6.2.1 随机变量(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

§2　离散型随机变量及其分布列 2.1　随机变量 【学习目标】 　　1.理解随机变量的含义. 　　2.了解随机变量与函数的区别与联系. 　　3.会用随机变量描述随机现象. ◆ 知识点　随机变量 1.随机变量的概念 在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得样本空间的每一个样本点都用一个确定的数值表示,在这个对应关系下,数值随着试验结果的变化而变化.像这种取值随着试验结果的变化而变化的量称为随机变量. 2.随机变量的表示 随机变量常用字母X,Y,ξ,η等表示. 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)随机变量的取值可以是有限个,也可以是无限个. (　 ) (2)在抛掷一枚质地均匀的硬币的试验中,“出现正面的次数”为随机变量. (　 ) (3)方程x2-2x-3=0的根的个数是随机变量. (　 ) ◆ 探究点一　随机变量 例1 判断下列各个量,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)赣深高铁赣州西站候车厅中某日的旅客人数; (2)某路口在某时间段内查处的酒驾人数; (3)连续不断地射击,首次命中目标所需要的射击次数; (4)表面积为4π cm2的球的半径. 变式 判断下列变量中,哪些是随机变量,哪些不是随机变量,并说明理由. (1)任意掷一枚质地均匀的硬币5次,出现正面向上的次数; (2)投一颗质地均匀的骰子1次,出现的点数(朝上一面的数字); (3)标准大气压下,水沸腾的温度. [素养小结] 1.随机试验的结果具有可变性,随机试验结果对应的数值随着试验结果的变化而变化. 2.随机试验的结果具有确定性,即每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果. 如果一个随机试验的结果对应的变量具有以上两点,则该变量即为随机变量. ◆ 探究点二　随机变量的可能取值 例2 试用随机变量表示下列试验可能的结果. (1)袋中有除颜色外完全相同的10个红球和5个白球,从袋中每次任取1个球,取后不放回,直到取出的球是白球为止,所需要的取球次数. (2)从分别标有1,2,3,4,5,6的6张卡片中任取2张,所取卡片上的数字之和. 　　　　　　　　　　　　　　　 变式 口袋中有5个球,编号为1,2,3,4,5,从中任意取出3个球,用X表示取出球的最小号码,则X的取值为 (　 ) A.1 B.1,2 C.1,2,3 D.1,2,3,4 [素养小结] 解答此类问题的关键在于明确随机变量的所有可能的取值,以及其取每一个值时对应的意义.随机变量的一个取值可能对应一个或多个随机试验的结果,解答过程中不要漏掉某些试验结果. ◆ 探究点三　用随机变量表示事件 例3 袋中装有除颜色外完全相同的10个红球、5个黑球,每次随机抽取1个球,若取得黑球则另换1个红球放回袋中,直到取到红球为止.设抽取的次数为X,则表示“放回5个红球”事件的是 (　 ) A.{X=4} B.{X=5} C.{X=6} D.{X≤5} 变式 将一枚质地均匀的硬币连续抛掷3次,用随机变量X表示“反面向上的次数”,则{0≤X≤2}表示的随机事件是 (　 ) A.只有2次反面向上 B.至多2次反面向上 C.至少2次反面向上 D.没有2次反面向上 [素养小结] 用随机变量表示事件(或随机试验的结果)要注意三点:(1)理解变量的每一个取值的意义,(2)做到不重不漏,(3)注意表达方式要一致. 学科网（北京）股份有限公司 $ §2　离散型随机变量及其分布列 2.1　随机变量 【课前预习】 知识点 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)× 【课中探究】 例1　解:(1)旅客人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量. (2)所查处的酒驾人数可能是0,1,2,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量. (3)连续不断地射击,首次击中目标所需要射击的次数可能为1,2,3,…,出现哪一个结果是随机的,因此是随机变量. (4)球的表面积为4π cm2时,球的半径为定值,不是随机变量. 变式　解:(1)任意掷一枚质地均匀的硬币1次,可能出现正面向上也可能出现反面向上,因此投掷5次硬币,出现正面向上的次数可能是0,1,2,3,4,5,而且出现哪种结果是随机的,因此是随机变量. (2)投一颗质地均匀的骰子1次,出现的结果是1点,2点,3点,4点,5点,6点中的一个,且出现哪个结果是随机的,因此是随机变量. (3)标准大气压下,水沸腾的温度为100 ℃,不是随机的,所以不是随机变量. 例2　解:(1)设X表示所需要的取球次数,则X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,其中,{X=i}表示“前i-1次取到的均是红球,第i次取到白球”,且i=1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11. (2)设X表示所取卡片上的数字之和,则X的所有可能取值为3,4,5,6,7,8,9,10,11,其中{X=3}表示“取出标有1,2的两张卡片”,{X=4}表示“取出标有1,3的两张卡片”,{X=5}表示“取出标有1,4或2,3的两张卡片”,{X=6}表示“取出标有1,5或2,4的两张卡片”,{X=7}表示“取出标有1,6或2,5或3,4的两张卡片”,{X=8}表示“取出标有2,6或3,5的两张卡片”,{X=9}表示“取出标有3,6或4,5的两张卡片”,{X=10}表示“取出标有4,6的两张卡片”,{X=11}表示“取出标有5,6的两张卡片”. 变式　C 例3　C　[解析] “放回5个红球”表示前五次摸到黑球,第六次摸到红球,故表示“放回5个红球”事件的是{X=6}.故选C. 变式　B　[解析] 随机变量X满足“0≤X≤2”,则反面向上的次数为0,1,2,即至多2次反面向上.故选B. 学科网（北京）股份有限公司 $