第2章 圆锥曲线 本章总结提升(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册学生用书（北师大版）

本章总结提升 ◆ 题型一　圆锥曲线的标准方程与定义 [类型总述] (1)椭圆、双曲线上的点与两个焦点构成的三角形问题;(2)涉及焦点、准线、离心率、圆锥曲线上的点的问题;(3)求轨迹问题、最值问题、曲线方程.　　　　　 　　　　　 　　　　　 例1 (1)设F1,F2分别是椭圆+=1的左、右焦点,P是椭圆上的点,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,则△F1PF2的面积等于 (　 ) A.5 B.4 C.3 D.1 (2)双曲线x2-=1的左、右焦点分别为F1,F2,若双曲线上的一点P满足3|PF1|=5|PF2|,则点P的坐标为　　　　.  变式 (1)已知P为椭圆+=1上任意一点,EF为圆N:x2+(y+1)2=1的任意一条直径,则·的取值范围是 (　 ) A.[0,24] B.[8,24] C.(0,24) D.(8,24) (2)已知动圆M与圆C1: (x+4)2+y2=2外切,与圆C2:(x-4)2+y2=2内切,则动圆圆心M的轨迹方程为 (　 ) A.-=1(x≥) B.-=1(x≤-) C.+=1 D.-=1 ◆ 题型二　圆锥曲线的性质 [类型总述] (1)已知基本量求离心率e的值或取值范围;(2)已知圆锥曲线的方程求参数的取值范围;(3)已知曲线的某些性质求曲线方程或求曲线的其他性质. 例2 (1)已知p>0,若抛物线y2=2px的焦点是椭圆+=1的一个焦点,则p= (　 ) A.2 B.3 C.4 D.8 (2)已知双曲线C:-=1(b>0)的右焦点为F,过点P(-2,0)作一条倾斜角为30°的直线,与双曲线C在第一象限交于点M,且|PF|=|FM|,则双曲线C的离心率为 (　 ) A. B. C. D. 例3 (1)[2023·新课标Ⅰ卷] 设椭圆C1:+y2=1(a>1),C2:+y2=1的离心率分别为e1,e2,若e2=e1,则a= (　 ) A. B. C. D. (2)已知椭圆C的离心率e=,其左、右焦点分别为F1,F2,P为椭圆C上一动点,则的取值范围为　　　　.  (3)已知椭圆M:+=1(a>b>0),双曲线N:-=1(m>0,n>0).若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点,则椭圆M的离心率为 　　　　,双曲线N的离心率为　　　　.   变式 (1)已知双曲线-=1(a>0,b>0)与直线y=2x有交点,则双曲线离心率的取值范围为 (　 ) A.(1,) B.(1,] C.(,+∞) D.[,+∞) (2)已知抛物线y2=4x的焦点为F,点M在抛物线上,MN垂直x轴于点N.若|MF|=6,则点M的横坐标为　　　　;△MNF的面积为　　　　.  (3)已知椭圆+=1(a>b>0)上一点A关于原点O的对称点为B,点F为椭圆右焦点,且满足AF⊥BF,设∠ABF=α,且α∈,则椭圆离心率e的取值范围是　　　　.  ◆ 题型三　直线与圆锥曲线的位置关系 [类型总述] (1)中点弦问题;(2)弦长的计算;(3)位置关系问题. 例4 (1)设A,B为双曲线x2-=1上两点,下列四个点中可为线段AB中点的是 (　 ) A.(1,1) B.(-1,2) C.(1,3) D.(-1,-4) (2)已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(6,y0)在抛物线C上,且|AF|=10. ①求抛物线C的方程; ②若直线l交抛物线C于M,N两点,且点(4,2)为线段MN的中点,求直线l的方程. 例5 已知F是抛物线C:y2=4x的焦点,点P在C上,点Q满足=2,记点Q的轨迹为曲线E. (1)求曲线E的方程; (2)若过点F的直线l与曲线E交于M,N两点,且|MN|=4,求直线l的方程. 变式 [2024·江西抚州高二期中] 已知A,B两点在以F为焦点的抛物线y2=4x上,并满足=3,过弦AB的中点M作抛物线对称轴的平行线,与准线交于N点,则线段MN的长为 (　 ) A. B. C. D. ◆ 题型四　圆锥曲线的综合问题 [类型总述] (1)定点、定值问题;(2)最值、取值范围问题. 例6 [2023·全国甲卷] 已知直线x-2y+1=0与抛物线C:y2=2px(p>0)交于A,B两点,|AB|=4. (1)求p; (2)设F为C的焦点,M,N为C上两点,且·=0,求△MFN的面积的最小值. 变式 已知抛物线C:x2=2py(p>0)的焦点为F,点M为抛物线C上一点,且线段FM的中点为N,该抛物线的焦点到准线的距离不大于3. (1)求抛物线C的方程; (2)设点A,B为抛物线上的动点,若|AB|=6,当弦AB的中点到抛物线的准线距离最短时,求直线AB的方程. 例7 [2023·新课标Ⅱ卷] 已知双曲线C的中心为坐标原点,左焦点为(-2,0),离心率为. (1)求C的方程; (2)记C的左、右顶点分别为A1,A2,过点(-4,0)的直线与C的左支交于M,N两点,M在第二象限,直线MA1与NA2交于点P.证明:点P在定直线上. 变式1 设抛物线C的方程为x2=y,点M为直线l:y=-m(m>0)上任意一点,过点M作抛物线C的两条切线MA,MB,切点分别为A,B. (1)当点M的坐标为时,求过M,A,B三点的圆的方程,并判断直线l与此圆的位置关系; (2)求证:直线AB恒过定点. 变式2 已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,且经过点P. (1)求椭圆C的方程; (2)若直线y=kx+m与椭圆C交于M,N两点,O为坐标原点,直线OM,ON的斜率之积等于-,试探求△OMN的面积是否为定值,并说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 本章总结提升 【素养提升】 题型一 例1　(1)B　(2)(2,±3)　[解析] (1)由椭圆的方程+=1,知a=3,b=2,c=,∵|PF1|+|PF2|=2a=6,且|PF1|∶|PF2|=2∶1,∴|PF1|=4,|PF2|=2,∴|PF1|2+|PF2|2=20=|F1F2|2,因此△PF1F2是以P为直角顶点的直角三角形,故△PF1F2的面积S=|PF1|·|PF2|=4.故选B. (2)由题意知a=1,b=,c==2,则F1(-2,0),F2(2,0),因为3|PF1|=5|PF2|,所以点P在双曲线的右支上. 方法一:设P(x,y)(x>1),则3=5,与x2-=1联立,消去y得16x2-34x+4=0,即(16x-2)(x-2)=0,解得x=2或x=(舍去),将x=2代入x2-=1,得y=±3,所以点P的坐标为(2,±3). 方法二(利用双曲线的二级结论):双曲线的离心率e=2,设P(x0,y0)(x0>1),由焦半径公式得|PF1|=|ex0+a|=|2x0+1|,|PF2|=|ex0-a|=|2x0-1|,因为3|PF1|=5|PF2|,所以3|2x0+1|=5|2x0-1|,解得x0=2或x0=(舍去),将x0=2代入-=1,可得y0=±3,所以点P的坐标为(2,±3). 变式　(1)B　(2)A　[解析] (1)由题意得圆心N(0,-1)是椭圆的下焦点,EF是圆N的直径,则·=(+)·(+)=(+)·(-)=-=||2-1.椭圆方程+=1中,a=4,b=,则c==1,则椭圆上的点P到点N的距离的最大值为a+c=5,最小值为a-c=3,所以||2-1的最大值为24,最小值为8.所以·的取值范围是[8,24].故选B. (2)如图,设圆M与圆C1,圆C2的切点分别为B,A,由题意得|MB|=|MA|,圆C1: (x+4)2+y2=2与圆C2:(x-4)2+y2=2的半径相等,均为,即|BC1|=|AC2|=,所以|MC1|-|MC2|=|MB|+|BC1|-(|MA|-|AC2|)=|MB|+|BC1|-|MA|+|AC2|=|BC1|+|AC2|=2<|C1C2|=8,故点M的轨迹为以C1,C2为焦点的双曲线的右支,其中2a=2,2c=8,故a=,c=4,则b2=c2-a2=16-2=14,所以动圆圆心M的轨迹方程为-=1(x≥).故选A. 题型二 例2　(1)D　(2)A　[解析] (1)抛物线的焦点为,由椭圆方程可知a2=3p,b2=p,所以c2=2p,所以椭圆的焦点为(±,0),由题意可得=,可得p=8. (2)如图所示,设双曲线的实轴长为2a,M(x0,y0),F(c,0),则-=1,a=2,所以双曲线的离心率e=,|MF|====|ex0-a|,又M在第一象限,即x0>a,故|MF|=ex0-a.过M作MD⊥x轴于D,因为∠MPF=30°,|PF|=|FM|,所以∠MFD=60°,由条件得|PF|=a+c=|MF|=2|FD|,所以D,即x0=,故|MF|=x0·-a=·-a=a+c⇒3c2-ac-4a2=0⇒3e2-e-4=0,解得e=(负值舍去).故选A. 例3　(1)A　(2)　(3)-1　2　[解析] (1)由题可得e2=,又e2=e1,所以e1=,即=,解得a2=,所以a=.故选A. (2)设P(x0,y0),椭圆C的方程为+=1(a>b>0),其半焦距为c,则+=1,F1(-c,0),F2(c,0),所以|PF1|==|a+ex0|,同理得|PF2|=|a-ex0|,所以===-1+,且-a≤x0≤a,得∈. (3)由正六边形的性质知,双曲线N的一条渐近线的方程为y=x,即=,所以双曲线N的离心率为=2.设椭圆M的离心率为e,焦距为2c,由得x2=,由题知=,整理得4a4-8a2c2+c4=0,即e4-8e2+4=0,解得e2=4±2,又e∈(0,1),所以e=-1. 变式　(1)C　(2)5　4　(3)　[解析] (1)因为双曲线的一条渐近线方程为y=x,由题意得>2,所以双曲线的离心率e==>=.故选C. (2)设点M的坐标为(x0,y0).由题意知抛物线C的准线方程为x=-1,∵|FM|=6,∴x0+1=6,解得x0=5,∴|y0|=2,N(5,0),∴△MNF的面积为×(5-1)×2=4. (3)设椭圆+=1(a>b>0)的左焦点为E,连接AE,BE,如图,由题意可知,原点O为线段AB,EF的中点,且AF⊥BF,则四边形AEBF为矩形,所以|OA|=|OE|.又因为AE∥BF,所以∠AEF=∠BAE=∠ABF=α,因为∠EAF=,所以|AF|=|EF|sin α=2csin α,|AE|=2ccos α.因为α∈,所以≤α+<,所以≤sin≤1.由椭圆的定义可得|AE|+|AF|=2c(sin α+cos α)=2a,所以椭圆的离心率e===∈. 题型三 例4　(1)D　[解析] 设A(x1,y1),B(x2,y2),则线段AB的中点为M,可得kAB=,点M与原点O连线的斜率k==.因为点A,B在双曲线上,所以两式相减得(-)-=0,所以kAB·k==9.对于选项A, 可得k=1,kAB=9,则直线AB:y=9x-8,由消去y得72x2-2×72x+73=0,Δ1=(-2×72)2-4×72×73=-288<0,所以直线AB与双曲线没有交点,不符合题意,故A错误;对于选项B,可得k=-2,kAB=-,则直线AB:y=-x-,由消去y得45x2+2×45x+61=0,Δ2=(2×45)2-4×45×61=-4×45×16<0,所以直线AB与双曲线没有交点,不符合题意,故B错误;对于选项C,可得k=3,kAB=3,则直线AB:y=3x,由双曲线方程可得a=1,b=3,则直线AB:y=3x为双曲线的一条渐近线,所以直线AB与双曲线没有交点,不符合题意,故C错误;对于选项D,k=4,kAB=,则直线AB:y=x-,由消去y得63x2+126x-193=0,Δ3=1262+4×63×193>0,故直线AB与双曲线有两个交点,故D正确.故选D. (2)解:①因为点A(6,y0)在抛物线C上, 所以由抛物线定义可得|AF|=6+=10,解得p=8, 故抛物线C的方程为y2=16x. ②设M(x1,y1),N(x2,y2),则两式相减可得-=16(x1-x2),即(y1-y2)(y1+y2)=16(x1-x2),又由线段MN的中点为(4,2),可得y1+y2=4,所以=4,故直线l的斜率为4,所以直线l的方程为y-2=4(x-4),即直线l的方程为4x-y-14=0. 例5　解:(1)由题意得F(1,0),设Q(x,y),则=2=(2-2x,-2y),所以(x-xP,y-yP)=(2-2x,-2y),则xP=3x-2,yP=3y,所以P(3x-2,3y).由点P在抛物线C上,可得(3y)2=4(3x-2),即9y2=12x-8,则曲线E的方程为9y2=12x-8. (2)显然当直线l的斜率为0时,与抛物线只有一个交点,不符合要求,设直线l的方程为x=my+1,代入9y2=12x-8,得9y2-12my-4=0,则Δ=144m2+144>0,设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1+y2=,y1y2=-,所以|MN|=·=·=(m2+1)=4,所以m=或m=-.所以直线l的方程为x-y-1=0或x+y-1=0. 变式　C　[解析] 由题意得F(1,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),由可得y2-4my-4=0,故y1+y2=4m,y1y2=-4,又由=3可得y1=-3y2,且y1>0,y2<0,故y1=2,y2=-,则m=,则M.因为抛物线的准线方程为x=-1,所以N,故|MN|=+1=. 题型四 例6　解:(1)由可得y2-4py+2p=0,所以yA+yB=4p,yAyB=2p,所以|AB|==|yA-yB|=×=2×=4,整理得2p2-p-6=0,又p>0,所以p=2. (2)由(1)得F(1,0),显然直线MN的斜率不可能为0. 设直线MN的方程为x=my+n,M(x1,y1),N(x2,y2), 由可得y2-4my-4n=0,所以y1+y2=4m,y1y2=-4n,因为Δ=16m2+16n>0,所以m2+n>0. 因为·=0,所以(x1-1)(x2-1)+y1y2=0,即(my1+n-1)(my2+n-1)+y1y2=0,即(m2+1)y1y2+m(n-1)(y1+y2)+(n-1)2=0,将y1+y2=4m,y1y2=-4n代入并整理,可得4m2=n2-6n+1,所以n2-6n+1≥0,解得n≥3+2或n≤3-2.设点F到直线MN的距离为d,则d=,又|MN|==|y1-y2|== 2=2|n-1|,所以△MNF的面积S=×|MN|×d=×2|n-1|×=(n-1)2,又n≥3+2或n≤3-2,所以当n=3-2时,△MNF的面积取得最小值(2-2)2=12-8. 变式　解:(1)依题意得F,因为抛物线的焦点到准线的距离不大于3,所以p≤3.设M(xm,ym),由线段FM的中点为N,得解得因为M(xm,ym)在抛物线x2=2py上,所以16=2p, 即p2-10p+16=0,解得p=2或p=8(舍去), 所以抛物线C的方程为x2=4y. (2)根据题意知直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为D(x0,y0).由得x2-4kx-4b=0, 由Δ>0得k2+b>0,x1+x2=4k,x1x2=-4b, 则|x1-x2|==, 所以|AB|=|x1-x2|==6,则b=-k2,所以y0=====2k2+b. 又因为弦AB的中点到准线的距离等于y0+=y0+1, 所以当y0最小时,弦AB的中点到准线的距离最短. 因为y0=k2+=(k2+1)+-1≥2-1=2,当且仅当(k2+1)=,即k=±时取等号,此时b=1, 所以直线AB的方程为y=x+1或y=-x+1. 例7　解:(1)设双曲线C的方程为-=1(a>0,b>0),由题意得可得 故双曲线C的方程为-=1. (2)证明:由(1)得A1(-2,0),A2(2,0).当直线MN的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-4,则易知M(-4,4),N(-4,-4),∴直线MA1的方程为y=-2(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2),由解得∴P(-1,-2).当直线MN的斜率存在时,设M(x1,y1),N(x2,y2),直线MN的方程为y=k(x+4),由题意知k≠0且k≠±2,直线MA1的方程为y=(x+2),直线NA2的方程为y=(x-2). 联立直线MA1与直线NA2的方程,消去y得(x+2)=(x-2),则(x+2)=(x-2), 即(x1+4)(x2-2)(x+2)=(x2+4)(x1+2)(x-2), 解得x=2·①. 由可得(4-k2)x2-8k2x-16k2-16=0, 则可得 代入①可得x=2·= -=-1,∴当直线MN的斜率存在时,点P在直线x=-1上.又点(-1,-2)在直线x=-1上,故点P在定直线x=-1上. 变式1　解:(1)当点M的坐标为时,设过点M的切线方程为y=kx-,代入x2=y,整理得x2-kx+=0(*),令Δ=k2-4×=0,解得k=±1,代入方程(*),得x=±,不妨设点B在第一象限,则B,A.因为AB的中点为N,且|NA|=|NB|=|NM|=,所以过M,A,B三点的圆的圆心为N,半径为,故其方程为x2+=.因为圆的圆心为N,半径为,所以圆与直线l:y=-相切. (2)证明:设M(x0,y0),A(x1,y1),B(x2,y2),易知直线MA,MB的斜率均存在,设直线MA的方程为y-y1=k(x-x1),即y=k(x-x1)+y1,代入x2=y,得x2-kx+kx1-y1=0,则Δ=k2-4(kx1-y1)=0,又=y1,所以k=2x1,则直线MA的方程为y=2x1x-y1,所以y0=2x1x0-y1.同理可得直线MB的方程为y=2x2x-y2,所以y0=2x2x0-y2.因为点A,B的坐标均满足y0=2xx0-y,所以直线AB的方程为y+y0=2x0x,又y0=-m,所以直线AB的方程为y-m=2x0x,即直线AB恒过定点(0,m). 变式2　解:(1)因为椭圆过点P,所以+=1, 又e2==,a2=b2+c2,所以可得c2=1,b2=3,a2=4, 所以椭圆C的方程为+=1. (2)设M(x1,y1),N(x2,y2),由得(4k2+3)x2+8kmx+4m2-12=0,Δ=(8km)2-4(4k2+3)(4m2-12)=48(4k2+3-m2)>0, 则所以kOM·kON=·=·== = ==-, 即2m2=4k2+3. 因为|MN|=·=·=·,原点O到直线MN的距离d=, 所以S△OMN=|MN|·d=··=,所以△OMN的面积为定值. 学科网（北京）股份有限公司 $