6.4.1 第2课时 二项分布的综合应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

第2课时　二项分布的综合应用 【课前预习】 知识点 (1)np　(2)np(1-p) 诊断分析 × 【课中探究】 例1　解:(1)在已知它们颜色相同的情况下,该颜色是红色的概率P==. (2)由题意可知,一次取出1个球,取得红球的概率为,取出后记录颜色并放回箱中,取球3次,则X的可能取值为0,1,2,3,且X~B,所以EX=np=3×=,DX=np(1-p)=3××=. 变式　2　　[解析] 由题意可得,X~B,∴EX=6×=2,DX=6××=. 例2　A　[解析] 因为随机变量X~B(9,p),且EX=3,所以EX=np=9p=3,所以p=,故选A. 变式　(1)A　(2)6　[解析] (1)由解得故选A. (2)因为P(X≥1)=,所以P(X=0)=1-P(X≥1)=,又P(X=0)=p0(1-p)3=,所以p=,故DX=np(1-p)=3××=,所以DY=D(3X-1)=32DX=9×=6. 例3　解:(1)设每穴种n(n∈N*)粒种子,则每穴至少有一粒种子发芽的概率为1-0.2n>0.98, 可得n>log0.20.02=≈≈2.43, 故n的最小值为3,即每穴至少种3粒种子才能使每穴至少有一粒种子发芽的概率大于98%. (2)若每穴种3粒种子,则恰好2粒种子发芽的概率为×0.82×0.2=0.384. 变式　解:(1)经过第一次烧制恰有一件产品合格的概率p=0.5×(1-0.6)×(1-0.4)+(1-0.5)×0.6×(1-0.4)+(1-0.5)×(1-0.6)×0.4=0.38. (2)经过先后两次烧制,甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为 p1=0.5×0.6=0.3,p2=0.6×0.5=0.3,p3=0.4×0.75=0.3.所以p1=p2=p3=0.3,则随机变量ξ的所有可能取值为0,1,2,3,且ξ~B(3,0.3).可得P(ξ=0)=(1-0.3)3=,P(ξ=1)=×0.3×(1-0.3)2=,P(ξ=2)=×0.32×(1-0.3)=,P(ξ=3)=0.33=.所以随机变量ξ的分布列为 ξ 0 1 2 3 P 随机变量ξ的数学期望Eξ=3×0.3=0.9. 拓展　解:(1)设A表示“这个小球掉入2号球槽”,这个小球掉入2号球槽,需要在6次碰撞中1次向右5次向左滚下,所以P(A)=××=,故这个小球掉入2号球槽的概率为. (2)进行1次高尔顿板试验,小球掉入偶数号球槽的概率为××+××+××=.由题意可得,X~B,X的可能取值为0,1,2,3,4,5,P(X=k)=·,k=0,1,2,3,4,5,故X的分布列为 X 0 1 2 3 4 5 P 故EX=5×=. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　二项分布的综合应用 【学习目标】 　　1.掌握二项分布的均值与方差的公式. 　　2.能利用二项分布解决一些简单的实际问题. ◆ 知识点　 二项分布的均值和方差 (1)均值:若随机变量X~B(n,p),则EX=　　　　.   (2)方差:若随机变量X~B(n,p),则DX=　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷5次,则正面向上的次数的方差等于. (　 ) ◆ 探究点一　二项分布的均值和方差 例1 已知一个箱子中装有除颜色外完全相同的4个红球和3个白球. (1)一次取出2个球,在已知它们颜色相同的情况下,求该颜色是红色的概率; (2)一次取出1个球,取出后记录颜色并放回箱中,取球3次,求取到红球的次数X的均值与方差. 变式 小明同学从家到学校要经过6个红绿灯路口,假设他在各个路口遇到红灯是相互独立的,并且概率都是,则小明同学在上学途中遇到的红灯次数X的均值为　　　　,方差为　　　　.  [素养小结] (1)求二项分布的均值和方差的步骤: ①一是判断随机变量是否服从二项分布; ②二是代入二项分布的均值和方差公式计算均值和方差. (2)若X服从参数为p的两点分布,则DX=p(1-p);若X服从参数为n,p的二项分布,即X~B(n,p),则DX=np(1-p). ◆ 探究点二　已知二项分布的均值和方差求参　　　　　　　　　　　　　　　 例2 设随机变量X~B(9,p),且EX=3,则p= (　 ) A. B. C. D. 变式 (1)设随机变量X~B(n,p),如果EX=12,DX=4,那么n和p分别为 (　 ) A.18和 B.16和 C.20和 D.15和 (2)随机变量X,Y满足Y=3X-1,且X~B(3,p),若P(X≥1)=,则DY=　　　　.  [素养小结] 一般求二项分布中n与p两个参数时,会结合二项分布的均值与方差公式,通过方程的思想方法求解n或p. ◆ 探究点三　二项分布的实际应用 例3 已知一批玉米种子的发芽率是0.8. (1)问:每穴至少种几粒种子,才能保证每穴至少有一粒种子发芽的概率大于98%? (2)若每穴种3粒种子,求恰好2粒种子发芽的概率.(参考数据:lg 2≈0.301 0) 变式 [2024·吉林汪清高二期末] 某陶瓷厂准备烧制甲、乙、丙三件不同的工艺品,制作过程必须先后经过两次烧制,当第一次烧制合格后方可进入第二次烧制,两次烧制过程相互独立.根据该厂现有的技术水平,经过第一次烧制,甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.5,0.6,0.4,经过第二次烧制,甲、乙、丙三件产品合格的概率分别为0.6,0.5,0.75. (1)求经过第一次烧制恰有一件产品合格的概率; (2)经过先后两次烧制,记合格产品的件数为ξ,求随机变量ξ的分布列及数学期望. [素养小结] 利用二项分布来解决实际问题的关键是在实际问题中建立二项分布的模型,也就是看它是否是n重伯努利试验,随机变量是否为在这n重伯努利试验中某事件发生的次数,满足这两点的随机变量才服从二项分布,否则就不服从二项分布. 拓展 高尔顿板是英国生物统计学家高尔顿设计的用来研究随机现象的模型,在一块木板上钉着若干排相互平行但相互错开的圆柱形小木块,小木块之间留有适当的空隙作为通道,前面挡有一块玻璃,让一个小球从高尔顿板上方的通道口落下,小球在下落的过程中与各层小木块碰撞,且等可能地向左或向右滚下,最后掉入高尔顿板下方的某一球槽内.如图所示的高尔顿板有7层小木块,小球从通道口落下,第一次与第2层中间的小木块碰撞,以的概率向左或向右滚下,依次经过6次与小木块碰撞,最后掉入编号为1,2,…,7的球槽内.例如小球要掉入3号球槽,则在6次碰撞中有2次向右4次向左滚下. (1)若进行1次高尔顿板试验,求这个小球掉入2号球槽的概率; (2)若进行5次高尔顿板试验,记小球掉入偶数号球槽的次数为X,求X的分布列与期望. 学科网（北京）股份有限公司 $