6.2.2 离散型随机变量的分布列(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

2.2　离散型随机变量的分布列 【学习目标】 　　通过具体实例,了解离散型随机变量的概念,理解离散型随机变量的分布列. ◆ 知识点一　离散型随机变量 取值能够　　　　　　　的随机变量称为离散型随机变量.   ◆ 知识点二　离散型随机变量的分布列及其 性质 1.分布列的概念 若离散型随机变量X的取值为x1,x2,…,xn,…,随机变量X取xi的概率为pi(i=1,2,…,n,…),记作P(X=xi)=pi(i=1,2,…,n,…)①. ①式也可以列成表,如下: xi x1 x2 … xn … P(X=xi) p1 p2 … pn … 上表或①式称为离散型随机变量X的分布列,简称为X的分布列. 2.分布列的性质 (1)pi　　　　0(i=1,2,…,n,…);   (2)p1+p2+…+pn+…=　　　　.   3.两点分布 如果随机变量X的分布列如下表: X 1 0 P 　　　　  　　　  其中0<p<1,q=1-p,那么称离散型随机变量X服从参数为p的两点分布(又称0-1分布或伯努利分布). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)在离散型随机变量的分布列中,每一个可能值对应的概率可以为任意的实数. (　 ) (2)在某项体能测试中,跑1 km所花费的时间不超过4 min为优秀,某同学跑1 km所花费的时间X是离散型随机变量. (　 ) (3)两点分布只有两个结果,且是对立的,因此两点分布只能研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律. (　 ) (4)新生儿的性别、投篮是否命中、买到的商品是否为正品,都可以用两点分布研究. (　 ) ◆ 探究点一　离散型随机变量 例1 已知下列随机变量: ①10件产品中有2件次品,从中任选3件,取到次品的件数X; ②一位射击选手对目标进行射击,击中目标得1分,未击中目标得0分,该射击选手在一次射击中的得分X; ③一天内的温度X; ④在体育彩票的抽奖中,一次摇号产生的号码数X. 其中X是离散型随机变量的是 (　 )　　　　　　　　　　　　　　　　 A.①②③ B.①②④ C.②③④ D.③④ 变式 (多选题)下列所述问题中的X是离散型随机变量的是 (　 ) A.将一枚质地均匀的硬币抛掷5次,出现正面向上和反面向上的次数之和为X B.某高速公路收费站一小时通过的车辆数X C.某公交车每15分钟一班,某人在站台等该公交车的时间为X分钟 D.今天数学课,某同学被提问到的次数X [素养小结] 判断一个随机变量X是否为离散型随机变量的具体方法: (1)明确随机试验的所有可能结果; (2)将随机试验的试验结果数量化; (3)确定试验结果所对应的实数是否可按一定次序一一列出,若能一一列出,则该随机变量是离散型随机变量,否则不是. ◆ 探究点二　离散型随机变量的分布列 例2 袋中有6个质地、大小一样的球,球上依次编号为1,2,3,4,5,6.现从袋中任取3个球,以X表示取出的3个球中的最大号码,求X的分布列. 变式 某校高一、高二年级的学生参加书法比赛集训,高一年级推荐了4名男生,2名女生,高二年级推荐了3名男生,5名女生.从参加集训的男生、女生中各随机抽取3人,组成代表队参加比赛.正式比赛时,从代表队的6名队员中随机抽取2人参赛,设ξ表示参赛的男生人数,求ξ的分布列. [素养小结] 求离散型随机变量的分布列的步骤: (1)确定随机变量X的所有可能取值xi(i=1,2,…)以及每个取值所表示的意义; (2)利用概率的相关知识,求出X取每个值的概率P(X=xi)=pi(i=1,2,…); (3)写出分布列; (4)根据分布列的性质对结果进行检验. ◆ 探究点三　两点分布 例3 [2024·重庆荣昌中学高二月考] 离散型随机变量X的分布列如下表所示,则常数C的值为 (　 ) X 0 1 P 9C2-C 3-8C A. B. C.或 D.以上都不对 变式 袋中装有除颜色外完全相同的10个红球和5个白球,从中摸出2个球,如果只关心摸出两个红球的情形,问如何定义随机变量X,才能使X服从两点分布,并求分布列. [素养小结] (1)用两点分布不仅可以研究只有两个结果的随机试验的概率分布规律,也可以研究其他一些随机事件的概率分布规律.在有多个结果的随机试验中,如果我们只关心一个随机事件是否发生,那么就可以利用两点分布来研究它. (2)若X服从两点分布,则由互斥事件的概率求法可知,已知P(X=0)(或P(X=1)),便可求出P(X=1)(或P(X=0)). ◆ 探究点四　分布列的性质 例4 已知随机变量X的取值是-2,0,3,5,且P(X=-2)=,P(X=3)=,P(X=5)=,则P(X=0)=　　　　.  变式 若离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 P 4a-1 3a2+a 则a等于 (　 ) A. B. C. D.1 [素养小结] 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率的和,如P(ξ≥xk)=P(ξ=xk)+P(ξ=xk+1)+…. 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.2　离散型随机变量的分布列 【课前预习】 知识点一 一一列举出来 知识点二 2.(1)>　(2)1　3.p　q 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 【课中探究】 例1　B 变式　BD　[解析] B,D选项中X的取值可以一一列举出来,是离散型随机变量.A选项中X的取值是常数5,不是离散型随机变量.C选项中的随机变量X∈[0,15],取值无法按一定次序一一列出,所以它不是离散型随机变量.故选BD. 例2　解:由已知可得随机变量X的取值为3,4,5,6,P(X=3)==,P(X=4)==,P(X=5)===,P(X=6)===,所以X的分布列为 X 3 4 5 6 P 变式　解:由题意可得,ξ的所有可能取值为0,1,2, 则P(ξ=0)==,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,故ξ的分布列为 ξ 0 1 2 P 例3　B　[解析] 由题可知可得C=.故选B. 变式　解:可令X=则X服从两点分布, 可得P(X=0)==,P(X=1)=1-=, 所以X的分布列为 X 0 1 P 例4　　[解析] P(X=0)=1---=. 变式　B　[解析] 由题知3a2+a+4a-1=1,解得a=或a=-2(舍去).故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $