7.3.1 独立性检验&7.3.2 独立性检验的基本思想&7.3.3 独立性检验的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 【学习目标】 　　1.理解2×2列联表的统计意义,能用2×2列联表探讨两个变量的关系. 　　2.了解χ2的含义及其应用,理解独立性检验的基本思想及其实施步骤,并能应用解决实际问题. ◆ 知识点一　2×2列联表 设A,B为两个变量,每一个变量都可以取两个值, 变量A:A1,A2=; 变量B:B1,B2=. 通过观察得到如表所示的数据: A B 总计 B1 B2 A1 a b a+b A2 c d c+d 总计 a+c b+d a+b+c+d 此表称为　　　　　　.   【诊断分析】 为了调查吸烟与患肺癌是否有关系,某机构随机调查了6578人,得到如下表所示的数据(单位:人): 吸烟情况 患肺癌情况 患肺癌 未患肺癌 吸烟 56 1932 不吸烟 23 4567 总计 79 6499 在这个问题中,需要考虑两个变量:　　　　,　　　　　　;每个变量应取两个值:　　　　、　　　　,　　　　、　　　　　.  ◆ 知识点二　独立性检验 1.独立性检验:如何根据2×2列联表中的数据来判断变量A和B　　　　　　的问题称为2×2列联表的　　　　　　.  2.卡方公式:χ2=　　　　　　　　　　　　,其中n=　　　　　　.  卡方公式常用来检测变量之间是否独立. 在变量A,B独立的前提下,当样本量很大时,χ2近似服从一个已知的分布χ2(1),χ2的值越大,变量A,B独立的可能性越小. 3.临界值表 P(χ2≥x0) 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 4.小概率值α的检验规则 (1)当χ2≥x0时,我们认为,可能性不超过x0的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立, 即认为变量A,B有关联. (2)当χ2<x0时,我们不能否定假设H0,即认为变量A,B独立.通常,当χ2<2.706时,我们不能否定假设H0,即认为变量A,B独立. 5.应用独立性检验推断“变量A,B有关联”的一般步骤 (1)提出假设H0:变量A,B　　　　,并给出在问题中的解释;   (2)根据抽样数据整理出2×2列联表,计算　　　　的值,并与　　　　比较;   (3)根据临界值表作出判断. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在独立性检验中,若χ2越大,则两个分类变量有关联的可能性越大. (　 ) (2)若χ2>6.635,则在犯错误的概率不超过0.01的前提下,认为吸烟与患肺病有关联,那么在100个吸烟的人中必有99人患有肺病. (　 ) (3)应用独立性检验的基本思想对两个变量间的关系作出的推断一定是正确的. (　 ) (4)假设H0可以表述为:分类变量X和Y相互独立. (　 ) (5)独立性检验的样本不同,其结论可能不同. (　 ) ◆ 探究点一　列联表 例1 某学校高二年级有学生1000名,经调查,其中750名学生经常参加体育锻炼(称为A类学生),另外250名学生不经常参加体育锻炼(称为B类学生),现用分层随机抽样方法(按A类、B类分两层)从该年级的学生中共抽取100名,如果以165 cm作为身高达标的标准,由抽取的100名学生的身高,得到以下列联表(单位:人): 学生分类 身高达标情况 总计 身高达标 身高不达标 A类学生 43 B类学生 17 总计 100 请将上表补充完整. 变式 如表是一个2×2列联表,则表中a,b的值分别为 (　 ) X分类 Y分类 总计 Y1 Y2 X1 a 21 73 X2 22 25 47 总计 b 46 120 　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.94,72 B.52,50 C.52,74 D.74,52 [素养小结] 作2×2列联表的关键是对涉及的变量分清类别,同时计算时要准确无误. ◆ 探究点二　独立性检验的基本思想 例2 (多选题)为考察一种新药预防疾病的效果,某科研小组进行动物试验,收集整理数据后将所得结果填入相应的2×2列联表中.由列联表中的数据计算得χ2≈10.921.参照附表,下列结论正确的是 (　 ) P(χ2≥x0) 0.025 0.010 0.005 0.001 x0 5.024 6.635 7.879 10.828 A.可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,认为“药物有效” B.认为“药物无效”,该判断犯错误的可能性不超过0.1% C.可能性不超过0.01%的小概率事件发生了,认为“药物有效” D.对分类变量X与Y,统计量χ2的值越大,则判断“X与Y有关系”的把握程度越大 变式 在检验A与B是否有关的过程中,根据所得数据算得χ2的值,则下列说法正确的是 (　 ) A.χ2越大,认为“A与B有关”的把握越小 B.χ2越大,认为“A与B无关”的把握越大 C.χ2越小,认为“A与B有关”的把握越小 D.χ2越接近0,认为“A与B无关”的把握越小 [素养小结] 理解χ2统计量在2×2列联表的独立性检验中的重要作用. ◆ 探究点三　独立性检验的应用 例3 某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系,经过调查得到如下2×2列联表: 单位:人 工作态度 对待企业改革态度 总计 积极支持 不太支持 积极 54 40 94 一般 32 63 95 总计 86 103 189 试问:员工工作态度与对待企业改革态度之间是否有关联? 变式 游泳作为一项重要的求生技能和运动项目受到很多人的喜爱,某中学对100名学生进行了问卷调查,得到如下2×2列联表: 单位:人 性别 是否喜欢游泳 总计 喜欢 不喜欢 男 10 女 20 总计 已知在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为. (1)请将上述2×2列联表补充完整. (2)试问:该校学生是否喜欢游泳与性别之间是否有关联? [素养小结] 利用χ2进行独立性检验的步骤: (1)列出2×2列联表; (2)计算出χ2的值; (3)与临界值比较,得出两个变量有关的可能性大小,进而得到结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ §3　独立性检验问题 3.1　独立性检验 3.2　独立性检验的基本思想 3.3　独立性检验的应用 【课前预习】 知识点一 2×2列联表 诊断分析 是否吸烟　是否患肺癌　吸烟　不吸烟　患肺癌　未患肺癌 知识点二 1.是否独立　独立性检验 2.　a+b+c+d 5.独立　χ2　临界值x0 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 【课中探究】 探究点一 例1　32　75　8　25　51　49　[解析] 由题知,抽取的100名学生中A类学生有100×=75(名),B类学生有100×=25(名),则补全列联表如下(单位:人): 学生分类 身高达标情况 总计 身高达标 身高不达标 A类学生 43 32 75 B类学生 8 17 25 总计 51 49 100 变式　C　[解析] 由题意,根据2×2列联表,可得a=73-21=52,b=a+22=52+22=74.故选C. 探究点二 例2　AD　[解析] 因为χ2≈10.921>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为药物有效,故B,C错误.根据统计量χ2的意义,可知其值越大,则判断X与Y有关的把握程度越大,故D正确.故选AD. 变式　C　[解析] χ2越大,认为“A与B有关”的把握越大,χ2越小,认为“A与B有关”的把握越小.故选C. 探究点三 例3　解:依题意知该问题是判断员工工作态度是否与对待企业改革态度有关.提出假设H0:员工工作态度与对待企业改革态度无关.由2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈10.759,因为10.759>7.879,所以我们认为可能性不超过0.5%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为员工工作态度与对待企业改革态度有关. 变式　解:(1)因为在这100人中随机抽取1人,抽到喜欢游泳的学生的概率为,所以这100人中喜欢游泳的学生人数为100×=60.2×2列联表补充完整如下: 单位:人 性别 是否喜欢游泳 总计 喜欢 不喜欢 男 40 10 50 女 20 30 50 总计 60 40 100 (2)依题意知该问题是判断该校学生是否喜欢游泳是否与性别有关.提出假设H0:该校学生是否喜欢游泳与性别之间无关.根据2×2列联表中的数据,经计算得到χ2=≈16.667,因为16.667>10.828,所以我们认为可能性不超过0.1%的小概率事件发生了,所以认为假设H0不成立,即认为该校学生是否喜欢游泳与性别有关. 学科网（北京）股份有限公司 $