3.4.2 第1课时 用向量方法研究立体几何中的平行关系(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 一、选择题 1.已知平面α和平面β不重合,α,β的法向量分别为m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),则 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.α∥β B.α⊥β C.α与β相交但不垂直 D.以上都不正确 2.已知直线l⊄平面α,若直线l的方向向量为a,平面α的法向量为n,则下列向量中能使l∥α的是 (　 ) A.a=(1,0,0),n=(-2,0,0) B.a=(1,3,5),n=(1,0,1) C.a=(0,2,1),n=(-1,0,-1) D.a=(1,-1,3),n=(0,3,1) 3.若四边形ABCD为平行四边形,且A(4,1,3),B(2,-5,1),C(-3,7,-5),则顶点D的坐标为 (　 ) A.(-1,13,-3) B.(2,3,1) C.(-3,1,5) D. 4.在空间直角坐标系O-xyz中,点A(1,3,0),B(0,3,-1),则 (　 ) A.直线AB∥坐标平面xOy B.直线AB⊥坐标平面xOy C.直线AB∥坐标平面xOz D.直线AB⊥坐标平面xOz 5.[2024·云南文山高二期中] 如图,正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直,AB=,AF=1,M在EF上,且AM∥平面BDE,则M点的坐标为 (　 ) A.(1,1,1) B. C. D. 6.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是棱DD1的中点,点F在棱C1D1上,且=λ,若B1F∥平面A1BE,则λ= (　 ) A. B. C. D. 7.(多选题)以下说法正确的是 (　 ) A.已知直线l的一个方向向量为a=(2,1,m),平面α的一个法向量为b=,若l∥α,则m= B.若直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),则l∥α C.若两个不同的平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),则α∥β D.若平面α经过三点A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),向量n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,则u=1,t=0 8.(多选题)如图,点A,B,C,M,N为正方体的顶点或所在棱的中点,则直线MN∥平面ABC的是 (　 ) A B C D 二、填空题 9.已知平面α的一个法向量为n=(2,-1,0),直线l的一个方向向量为m=(t,-4,t+1),且l∥平面α,则t=　　　　.  10.直线a的一个方向向量为v,平面α的一个法向量为m,则“a∥α”是“v⊥m”的 　　　　　　　条件.(填“充分不必要”“必要不充分”“充要”或“既不充分也不必要”)  11.若a=是平面α的一个法向量,且b=(-1,2,1),c=均与平面α平行,则向量a=　　　　　　.  12.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E是A1B上的点,F是AC上的点,且A1E=2EB,CF=2AF,则EF与平面A1B1CD的位置关系为　　　　.  三、解答题 13.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M,N,P分别是AD1,BD,B1C的中点,利用向量法求证: (1)MN∥平面CC1D1D; (2)平面MNP∥平面CC1D1D. 14.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,E,M分别是BC,AE的中点,AD=AA1=1,AB=2.试问在线段CD1上是否存在一点N,使MN∥平面ADD1A1?若存在,确定N的位置及直线BB1与平面DMN的交点F的位置,并求BF的长; 若不存在,请说明理由. 15.如图,在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,AA1=6,F是棱B1C1的中点,点E在棱BB1上,且=.若过点A,E,F的平面α与直线DD1交于点G,则= (　 ) A. B. C. D. 16.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,在面对角线A1D,CD1上分别取点M,N,使得平行于平面A1ACC1,则||的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　用向量方法研究立体几何中的位置关系 第1课时　用向量方法研究立体几何中的平行关系 1.A　[解析] 由m=(3,1,-5),n=(-6,-2,10),可得n=-2m,则n∥m,所以α∥β,故选A. 2.D　[解析] 若l∥α,则a·n=0.对于A,a·n=-2,不满足题意;对于B,a·n=1+0+5=6,不满足题意;对于C,a·n=-1,不满足题意;对于D,a·n=0-3+3=0,满足题意.故选D. 3.A　[解析] 设D(x0,y0,z0),∵=(-2,-6,-2),=(-3-x0,7-y0,-5-z0),=,∴-3-x0=-2,7-y0=-6,-5-z0=-2,解得x0=-1,y0=13,z0=-3,故点D的坐标为(-1,13,-3).故选A. 4.C　[解析] 在空间直角坐标系O-xyz中,易得平面xOy的一个法向量为n=(0,0,1),平面xOz的一个法向量为m=(0,1,0).因为点A(1,3,0),B(0,3,-1),所以=(-1,0,-1),易判断=(-1,0,-1)与n=(0,0,1),m=(0,1,0)不平行,所以直线AB不垂直坐标平面xOy,也不垂直坐标平面xOz,故B,D错误;因为n·=0×(-1)+0×0+1×(-1)=-1,所以直线AB不平行坐标平面xOy,故A错误;因为m·=0×(-1)+0×1+(-1)×0=0,所以直线AB平行于坐标平面xOz,故C正确.故选C. 5.C　[解析] 设AC与BD相交于O点,连接OE,由AM∥平面BDE,且AM⊂平面ACEF,平面ACEF∩平面BDE=OE,得AM∥EO,又O是正方形ABCD对角线的交点,∴M为EF的中点.在空间直角坐标系中,E(0,0,1),F(,,1),由中点坐标公式知,点M的坐标为.故选C. 6.C　[解析] 如图所示,以A为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为1,则B(1,0,0),E,A1(0,0,1),所以=(-1,0,1),=.设n=(x,y,z)是平面A1BE的一个法向量,则即取z=2,得n=(2,1,2).由=λ,可得F(λ,1,1)(0≤λ≤1).又B1(1,0,1),所以=(λ-1,1,0).由B1F∥平面A1BE,得·n=0,即2(λ-1)+1=0,解得λ=. 7.CD　[解析] 对于A,因为l∥α,所以a·b=2×2+1×+2m=0,解得m=-,故选项A错误;对于B,因为直线l的一个方向向量为a=(0,1,-1),平面α的一个法向量为n=(1,-1,-1),所以a·n=0×1+1×(-1)+(-1)×(-1)=0,故直线l与α平行或直线l在α内,故选项B错误;对于C,因为两个不同的平面α,β的一个法向量分别为n1=(2,-1,0),n2=(-4,2,0),所以n2=-2n1,故n2∥n1,所以α∥β,故选项C正确;对于D,因为A(1,0,-1),B(0,1,0),C(-1,2,0),所以=(-1,1,1),=(-1,1,0),又n=(1,u,t)是平面α的一个法向量,所以即解得故选项D正确.故选CD. 8.BC　[解析] 对于A选项,建立如图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长为2,则A(2,0,1),B(1,2,0),C(0,2,1),M(2,2,2),N(0,1,2),所以=(-1,2,-1),=(-2,2,0),=(2,1,0),设平面ABC的法向量为n=(a,b,c),则令a=1,得b=1,c=1,则n=(1,1,1),显然·n=2+1+0=3≠0,即与n不垂直,故直线MN与平面ABC不平行,故A错误; 对于B选项,如图所示,取侧棱的中点D,连接AD,BD,CD,由正方体的特征可知AD∥BC,所以平面ABC即为平面ABCD,易知MN∥BD,MN⊄平面ABCD,BD⊂平面ABCD,所以直线MN∥平面ABC,故B正确; 对于C选项,由正方体的特征易知平面ABC∥侧面MN,又MN⊂侧面MN,所以直线MN∥平面ABC,故C正确;对于D选项,如图所示,取正方体一棱的中点G,连接CG,MG,BN,由正方体的特征可知AC∥MN,AB∥GM,BN∥CG,易知A,C,G,M,N,B六点共面,故D错误.故选BC. 9.-2　[解析] 因为l∥平面α,所以m⊥n,则m·n=2t+4=0,解得t=-2. 10.充分不必要　[解析] 由a∥α可以推出v⊥m;由v⊥m,可得a∥α或a⊂α.∴“a∥α”是“v⊥m”的充分不必要条件. 11.　[解析] 由题意知即解得所以a=. 12.平行　[解析] 以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,则D(0,0,0),C(0,1,0),A1(1,0,1),E,F,可得=,=(0,1,0),=(1,0,1).设平面A1B1CD的法向量为n=(x,y,z),则取x=1,得n=(1,0,-1),则·n=0,又EF⊄平面A1B1CD,所以EF∥平面A1B1CD. 13.证明:(1)以D为坐标原点,,,的方向分别为x轴、y轴、z轴的正方向,建立空间直角坐标系.设正方体的棱长为2,则A(2,0,0),D(0,0,0),M(1,0,1),N(1,1,0),P(1,2,1).由正方体的性质,知AD⊥平面CC1D1D,所以=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量.易知=(0,1,-1),则·=0×2+1×0+(-1)×0=0,所以⊥.又MN⊄平面CC1D1D,所以MN∥平面CC1D1D. (2)由(1)知=(2,0,0)为平面CC1D1D的一个法向量,易知=(0,2,0),=(0,1,-1),可得·=0,·=0,所以=(2,0,0)也是平面MNP的一个法向量,所以平面MNP∥平面CC1D1D. 14.解:存在满足题意的点N,证明如下. 如图,以D为原点,,,的方向分别为x,y,z轴的正方向建立空间直角坐标系,则D(0,0,0), D1(0,0,1), C(0,2,0),M,所以=(0,2,0),=,=(0,-2,1).假设在线段CD1上存在点N,使MN∥平面ADD1A1,并设=λ=λ(0,-2,1)=(0,-2λ,λ)(0≤λ≤1),则=+=(0,2,0)+(0,-2λ,λ)=(0,2-2λ,λ),所以=-=.由题意知=(0,2,0)是平面ADD1A1的一个法向量,所以⊥, 即2(1-2λ)=0,解得λ=.因为MN⊄平面ADD1A1,所以当N为CD1的中点时,MN∥平面ADD1A1. 下面有两种方法确定点F的位置. 方法一:由已知得,点F在直线BB1上,=,由直线BB1与z轴平行,可设F(1,2,t),t∈R,又点F在平面DMN内,所以存在实数k,μ,使得=k+μ,即(1,2,t)=k+μ,整理得(1,2,t)=,则解得所以F,故F是线段BB1上靠近点B的三等分点. 方法二:由已知得,点F在直线BB1上,由直线BB1与z轴平行,可设F(1,2,t), t∈R,设平面DMN的法向量为n=(x,y,z),则得取z=3,得y=-,x=2,所以平面DMN的一个法向量为n=.在平面DMN内任取一点,不妨取点D,且=(1,2,t),则·n=0,即2×1+×2+3t=0,解得t=,所以F,故F是线段BB1上靠近点B的三等分点.因为F是线段BB1上靠近点B的三等分点,所以BF=. 15.A　[解析] 根据正四棱柱的特点,建立空间直角坐标系D-xyz,如图所示.∵AB=4,AA1=6,F是棱B1C1的中点,点E在棱BB1上,且=,∴A(4,0,0),E(4,4,4),F(2,4,6),则=(-2,0,2),由题意可设G(0,0,a),则=(-4,0,a).在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面B1C1CB∥平面D1A1AD,EF⊂平面B1C1CB,则EF∥平面D1A1AD.∵平面α∩平面D1A1AD=AG,EF⊂平面α,∴EF∥AG.设=λ(λ∈R),则(-2,0,2)=λ(-4,0,a),∴可得a=4,∴DG=4,又DD1=6,∴=,故选A. 16.　[解析] 如图所示,建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),B(1,1,0),设M(x,0,x),N(0,y,1-y),0≤x≤1,0≤y≤1,则=(-x,y,1-x-y).连接BD,易知是平面A1ACC1的一个法向量,=(1,1,0).因为MN∥平面A1ACC1,所以·=-x+y=0,即x=y,所以||====,因为0≤x≤1,所以||≥. 学科网（北京）股份有限公司 $