3.3.2 第1课时 空间向量运算的坐标表示及平行（共线）和垂直的条件(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件 1.A　[解析] 依题意,点M(1,-2,3)关于x轴的对称点M1(1,2,-3),关于z轴的对称点M2(-1,2,3),所以=(-2,0,6).故选A. 2.C　[解析] ∵p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),∴p=4a+2b+3c,设p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(x,y,z),则p=x(a+b)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc,则解得∴p在{a+b,a-b,c}下的坐标为(3,1,3),故选C. 3.D　[解析] 因为a=(3,-2,1),b=,且a∥b,所以==,解得m=-.故选D. 4.A　[解析] 由题意可得a-b=(3,x-2,0),因为(a-b)⊥b,所以(a-b)·b=-3+2(x-2)=0,解得x=.故选A. 5.B　[解析] 在正方体ABCD-A1B1C1D1中,建立空间直角坐标系,如图所示,则A(a,0,0),B(a,a,0),C1(0,a,a),则=(-a,a,a),=(-a,0,a),所以·=a2+0+a2=2a2.故选B. 6.B　[解析] 向量a,b,c共面,则存在m,n∈R使c=ma+nb, ∴解得 故选B. 7.AD　[解析] 对于A,由|a|==2,解得m=±,故A正确;对于B,因为a⊥b,所以a·b=-2-m+1+2m=0,解得m=1,故B错误;对于C,假设存在实数λ,使得a=λb,则(1,-1,m)=(-2λ,(m-1)λ,2λ),即方程组无解,假设不成立,故C错误;对于D,由a·b=-2-m+1+2m=-1,解得m=0,所以a=(1,-1,0),b=(-2,-1,2),则a+b=(-1,-2,2),故D正确.故选AD. 8.BC　[解析] 由题意知O(0,0,0),O'(0,0,2),C(0,3,0),B'(1,3,2),E.对于A,因为O(0,0,0),C(0,3,0),所以=(0,3,0),故A不正确;对于B,因为C(0,3,0),B'(1,3,2),所以=(1,0,2),故B正确;对于C,因为B'(1,3,2),E,所以=,故C正确;对于D,因为C(0,3,0),E,所以=,故D不正确.故选BC. 9.(2,4,1)　[解析] 由题设,=(3,3,6),==(1,1,2),令P(x,y,z),则=(x-1,y-3,z+1),∴解得∴P(2,4,1). 10.-　[解析] 由a=(1,-2,-n),b=,c=共面,可设a=xb+yc,即(1,-2,-n)=+=,可得解得 11.14　[解析] 质点在力F作用下的位移为=(2,3,),则力F所做的功为F·=2×2+2×3+2×=14. 12.　[解析] 设Q(x,y,z),由点Q在直线OP上,可得存在实数λ使得=λ,即(x,y,z)=λ(1,1,2),可得Q(λ,λ,2λ),所以=(1-λ,2-λ,3-2λ),=(2-λ,1-λ,2-2λ),则·=(1-λ)(2-λ)+(2-λ)(1-λ)+(3-2λ)(2-2λ)=2(3λ2-8λ+5),根据二次函数的性质,可得当λ=时,·取得最小值-,此时Q. 13.解:根据题意可得D(0,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0),B1(2,2,2),A1(2,0,2),因为E,F分别为棱BB1,DC的中点,所以E(2,2,1),F(0,1,0),所以=(0,1,0)-(2,2,1)=(-2,-1,-1),=(0,1,0)-(2,2,2)=(-2,-1,-2),=(2,2,1)-(2,0,2)=(0,2,-1). 14.解:∵a=(1,5,-1),b=(-2,3,5),∴a-3b=(1,5,-1)-3(-2,3,5)=(1,5,-1)-(-6,9,15)=(7,-4,-16),λa+b=λ(1,5,-1)+(-2,3,5)=(λ,5λ,-λ)+(-2,3,5)=(λ-2,5λ+3,-λ+5). (1)∵(λa+b)∥(a-3b),∴==,解得λ=-. (2)∵(a-3b)⊥(λa+b),∴(7,-4,-16)·(λ-2,5λ+3,-λ+5)=0,即7(λ-2)-4(5λ+3)-16(-λ+5)=0,解得λ=. 15.C　[解析] 如图,以D为原点,DA,DC,DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系,设棱DA,DC,DD1的长度分别为a,b,c,则A(a,0,0),B(a,b,0),C(0,b,0),D(0,0,0),B1(a,b,c),C1(0,b,c),D1(0,0,c),∴=(-a,0,c),=(-a,0,-c),=(-a,-b,c),=(-a,b,0),=(0,b,0),=(-a,0,0).·=a2- c2,当a≠c时,·≠0;·=a2-b2,当a≠b时,·≠0;·=0;·=a2≠0.故选C. 16.　[解析] 依题意得=(-2,3,0),=(0,-3,6),=(x-2,y,2),因为点M在平面ABC内,所以可设=λ+μ,则(x-2,y,2)=λ(-2,3,0)+μ(0,-3,6)=(-2λ,3λ-3μ,6μ),可得则3x+2y=4,则+=(3x+2y)=≥=,当且仅当x=y时取等号. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　空间向量运算的坐标表示及应用 第1课时　空间向量运算的坐标表示及平行(共线)和垂直的条件 一、选择题 1.已知点M1,M2与点M(1,-2,3)分别关于x轴和z轴对称,则= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.(-2,0,6) B.(2,0,-6) C.(0,4,-6) D.(0,-4,6) 2.已知{a,b,c}是空间向量的一组基,{a+b,a-b,c}是空间向量的另一组基,若向量p在{a,b,c}下的坐标为(4,2,3),则向量p在{a+b,a-b,c}下的坐标为 (　 ) A.(4,0,3) B.(1,2,3) C.(3,1,3) D.(2,1,3) 3.已知向量a=(3,-2,1),b=,若a∥b,则实数m的值为 (　 ) A.3 B.-3 C. D.- 4.已知空间向量a=(2,x,1),b=(-1,2,1),若(a-b)⊥b,则x= (　 ) A. B.3 C. D.2 5.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,则·的值为 (　 ) A.a2 B.2a2 C.3a2 D.a2 6.已知a=(2,-1,2),b=(-1,3,-3),c=(13,6,λ),若向量a,b,c共面,则λ= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.6 7.(多选题)已知向量a=(1,-1,m),b=(-2,m-1,2),则下列结论中正确的是 (　 ) A.若|a|=2,则m=± B.若a⊥b,则m=-1 C.存在实数λ,使得a=λb D.若a·b=-1,则a+b=(-1,-2,2) 8.(多选题)在长方体OABC-O'A'B'C'中,OA=1,OC=3,OO'=2,点E在线段AO的延长线上,且OE=,建立如图所示的空间直角坐标系,则下列向量的坐标表示正确的是 (　 ) A.=(3,0,0) B.=(1,0,2) C.= D.= 二、填空题 9.已知点A(1,3,-1),B(4,6,5),若点P为线段AB上靠近A的三等分点,则点P的坐标为　　　　.  10.若向量a=(1,-2,-n),b=,c=共面,则n=　　　　.  11.有一个质点位于A(1,1,-2)处,在力F=(2,2,2)的作用下,该质点由A移动到B(3,4,-2+)时,力F所做的功的大小为　　　　.  12.已知在空间直角坐标系O-xyz中,=(1,2,3),=(2,1,2),=(1,1,2),点Q在直线OP上运动,则当·取得最小值时,点Q的坐标为　　　　.  三、解答题 13.已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,E,F分别为棱BB1,DC的中点,建立如图所示的空间直角坐标系,写出向量,,的坐标. 14.已知a=(1,5,-1),b=(-2,3,5). (1)当(λa+b)∥(a-3b)时,求实数λ的值; (2)当(a-3b)⊥(λa+b)时,求实数λ的值. 15.如图,在长方体ABCD-A1B1C1D1中,下列计算结果一定等于0的是 (　 ) A.· B.· C.· D.· 16.已知在空间直角坐标系中,A(2,0,0),B(0,3,0),C(0,0,6),点M(x,y,2)(x>0,y>0)在平面ABC内,则+的最小值为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $