6.1.2 乘法公式与事件的独立性(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

1.2　乘法公式与事件的独立性 【课前预习】 知识点二 诊断分析 解:∵P(A|B)≠P(A),∴事件A与B不相互独立. 【课中探究】 例1　C　[解析] P(AB)=P(B|A)P(A)=×=. 变式　　[解析] 设事件Ai表示“第i次取到的是红球”(i=1,2),则事件A1A2表示“两次取到的均为红球”.由题设知P(A1)=,P(A2|A1)=,于是根据乘法公式得P(A1A2)=P(A1)P(A2|A1)=×=. 例2　D　[解析] 对于此道数学难题,恰有1人解出,包括:①A解出,B,C解不出,概率为××=;②B解出,A,C解不出,概率为××=;③C解出,A,B解不出,概率为××=.所以恰有1人解出的概率为++=.故选D. 变式　C　[解析] “甲、乙、丙回老家过节”分别记为事件A,B,C,则P(A)=,P(B)=,P(C)=,∴P()=,P()=,P()=.由题意可知A,B,C为相互独立事件,∴三人都不回老家过节的概率P( )=××=,∴至少有一人回老家过节的概率P=1-=.故选C. 例3　(1)C　(2)AD　[解析] (1)依题意得P(B|A)+P()=P(B|A)+1-P(B)=1,则P(B|A)=P(B),即=P(B),于是P(AB)=P(A)P(B),所以事件A与事件B相互独立.故选C. (2)对于A,若第一次取到白球,第二次仍取到白球,则概率为=,若第一次取到红球,第二次取到白球,则概率为=,故第二次取到白球的概率是+=,故A正确.对于B,除了“两次均取到红球”和“两次均取到白球”可能发生外,还有可能“一次取到白球,一次取到红球”,因此“两次均取到红球”和“两次均取到白球”是互斥事件,但不互为对立事件,故B错误.对于C,第一次取到红球的概率为,第二次取到红球的概率为+=,两次都取到红球的概率为=,因为≠×,所以“第一次取到红球”和“第二次取到红球”不是相互独立事件,故C错误.对于D,设“第二次取到的是红球”为事件A,“第一次取到的是白球”为事件B,则P(AB)==,P(A)=+=,故P(B|A)===,故D正确.故选AD. 变式　AB　[解析] 对于A,由题意可知A1,A2,A3不可能同时发生,所以A1,A2,A3两两互斥,A正确;对于B,事件A2发生即从甲袋中取出一个红球放入乙袋,此时乙袋中有3个白球,4个红球,2个黑球,共9个球,则P(B|A2)==,B正确;对于C,由题意可得P(A2)==,则P(BA2)=P(A2)P(B|A2)=×=,C错误;对于D,因为P(A2)·P(B)=×=,P(BA2)=,所以P(BA2)≠P(B)·P(A2),则A2与B不是相互独立事件,D错误.故选AB. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2　乘法公式与事件的独立性 【学习目标】 　　1.结合古典概型,会利用乘法公式计算概率. 　　2.了解独立性与条件概率的关系. 　　3.会求相互独立事件同时发生的概率. ◆ 知识点一　概率的乘法公式 P(AB)=P(A)P(B|A)(其中P(A)>0)①, P(AB)=P(B)P(A|B)(其中P(B)>0)②, 称公式①②为乘法公式.利用它们可以计算两个事件同时发生的概率. ◆ 知识点二　相互独立事件发生的概率 事件A与事件B相互独立⇔P(AB)=P(A)P(B). 【诊断分析】 若P(A|B)=0.7,P(A)=0.69,判断事件A与B是否相互独立. ◆ 探究点一 　概率的乘法公式 例1 已知P(B|A)=,P(A)=,则P(AB)等于 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A. B. C. D. 变式 一个袋中装有10个球,其中4个红球、6个黄球,这10个球除颜色外完全相同.先后两次从中随意各取一球(不放回),则两次取到的均为红球的概率为　　　　.  [素养小结] 乘法公式给出了一种计算“积事件”概率的方法,即当直接计算P(AB)不容易实现时,可先求出P(A)及P(B|A)或先求出P(B)及P(A|B),再利用乘法公式P(AB)=P(A)P(B|A)=P(B)P(A|B)求解即可. ◆ 探究点二　相互独立事件发生的概率 例2 有一道数学难题,学生A解出的概率为,学生B解出的概率为,学生C解出的概率为,若A,B,C三人独立去解答此题,则恰有1人解出的概率为 (　 ) A. B. C. D. 变式 端午节放假期间,甲回老家过节的概率为,乙、丙回老家过节的概率分别为,.假定三人的行动互相之间没有影响,那么在三人中,端午节放假期间至少有一人回老家过节的概率为 (　 ) A. B. C. D. [素养小结] 1.当遇到“至少”“至多”问题时可以考虑其对立事件,以降低题目难度. 2.求复杂事件的概率一般可分三步进行: (1)列出题中所涉及的各个事件,并用适当的符号表示它们; (2)理清各个事件之间的关系,恰当地用事件间的“并”“交”表示所求事件; (3)根据事件之间的关系准确地运用概率公式进行计算. ◆ 探究点三　条件概率与相互独立事件的关系 例3 (1)已知P(A)>0,P(B|A)+P()=1,则事件A与事件B (　 ) A.互斥 B.对立 C.相互独立 D.以上均不正确 (2)(多选题)[2024·深圳外国语学校高二期末] 一个盒中装有质地、大小、形状完全相同的3个白球和4个红球,从中连摸两次,每次摸一球.规定:若第一次取到的是白球,则不放回,继续抽取下一个球;若第一次取到的是红球,则放回后继续抽取下一个球.下列说法正确的是 (　 ) A.第二次取到白球的概率是 B.“两次均取到红球”和“两次均取到白球”互为对立事件 C.“第一次取到红球”和“第二次取到红球”是相互独立事件 D.已知第二次取到的是红球,则第一次取到的是白球的概率为 变式 (多选题)甲袋中装有4个白球,2个红球和2个黑球,乙袋中装有3个白球,3个红球和2个黑球.先从甲袋中随机取出一个球放入乙袋,再从乙袋中随机取出一个球.用事件A1,A2,A3分别表示“从甲袋中取出的球是白球、红球和黑球”,用事件B表示“从乙袋中取出的球是白球”.已知P(B)=,则 (　 ) A.A1,A2,A3两两互斥 B.P(B|A2)= C.P(BA2)= D.A2与B是相互独立事件 [素养小结] 判断两个事件是否相互独立的方法: (1)直接法:由事件本身的性质直接判断两个事件的发生是否相互影响. (2)定义法:如果事件A,B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积,那么事件A,B为相互独立事件. (3)条件概率法:当P(A)>0时,可用P(B|A)=P(B)判断. 学科网（北京）股份有限公司 $