3.4.2 第2课时 用向量方法研究立体几何中的垂直关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系 1.B　[解析] 设=λ,则=λ(-1,1,0)=(-λ,λ,0),连接OB,则=-=(-λ,λ-1,-1),因为BH⊥OA,所以·=λ+λ-1=0,所以λ=,则=,可得点H的坐标为.故选B. 2.B　[解析] ∵u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1)分别为平面α,β的法向量,α⊥β,∴u·v=-6+y+z=0,∴y+z=6.故选B. 3.B　[解析] ∵直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(-2,2,-4),∴u=-2a,∴l⊥α.故选B. 4.B　[解析] 当a,b不共线时,由c·a=0且c·b=0,可推出l⊥α;当a,b为共线向量时,由c·a=0且c·b=0,不能够推出l⊥α.所以“c·a=0且c·b=0”不是“l⊥α”的充分条件.若l⊥α,则一定能够推出c·a=0且c·b=0.所以“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的必要不充分条件.故选B. 5.B　[解析] 分别以DA,DC,DD1所在直线为x轴,y轴,z轴建立空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为3,则A(3,0,0),C(0,3,0),D(0,0,0),A1(3,0,3),E(1,0,1),F(2,1,0),B(3,3,0),D1(0,0,3),∴=(-3,0,-3),=(-3,3,0),=(1,1,-1),=(-3,-3,3),∴·=0,·=0,∥,∴⊥,⊥,∴A1D⊥EF,AC⊥EF,EF∥BD1.故选B. 6.B　[解析] 由已知可得PD⊥DC,PD⊥DA,DC⊥DA,如图所示,以D为原点,建立空间直角坐标系,设QA=1,则D(0,0,0),C(0,0,1),Q(1,1,0),P(0,2,0),故=(1,1,0),=(0,0,1),=(1,-1,0),故·=0,·=0,即⊥,⊥,因为DQ∩DC=D,故PQ⊥平面DCQ,因为PQ⊂平面PQC,故平面PQC⊥平面DCQ.故选B. 7.AC　[解析] 对于A,两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则b=-a,所以l1∥l2,选项A正确;对于B,直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则a·u=1×6-1×4+2×(-1)=0,所以l∥α或l⊂α,选项B错误;对于C,两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则u·v=2×(-3)+2×4-1×2=0,所以α⊥β,选项C正确;对于D,直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-5,0),则u=-a,所以l⊥α,选项D错误.故选AC. 8.AD　[解析] 以D为坐标原点,以DA,DC,DD1所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),E(1,2,0),F(0,2,1),G(2,2,1),A1(2,0,2),B1(2,2,2),C1(0,2,2),D1(0,0,2).对于选项A,=(-2,-2,2),=(-2,0,-2),∴·=4-4=0,∴BD1⊥A1D,故选项A正确;对于选项B,=(0,2,-1),=(-1,0,1),∴·=-1,∴A1G与EF不垂直,故选项B错误;对于选项C,设平面AEF的法向量为m=(x,y,z),=(-1,2,0),=(-1,0,1),由取x=2,可得y=1,z=2,则m=(2,1,2),∵=(-2,0,-2)与m不平行,∴A1D与平面AEF不垂直,故选项C错误;对于选项D,∵=(0,2,-1),∴m·=2-2=0,∴m⊥,∵A1G⊄平面AEF,∴A1G∥平面AEF,故选项D正确.故选AD. 9.-2　[解析] ∵平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,点B(m,0,2-m)在平面α内,∴=(m+1,3,2-m),且·n=0,∴-2(m+1)-6+2-m=0,∴m=-2. 10.(-1,0,2)　[解析] 由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由⊥,得·=x-1+z=0,由⊥,得·=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2). 11.　[解析] 以C1为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.由题意得B1(0,1,0),D,C1(0,0,0),A(1,0,2),设F(0,1,t),0≤t≤2,则=,=(-1,1,-2),=(0,1,t).∵AB1⊥平面C1DF,∴ 即解得t=,∴线段B1F的长为. 12. 　[解析] 设三棱锥的高为h,底面边长为1,底面三角形的中心为O,建立如图所示的空间直角坐标系,则点P(0,0,h),A,B,C,则=,=,=,设平面PAB的一个法向量为m=(x,y,z),则即 令x=,得y=3,z=,则m=.同理可得平面PAC的一个法向量为.则3-9+=0,解得h=.故三棱锥的高与底面边长之比为. 13.证明:设AA1=a,AB=BC=b,以C1为原点,以C1D1,C1B1,C1C所在直线分别为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则A(b,b,a),C(0,0,a),E,F,则=(-b,-b,0),=. ∵·=b2-b2+0=0, ∴⊥,∴AC⊥EF. 14.证明:以D为原点, 以DA,DC,DD1所在直线分别为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系, 则D(0,0,0),B1(2,2,4),E(2,,0),F(,2,0),A(2,0,0),C(0,2,0), 因此=(0,-,-4),=(-,,0). 设平面B1EF的法向量为n=(x,y,z),则 解得令y=1,得n=.连接AC,因为BB1⊥平面ABCD,所以BB1⊥AC,又因为BD⊥AC且BD∩BB1=B,所以AC⊥平面BDD1B1,所以平面BDD1B1的一个法向量为=(-2,2,0).而n·=1×(-2)+1×2+×0=0,即n⊥,所以平面B1EF⊥平面BDD1B1. 15.B　[解析] 将正四面体补充成正方体,并建立如图所示的空间直角坐标系D-xyz,设正方体的棱长为2,则A(0,2,2),B(2,0,2),C(2,2,0),P(1,1,2),E,F.设G(a,0,a),则=(a-1,-1,a-2),=,假设⊥,则×(a-1)+0+×(a-2)=0,此方程无解,所以不存在点G,使PG⊥EF成立,A错误.=,=,假设⊥,则×+2+×=0,解得a=-,即在直线BD上存在点G,使FG⊥EP成立,B正确.设平面EFG的法向量为m=(x,y,z),则即令x=1,则m=(1,a-1,1).同理可得平面ACD的一个法向量为n=(1,-1,1),假设平面EFG⊥平面ACD,则m·n=1-(a-1)+1=0,解得a=3,所以存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立,C错误.同理可得D错误.故选B. 16.a>6　[解析] 以A为原点,AB,AD,AP所在直线分别为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系,如图所示.设PA=b,BE=m,则P(0,0,b),D(0,a,0),E(3,m,0),可得=(3,m,-b),=(3,m-a,0).∵PE⊥DE,∴·=0,∴9+m(m-a)=0,即m2-am+9=0.由题意可知方程有两个不同的根,∴Δ>0,即a2-4×9>0,∴a>6. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　用向量方法研究立体几何中的垂直关系 一、选择题 1.已知空间三点O(0,0,0),A(-1,1,0),B(0,1,1),在直线OA上有一点H满足BH⊥OA,则点H的坐标为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C.(-2,2,0) D.(2,-2,0) 2.u=(3,-1,z),v=(-2,-y,1)分别为平面α,β的法向量,若α⊥β,则y+z的值是 (　 ) A.-3 B.6 C.-6 D.-12 3.若直线l的一个方向向量为a=(1,-1,2),平面α的一个法向量为u=(-2,2,-4),则 (　 ) A.l∥α B.l⊥α C.l⊂α D.l与α斜交 4.已知向量a,b是平面α内的两个不相等的非零向量,非零向量c是直线l的一个方向向量,则“c·a=0且c·b=0”是“l⊥α”的 (　 ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 5.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别在A1D,AC上,且A1E=A1D,AF=AC,则 (　 ) A.EF至多与A1D,AC之一垂直 B.EF与A1D,AC都垂直 C.EF与BD1相交 D.EF与BD1异面 6.如图,四边形ABCD为正方形,PD⊥平面ABCD,PD∥QA,QA=AB=PD,则平面PQC与平面DCQ的位置关系为 (　 ) A.平行 B.垂直 C.相交但不垂直 D.不确定 7.(多选题)下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中,正确的是 (　 ) A.两条不重合直线l1,l2的一个方向向量分别是a=(2,3,-1),b=(-2,-3,1),则l1∥l2 B.直线l的一个方向向量是a=(1,-1,2),平面α的一个法向量是u=(6,4,-1),则l⊥α C.两个不同的平面α,β的一个法向量分别是u=(2,2,-1),v=(-3,4,2),则α⊥β D.直线l的一个方向向量是a=(0,3,0),平面α的一个法向量是u=(0,-5,0),则l∥α 8.(多选题)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F,G分别为BC,CC1,BB1的中点,则 (　 ) A.BD1⊥A1D B.A1G⊥EF C.A1D⊥平面AEF D.A1G∥平面AEF 二、填空题 9.已知平面α的一个法向量为n=(-2,-2,1),点A(-1,-3,0)在平面α内,若点B(m,0,2-m)在平面α内,则m=　　　　.  10.已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为　　　　.  11.如图,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱长为2,AC=BC=1,∠ACB=90°,D是A1B1的中点,F是棱BB1上的动点,要使AB1⊥平面C1DF,则线段B1F的长为　　　　.  12.若正三棱锥P-ABC的侧面互相垂直,则三棱锥的高与底面边长之比为　　　　.  三、解答题 13.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,点E,F分别在棱DD1,BB1上,且2DE=ED1,BF=2FB1.证明:当AB=BC时,EF⊥AC. 14.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面边长为2,侧棱长为4, E,F分别是棱AB,BC的中点, EF∩BD=G.求证:平面B1EF⊥平面BDD1B1. 15.如图,在正四面体ABCD中,E,F是棱AC的三等分点,P是棱AB的中点,G是直线BD上的动点,则 (　 ) A.存在点G,使PG⊥EF成立 B.存在点G,使FG⊥EP成立 C.不存在点G,使平面EFG⊥平面ACD成立 D.不存在点G,使平面EFG⊥平面ABD成立 第15题图 16.如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=a,若PA⊥平面ABCD,在BC边上取点E,使PE⊥DE,则满足条件的点E有两个时,a的取值范围是　　　　.  第16题图 学科网（北京）股份有限公司 $