组委会派小张、小赵、小李、小罗四人从事翻译、导游、礼仪、司机四项不同的工作,要求每人从事一项工作,每项工作都有人从事.若小张只能从事前两项工作,其余3人均能从事这四项工作,则不同的选派方案共有　　　种.  11.如图,用5种不同的颜色给图中A,B,C,D四个区域涂色,规定每个区域只涂一种颜色,相邻区域的颜色不同,则不同的涂色方法种数为　　　　.  12.某化工厂生产过程中需依次投放2种化工原料,现有甲、乙等5种原料可用,但甲、乙两种原料不能同时使用,且依次投料时,若使用甲原料,则甲必须先投放,则不同的投放方案有　　　　　　种.  三、解答题 13.(1)有8本不同的书,任选3本分给3位同学,每人1本,有多少种不同的分法? (2)4位旅客到3个旅馆住宿,有多少种不同的住宿方法? 14.用0,1,2,3,4,5可以组成多少个无重复数字且比2000大的四位偶数? 15.对于各数不相等的正整数组(i1,i2,…,in)(n是不小于2的正整数),如果在p>q时有ip>iq,则称ip和iq是该数组的一个“好序”,一个数组中“好序”的个数称为此数组的“好序数”,例如,数组(1,3,4,2)中有好序“1,3”“1,4”“1,2”“3,4”,其“好序数”等于4.若各数互不相等的正整数组(a1,a2,a3,a4,a5,a6,a7)的“好序数”等于3,则(a7,a6,a5,a4,a3,a2,a1)的“好序数”等于　　　　.  16.将A,B,C,D,E五个小球放在如图所示的五个盒子内,要求每个盒子只能放一个小球,且小球A不能放1,2号盒内,小球B必须放在与小球A相邻的盒子内,则不同的放法有 　　　　种.  学科网（北京）股份有限公司 $