6.4.2 超几何分布(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

4.2　超几何分布 【学习目标】 　　通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. ◆ 知识点　超几何分布 1.概念 一般地,设有N件产品,其中有M(M≤N)件次品.从中任取n(n≤N)件产品,用X表示取出的　　　　　　　次品的件数,则X的分布列为P(X=k)=　　　　　　,max{0,n-(N-M)}≤k≤min{n,M}.   其中M　　　　N,n　　　　N,n,M,N∈N+.若一个随机变量X的分布列由上式确定,则称随机变量X服从参数为N,M,n的超几何分布.   2.服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量X服从超几何分布,则X可以解释为从包含M件次品的N件产品中,不放回地随机抽取n件产品中次品的件数.令p=,则p是N件产品的次品率,而是抽取的n件产品的次品率,则EX=　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)超几何分布就是一种概率分布模型. (　 ) (2)超几何分布的总体可分为两类明确的对象.(　 ) (3)一个袋子里装有除颜色外完全相同的4个白球、5个黑球和6个黄球,从中任取4个球,则取出的黑球个数X服从超几何分布. (　 ) ◆ 探究点一　超几何分布的相关概念 例1 下列问题中,哪些属于超几何分布问题?说明理由. (1)抛掷三枚均匀的骰子,所得向上的点数是6的骰子的枚数记为X,求X的分布列. (2)有一批种子的发芽率为70%,任取10颗种子做发芽试验,把试验中发芽的种子的颗数记为X,求X的分布列. (3)盒子中有除颜色外完全相同的红色球3只、黄色球4只、蓝色球5只.从中任取3只球,把不是红色球的只数记为X,求X的分布列. (4)某班级有男生25人、女生20人.从中选派4名学生参加学校组织的活动,班长(班长为男生)必须参加,记选出的女生人数为X,求X的分布列. (5)现有100台音乐播放器未经检测,从中抽取10台送检,把检验结果为不合格的音乐播放器的台数记为X,求X的分布列. 变式 (多选题)下列随机变量中,服从超几何分布的有 (　 ) A.在10件产品中有3件次品,依次不放回地任意取出4件,记取到的次品件数为随机变量X B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台,记随机变量X表示所取的2台彩电中甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学,途中有8个装有红绿灯的路口,记此学生遇到红灯的个数为随机变量X D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动,记选出的男生人数为随机变量X [素养小结] 1.超几何分布与二项分布之间的辨析 两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”,只要将概率模型中的“无放回”改为“有放回”,或将“有放回”改为“无放回”,就可以实现两种分布间的转化. 2.事实上,在足够多的产品中,任意抽取n件(产品件数N远远大于n,无放回与有放回几乎无区别,故可看作n重伯努利试验),其中含有次品的件数服从二项分布. ◆ 探究点二　超几何分布的简单应用 例2 一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球,其中红球有2个,白球有3个,从中任意取出3个球. (1)求取出的3个球中恰有1个红球的概率; (2)若随机变量X表示取得红球的个数,求随机变量X的分布列. 变式 甲、乙两人参加一次英语口语考试,已知在备选的10道试题中,甲能答对其中的6道试题,乙能答对其中的8道试题.规定每次考试都从备选试题中随机抽出3道进行测试,对于每道题,答对得5分,答错或不答得0分.求: (1)甲答对试题个数X的分布列; (2)乙所得分数Y的分布列. [素养小结] (1)超几何分布是不放回抽样问题,各次抽取不独立.随机变量为抽到某类个体的个数,超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型,其实质是古典概型. (2)解超几何分布的简单应用问题的步骤:①判断随机变量是否服从超几何分布;②根据已知条件写出超几何分布的概率公式得解. ◆ 探究点三　超几何分布的均值与方差 例3 某大学志愿者协会有10名同学,成员构成如下表,表中部分数据不清楚,只知道从这10名同学中随机抽取1名同学,该名同学的专业为数学的概率为. 　　专业 性别　　 中文 英语 数学 体育 男 n 1 m 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动(每名同学被选到的可能性相同). (1)求m,n的值; (2)求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率; (3)设ξ为选出的3名同学中女生或专业为数学的人数,求随机变量ξ的分布列、均值及方差. 变式 [2024·浙江湖州高二期末] 设袋子中装有除颜色外,其他完全相同的6个红球和4个白球,现从袋中任意取出4个小球(每个球被取出的机会均等). (1)求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率; (2)若取出一个红球记2分,取出一个白球记1分,记X表示取出的4个球的总得分,求随机变量X的数学期望和方差. [素养小结] 解决超几何分布问题的三个关键点: (1)超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. (2)超几何分布中,只要知道M,N,n,就可以利用公式求出随机变量X取不同k值的概率P(X=k),从而求出X的分布列. (3)求与超几何分布有关的均值问题时,可利用均值公式,也可直接利用EX=求解. ◆ 探究点四　二项分布与超几何分布的区别与联系 例4 袋中有除颜色外完全相同的8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每次取1个球. (1)若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为X,求X的分布列; (2)若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为Y,求Y的分布列及数学期望. 变式 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品进行简单随机抽样,获得的数据如表: 包装质量 (单位:克) [490, 495) [495, 500) [500, 505) [505, 510) [510, 515] 产品件数 3 4 7 5 1 已知包装质量在[495,510)内的产品为一等品,其余为二等品. (1)从该流水线上的产品中任取1件产品,估计该产品为一等品的概率; (2)从上述抽取的样本产品中任取2件,设X为其中一等品的产品件数,求X的分布列; (3)从该流水线上的产品中任取2件产品,设Y为其中一等品的产品件数,求Y的分布列,试比较EX与EY的大小. [素养小结] 超几何分布描述的是不放回抽样问题,二项分布描述的是放回抽样问题,求均值时可以代入公式直接计算. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2　超几何分布 【课前预习】 知识点 1.n件产品中　　≤　≤　2.np 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)√ 【课中探究】 例1　解:(1)(2)中总体没有明确的分类,不是超几何分布问题,是独立重复试验问题. (3)(4)符合超几何分布的特征,总体都可分为两类明确的对象,随机变量X可看作抽取到的n个个体中某类样本中的个体被抽到的个数,服从超几何分布. (5)中没有给出不合格的音乐播放器的台数,无法计算X的分布列,所以不属于超几何分布问题. 变式　ABD 例2　解:(1)设取出的3个球中恰有1个红球为事件A, 则P(A)===. (2)随机变量X的可能取值为0,1,2, P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,故X的分布列为 X 0 1 2 P 变式　解:(1)由题意,随机变量X的可能取值为0,1,2,3,P(X=0)==,P(X=1)==,P(X=2)==,P(X=3)==,∴随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)由题意,随机变量Y的可能取值为5,10,15,P(Y=5)==,P(Y=10)==,P(Y=15)==,∴Y的分布列为 Y 5 10 15 P 例3　解:(1)设事件A表示“从10名同学中随机抽取1名同学,该名同学的专业为数学”.由题意可知,10名同学中数学专业的同学共有(1+m)名,则P(A)==,解得m=3.因为m+n+6=10,所以n=1. (2)设事件B表示“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”,则P(B)==. (3)由题意可知,这10名同学中女生或专业为数学的人数为7,ξ的可能取值为0,1,2,3,P(ξ=0)==,P(ξ=1)===,P(ξ=2)===,P(ξ=3)===,所以ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 均值Eξ=0×+1×+2×+3×=,方差Dξ=×+×+×+×=. 变式　解:(1)取出的4个小球中红球个数比白球个数多包含“取出3个红球1个白球”和“取出4个红球”这两个样本点, 则所求概率为=. (2)由题意知,X的所有可能的取值为4,5,6,7,8,则P(X=4)==,P(X=5)==,P(X=6)==,P(X=7)==,P(X=8)==, 所以随机变量X的分布列为 X 4 5 6 7 8 P 则EX=4×+5×+6×+7×+8×=, DX=×+×+×+×+×=. 例4　解:(1)若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为=,而3次取球可以看成3重伯努利试验,因此X~B,所以P(X=0)=××=,P(X=1)=××=,P(X=2)=××=,P(X=3)=××=.因此X的分布列为 X 0 1 2 3 P (2)若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次,每次取1个球可看成随机抽取1次,1次取3个球,因此Y服从超几何分布,且P(Y=k)=,k=0,1,2, 故P(Y=0)==,P(Y=1)==,P(Y=2)==,因此Y的分布列为 Y 0 1 2 P EY=0×+1×+2×=. 变式　解:(1)样本中一共有3+4+7+5+1=20(件)产品, 包装质量在[495,510)内的产品有4+7+5=16(件), 所以从该流水线上的产品中任取1件产品,估计该产品为一等品的概率P==. (2)依题意,X的可能取值为0,1,2,P(X=2)==,P(X=1)==,P(X=0)==, 故X的分布列为 X 0 1 2 P (3)由(2)可得EX=2×+1×+0×=. 依题意得Y~B,Y的可能取值为0,1,2,P(Y=2)==,P(Y=1)=××=,P(Y=0)==,故Y的分布列为 Y 0 1 2 P 所以EY=2×=,所以EX=EY. 学科网（北京）股份有限公司 $