第6章 概率 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)A　(2)B　(3)C　[解析] (1)设事件A,B分别表示该同学爱好滑冰、该同学爱好滑雪,则P(A)=0.6,P(B)=0.5,P(AB)=P(A)+P(B)-0.7=0.4,所以所求概率为P(A|B)===0.8,故选A. (2)设事件A为“从中随机选4只,取出两只是同一副”,事件B为“从中随机选4只,有两只不是同一副”,则P(A)=,P(AB)=,故P(B|A)===,故选B. (3)记该篮球运动员“第1球投进”为事件A,“第2球投进”为事件B,由题意知P(B|A)=,P(B|)=,P(A)=,则P()=1-P(A)=,所以P(B)=P(B|A)P(A)+P(B|)P()=×+×=.故选C. 变式　(1)B　(2)0.855　(3)7　[解析] (1)P(A)==,P(AB)==,故P(B|A)==.故选B. (2)设事件B表示“购买的灯泡合格”,事件A1表示“购买的是甲厂的灯泡”,事件A2表示“购买的是乙厂的灯泡”,事件A3表示“购买的是丙厂的灯泡”,则Ω=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3两两互斥,P(A1)=0.3,P(A2)=0.2,P(A3)=0.5,P(B|A1)=0.8,P(B|A2)=0.7,P(B|A3)=0.95,故P(B)=0.3×0.8+0.2×0.7+0.5×0.95=0.855. (3)设事件A表示“从甲盒中取出的球是红球”,则P(A)==,P()=,P(B|A)=,P(B|)=,则P(B)=P(A)P(B|A)+P()P(B|)=×+×=,所以≤,所以x≤,因为x是正整数,所以x的最大值为7. 题型二 例2　解:(1)设“生产的某件产品为一等品”为事件A,则P(A)=0.5,P()=0.5 , 则生产的两件产品中至少有一件为一等品的概率为P(A)P(A)+P(A)P()=0.52+2×0.5×0.5=0.75. (2)设“生产的某件产品为二等品”为事件B,“生产的某件产品为不合格品”为事件C,结合题意及(1)可知P(A)=0.5,P(B)=0.4,P(C)=0.1,则ξ的所有可能取值为1.6,1.4,1.2,0.5,0.3,-0.6,则P(ξ=-0.6)=[P(C)]2=0.01,P(ξ=0.3)=P(B)P(C)=2×0.4×0.1=0.08,P(ξ=0.5)=P(A)P(C)=2×0.5×0.1=0.1,P(ξ=1.2)=[P(B)]2=0.16,P(ξ=1.4)=P(A)P(B)=2×0.5×0.4=0.4,P(ξ=1.6)=[P(A)]2=0.25,则ξ的分布列为 ξ -0.6 0.3 0.5 1.2 1.4 1.6 P 0.01 0.08 0.1 0.16 0.4 0.25 所以Eξ=-0.6×0.01+0.3×0.08+0.5×0.1+1.2×0.16+1.4×0.4+1.6×0.25=1.22. 变式　(1)　1　[解析] 由题意知,ξ=0,1,2.若ξ=0,则有两种情况,即第一个就取出红球或第一个取出绿球,第二个取出红球,P(ξ=0)=+×=+=;若ξ=1,则有两种情况,即第一个取出黄球,第二个取出红球或取出的前两个球为一黄一绿,第三个取出红球,P(ξ=1)=×+×=+=;P(ξ=2)=1--=.故Eξ=0×+1×+2×=1. (2)解:(i)设“乙同学恰好答对两道题”为事件A, 则P(A)=××=. (ii)设甲同学本次竞赛中得分为X,则X的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P(X=0)=××=, P(X=1)=××+××=, P(X=2)=××+××=, P(X=3)=××+××=, P(X=4)=××=,所以X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 所以EX=0×+1×+2×+3×+4×=. 设乙同学本次竞赛中得分为Y,则Y的所有可能取值为0,1,2,3,4,则P(Y=0)==, P(Y=1)=××=, P(Y=2)=×+×=, P(Y=3)=××=, P(Y=4)==,所以Y的分布列为 Y 0 1 2 3 4 P 所以EY=0×+1×+2×+3×+4×=.因为<,所以乙的得分能力更强. 题型三 例3　解:(1)设A表示“取出的2件瓷器中至多有1件是成品”,A1表示“取出的2件瓷器中无成品”,A2表示“取出的2件瓷器中恰有1件是成品”,则P(A)=P(A1)+P(A2)=(1-p)2+p(1-p)=1-p2=,得p=. (2)由题意可知X的所有可能取值为0,10,20,30. 设这3件中成品的件数为Y,由题可知Y~B, 因为X=10Y,所以P(X=0)=P(Y=0)==,P(X=10)=P(Y=1)==,P(X=20)=P(Y=2)==,P(X=30)=P(Y=3)==,所以X的分布列为 X 0 10 20 30 P 所以EX=0×+10×+20×+30×=3. 变式　解:(1)由题意知,ξ~B,P(ξ=0)=×=,P(ξ=1)=××=,P(ξ=2)=××=,P(ξ=3)=×=,故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P (2)“甲队得2分”“乙队得1分”两个事件相互独立,由(1)得,甲队得2分的概率P(ξ=2)=,乙队得1分的概率P=××+××+××=,故P(C)=×=. 题型四 例4　解:设挑选的2台电脑中A品牌的台数为X,则X的可能取值为0,1,2,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,则X的分布列为 X 0 1 2 P EX=0×+1×+2×==. 变式　解:(1)记事件M表示“小张在三类中各选1个项目”,则P(M)==, 所以小张在三类中各选1个项目的概率为. (2)X的所有可能取值为3,4,5,6,7,则P(X=3)==, P(X=4)==,P(X=5)==, P(X=6)==,P(X=7)==, 故X的分布列为 X 3 4 5 6 7 P 故EX=3×+4×+5×+6×+7×=5. 题型五 例5　(1)A　(2)D　[解析] (1)∵随机变量X服从正态分布N(2,σ2),∴其正态曲线的对称轴是直线x=2,∵P(0<X<4)=0.8,∴P(X≥4)=×(1-0.8)=0.1,故选A. (2)∵X~N(100,σ2),∴其正态曲线关于直线x=100对称.∵数学成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,∴由正态曲线的对称性知,数学成绩不低于120分的学生人数约为总人数的×=,∴此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为×1600=200.故选D. 变式　(1)B　(2)0.4　[解析] (1)依题意得,该正态曲线的对称轴是直线x=110,根据正态曲线的对称性,得P(90<X<110)=P(110<X<130)=-P(X>130)=-p.故选B. (2)由题意知P(X≥1)=0.9,P(X≥9)=0.1,所以P(X<1)=1-0.9=0.1=P(X≥9),所以该正态曲线的对称轴为直线x==5,因为P(1≤X≤9)=0.9-0.1=0.8,所以P(5≤X≤9)==0.4,故该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为0.4. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 ◆ 题型一　条件概率与全概率公式 [类型总述] (1)条件概率公式的应用;(2)全概率公式的应用. 例1 (1)[2023·全国甲卷] 某地的中学生中有60%的同学爱好滑冰,50%的同学爱好滑雪,70%的同学爱好滑冰或爱好滑雪.在该地的中学生中随机调查一位同学,若该同学爱好滑雪,则该同学也爱好滑冰的概率为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0.8 B.0.6 C.0.5 D.0.4 (2)[2024·浙江衢州高二期末] 衣柜里有5副不同颜色的手套,从中随机选4只,在取出两只是同一副的条件下,取出另外两只不是同一副的概率为 (　 ) A. B. C. D. (3)[2024·江苏淮安一中高二月考] 某校体育老师安排高二年级篮球运动员进行投篮练习.已知某运动员若前一球投进则后一球投进的概率为;若前一球投不进则后一球投进的概率为.若他第1球投进的概率为,则他第2球投进的概率为 (　 ) A. B. C. D. 变式 (1)从1,2,3,4,5中任取2个不同的数,事件A表示“取到的2个数之和为偶数”,事件B表示“取到的2个数均为偶数”,则P(B|A)= (　 ) A. B. C. D. (2)假设某市场供应的灯泡中,甲厂产品占30%,乙厂产品占20%,丙厂产品占50%,甲厂产品的合格率是80%,乙厂产品的合格率是70%,丙厂产品的合格率是95%.在该市场中随机购买一个灯泡,则这个灯泡合格的概率为　　　　.   (3)已知甲盒中有5个红球、3个白球、2个黑球,乙盒中有x个红球、2个白球、3个黑球(所有球除颜色外,其他完全相同),现从甲盒中随机取出一个球放入乙盒,再从乙盒中随机取出一个球, 事件B表示“从乙盒中取出的球是红球”,若P(B)≤,则x的最大值为　　　　.  ◆ 题型二　离散型随机变量的均值与方差 [类型总述] (1)求离散型随机变量的分布列; (2)求离散型随机变量的均值和方差; (3)利用均值和方差解决实际应用问题. 例2 [2024·山东东营高二期末] 某公司生产一种大件产品,该产品的日产量为2件,每件产品的质量为一等品的概率为0.5,质量为二等品的概率为0.4,若达不到一等或二等,则为不合格品,且生产的两件产品的质量相互独立.已知生产一件产品的利润如表: 等级 一等品 二等品 不合格品 利润 (万元/件) 0.8 0.6 -0.3 (1)求生产的两件产品中至少有一件为一等品的概率; (2)求该公司每天所获利润ξ的数学期望. 变式 (1)盒中有4个球,其中1个红球,1个绿球,2个黄球.从盒中随机取球,每次取1个,不放回,直到取出红球为止.设此过程中取到黄球的个数为ξ,则P(ξ=0)=　　　　,Eξ=　　　　.  (2)在某校开展的知识竞赛活动中,共有A,B,C三道题,答对A,B,C分别得1分、1分、2分,答错均不得分.已知甲同学答对问题A,B,C的概率分别为,,,乙同学答对问题A,B,C的概率均为,甲、乙两位同学都需回答这三道题,且各题回答正确与否相互独立. (i)求乙同学恰好答对两道题的概率; (ii)从期望的角度判断谁的得分能力更强. ◆ 题型三　二项分布及其应用 [类型总述] (1)二项分布的概念;(2)服从二项分布的随机变量的分布列. 例3 青花釉里红是我国珍贵的瓷器品种之一.青花釉里红的烧制工艺难度较大,因此烧制成功率较低.假设青花釉里红瓷器开窑后经检验分为成品和废品两类,从某工匠烧制的一批青花釉里红瓷器中,有放回地抽取两次,每次随机抽取1件,取出的2件瓷器中至多有1件是成品的概率为,记从该批瓷器中任取1件是成品的概率为p. (1)求p的值. (2)假设该工匠烧制的任意1件这种瓷器是成品的概率均为p,且每件瓷器的烧制相互独立,这种瓷器成品每件利润为10万元,废品的利润为0元.现他烧制3件这种瓷器,设这3件瓷器的总利润为X万元,求X的分布列及数学期望. 变式 甲、乙两队参加某知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者为本队赢得一分,答错得零分.假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为,,,且各人答对与否相互之间没有影响.用ξ表示甲队的总得分. (1)求随机变量ξ的分布列; (2)设事件C表示“甲队得2分,乙队得1分”,求P(C). ◆ 题型四　超几何分布及其应用 [类型总述] (1)超几何分布的概念;(2)服从超几何分布的随机变量的分布列. 例4 一批笔记本电脑共有10台,其中A品牌3台,B品牌7台,如果从中随机挑选2台,求这2台电脑中A品牌台数的分布列及数学期望. 变式 某单位为丰富员工的业余生活,利用周末开展趣味野外拉练活动,此次拉练共分A,B,C三大类,其中A类有3个项目,每个项目需花费1小时,B类有2个项目,每个项目需花费2小时,C类有1个项目,该项目需花费3小时.要求每位员工从中选择3个项目,每个项目的选择机会均等. (1)求小张在三类中各选1个项目的概率; (2)设小张所选3个项目花费的总时间为X小时,求X的分布列及期望. ◆ 题型五　正态分布及其应用 [类型总述] (1)正态分布的直接应用;(2)利用正态分布的性质求概率. 例5 (1)已知随机变量X服从正态分布N(2,σ2),P(0<X<4)=0.8,则P(X≥4)的值为(　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.6 (2)2024年1月某市高三年级1600名学生参加了教育局组织的期末统考,已知这些学生的数学成绩X(单位:分,满分为150分)服从正态分布N(100,σ2),若数学成绩在80分到120分之间的人数约为总人数的,则此次统考中数学成绩不低于120分的学生人数约为 (　 ) A.80 B.100 C.120 D.200 变式 (1)[2024·山东威海高二期末] 某杂交水稻种植研究所调查某水稻的株高,得出株高X(单位:cm)服从正态分布,其分布密度函数为f(x)=,x∈(-∞,+∞),若P(X>130)=p,则P(90<X<110)= (　 ) A.p B. -p C.1-2p D.2p (2)[2024·天津南开区高二期末] 已知某品牌手机的电池使用寿命X(单位:年)服从正态分布,且使用寿命不少于1年的概率为0.9,使用寿命不少于9年的概率为0.1,则该品牌手机的电池使用寿命不少于5年且不多于9年的概率为　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $