6.3.2 离散型随机变量的方差(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

3.2　离散型随机变量的方差 【学习目标】 　　通过具体实例,理解离散型随机变量的方差. ◆ 知识点一　离散型随机变量的方差 1.设离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 则称DX=E(X-EX)2=(xi-EX)2·pi(i=1,2,…,n)为随机变量X的方差,其算术平方根为随机变量X的　　　　,记为σX.   2.随机变量的方差和标准差都反映了随机变量的取值偏离于均值的平均程度,反映了随机变量取值的　　　　.方差或标准差越小,随机变量的取值越　　　　;方差或标准差越大,随机变量的取值越　　　　.   3.方差也可以用公式DX=EX2-(EX)2计算. 4.两点分布的方差 若X服从参数为p的两点分布,则DX=　　　　.   【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)离散型随机变量的方差越大,随机变量的取值越稳定. (　 ) (2)离散型随机变量的方差反映了随机变量的取值偏离期望的平均程度. (　 ) (3)离散型随机变量X的方差DX反映了X取值的波动水平. (　 ) ◆ 知识点二　方差的性质 设X为随机变量,a,b,C为常数. D(aX+b)=　　　　,DC=　　　　.  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)如果X是离散型随机变量,且Y=3X+2,那么EY=3EX+2,DY=9DX. (　 ) (2)若a是常数,则Da=0. (　 ) (3)如果随机变量X的方差DX=,那么D(2X+1)=2×=. (　 ) ◆ 探究点一　离散型随机变量的方差 例1 已知随机变量ξ的分布列如下表,则Dξ= (　 ) ξ 1 3 5 P 0.4 0.1 0.5 A.0.95 B.3.2 C.0.7 D.3.56 变式 [2024·广州高二期末] 随机变量ξ有3个不同的取值,且其分布列为 ξ -1 0 1 P 则Dξ2的值为　　　　.  [素养小结] 求离散型随机变量的方差的方法 (1)根据题目条件先求分布列;(2)由分布列求出均值,再由方差公式求方差.当分布列中的概率值是待定常数时,应先由分布列的性质求出待定常数再求方差. ◆ 探究点二　方差的性质 例2 已知随机变量X满足DX=2,则D(3X+2)= (　 ) A.6 B.8 C.18 D.20 变式 (1)已知随机变量X满足E(2-2X)=4,D(2-2X)=4,则下列说法正确的是 (　 ) A.EX=-1,DX=-1 B.EX=1,DX=1 C.EX=-1,DX=4 D.EX=-1,DX=1 (2)已知随机变量X的分布列如下,则D(3X-1)的最大值为 (　 ) X 1 2 3 P a b 2b-a A. B.3 C.6 D.5 [素养小结] 关于方差性质的四点说明: 设X为随机变量,a,b为常数. (1)当a=0时,D(aX+b)=Db=0,即常数的方差等于0. (2)当a=1时,D(aX+b)=D(X+b)=DX,即随机变量与常数之和的方差等于这个随机变量的方差本身. (3)当b=0时,D(aX+b)=D(aX)=a2DX,即随机变量与常数之积的方差,等于这个常数的平方与这个随机变量方差的乘积. (4)当a,b均为非零常数时,随机变量η=aX+b的方差Dη=D(aX+b)=a2DX. ◆ 探究点三　方差的实际应用 例3 某公司计划在2024年年初将100万元用于投资,现有两个项目供选择. 项目一:新能源汽车.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利30%,也可能亏损15%,且这两种情况发生的概率分别为和. 项目二:通信设备.据市场调研,投资到该项目上,到年底可能获利50%,可能亏损30%,也可能不赔不赚,且这三种情况发生的概率分别为,,. 请你根据所学的知识,为投资公司选择一个项目进行投资,并说明理由. 变式 甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境,且野生动物的种类和数量也大致相同,而两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的分布列分别为 甲保护区: X 0 1 2 3 P 0.3 0.3 0.2 0.2 乙保护区: Y 0 1 2 P 0.1 0.5 0.4 试评定这两个保护区的管理水平. [素养小结] 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤: (1)比较均值:离散型随机变量的均值反映了离散型随机变量取值的平均水平,因此,在实际决策问题中, 需先计算均值,看一下谁的平均水平高. (2)在均值相等的情况下计算方差:方差反映了离散型随机变量取值的离散程度.通过计算方差,分析一下谁的离散程度较低. (3)下结论:依据均值和方差的意义得出结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 3.2　离散型随机变量的方差 【课前预习】 知识点一 1.标准差　2.离散程度　集中　分散　4.p(1-p) 诊断分析 (1)×　(2)√　(3)√ 知识点二 a2DX　0 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)× 【课中探究】 例1　D　[解析] 由题意得,Eξ=1×0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,∴Dξ=(1-3.2)2×0.4+(3-3.2)2×0.1+(5-3.2)2×0.5=3.56.故选D. 变式　　[解析] 依题意,ξ2的取值为0,1,且P(ξ2=0)=,P(ξ2=1)=,则ξ2的期望Eξ2=0×+1×=,所以ξ2的方差Dξ2=×+×=. 例2　C　[解析] ∵DX=2,∴D(3X+2)=9DX=18.故选C. 变式　(1)D　(2)C　[解析] (1)根据方差和均值的性质可得E(2-2X)=-2EX+2=4,解得EX=-1;由D(2-2X)=4DX=4,解得DX=1.故选D. (2)由分布列的性质,可得a+b+2b-a=1,解得b=,所以EX=a+2×+3=-2a+,则DX=×a+×+×=-4a2+a+=-4+.因为0≤a≤1,0≤-a≤1,所以a∈,则当a=时,DX取得最大值,又D(3X-1) =9DX,所以D(3X-1)的最大值为9×=6.故选C. 例3　解:设投资项目一、项目二分别获利X万元、Y万元, 则X的可能取值有30,-15,且P(X=30)=,P(X=-15)=,Y的可能取值有50,-30,0,且P(Y=50)=,P(Y=-30)=,P(Y=0)=, 所以EX=30×+(-15)×=20,EY=50×+(-30)×+0×=20,所以EX=EY. DX=(30-20)2×+(-15-20)2×=350,DY=(50-20)2×+(-30-20)2×+(0-20)2×=1400,则DX<DY,所以投资项目一、项目二获得的利润的期望相等,但投资项目一更稳妥,因此选择项目一进行投资较好. 变式　解:甲保护区内每个季度发生违规事件次数X的均值EX=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3,方差DX=(0-1.3)2×0.3+(1-1.3)2×0.3+(2-1.3)2×0.2+(3-1.3)2×0.2=1.21.乙保护区内每个季度发生违规事件次数Y的均值EY=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3,方差DY=(0-1.3)2×0.1+(1-1.3)2×0.5+(2-1.3)2×0.4=0.41.因为EX=EY,DX>DY,所以两个保护区内每个季度发生的违规事件次数的均值相同,但甲保护区发生的违规事件次数相对分散,乙保护区发生的违规事件次数相对集中,故乙保护区的管理水平更高. 学科网（北京）股份有限公司 $