6.4.2 超几何分布(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

§4 二项分布与超几何分布 1 4.2 超几何分布 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 超几何分布的相关概念 探究点二 超几何分布的简单应用 探究点三 超几何分布的均值与方差 探究点四 二项分布与超几何分布的区别与联系 3 【学习目标】 通过具体实例,了解超几何分布及其均值,并能解决简单的实际问题. 4 知识点 超几何分布 1.概念 一般地,设有件产品,其中有件次品.从中任取件产品,用 表 示取出的___________次品的件数,则的分布列为_ _______, , , . 其中___,___,,,.若一个随机变量 的分布列由上式确定,则称随 机变量服从参数为，， 的超几何分布. 件产品中 课 前 预 习 5 2.服从超几何分布的随机变量的均值 设随机变量服从超几何分布,则可以解释为从包含件次品的 件产品中,不放 回地随机抽取件产品中次品的件数.令,则是件产品的次品率,而 是抽 取的件产品的次品率,则 ____. 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）超几何分布就是一种概率分布模型.( ) √ （2）超几何分布的总体可分为两类明确的对象.( ) √ （3）一个袋子里装有除颜色外完全相同的4个白球、5个黑球和6个黄球,从中任 取4个球,则取出的黑球个数 服从超几何分布.( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 超几何分布的相关概念 例1 下列问题中，哪些属于超几何分布问题？说明理由. （1）抛掷三枚均匀的骰子，所得向上的点数是6的骰子的枚数记为，求 的分 布列. （2）有一批种子的发芽率为 ，任取10颗种子做发芽试验，把试验中发芽的 种子的颗数记为，求 的分布列. 课 中 探 究 7 （3）盒子中有除颜色外完全相同的红色球3只、黄色球4只、蓝色球5只.从中任 取3只球，把不是红色球的只数记为，求 的分布列. （4）某班级有男生25人、女生20人.从中选派4名学生参加学校组织的活动，班 长（班长为男生）必须参加，记选出的女生人数为，求 的分布列. （5）现有100台音乐播放器未经检测，从中抽取10台送检，把检验结果为不合 格的音乐播放器的台数记为，求 的分布列. 课 中 探 究 8 解：（1）（2）中总体没有明确的分类，不是超几何分布问题，是独立重复试 验问题. （3）（4）符合超几何分布的特征，总体都可分为两类明确的对象，随机变量 可看作抽取到的 个个体中某类样本中的个体被抽到的个数，服从超几何分布. （5）中没有给出不合格的音乐播放器的台数，无法计算 的分布列，所以不属 于超几何分布问题. 课 中 探 究 9 变式 （多选题）下列随机变量中，服从超几何分布的有( ) ABD A.在10件产品中有3件次品，依次不放回地任意取出4件，记取到的次品件数为 随机变量 B.从3台甲型彩电和2台乙型彩电中任取2台，记随机变量 表示所取的2台彩电中 甲型彩电的台数 C.一名学生骑自行车上学，途中有8个装有红绿灯的路口，记此学生遇到红灯的 个数为随机变量 D.从10名男生、5名女生中选3人参加植树活动，记选出的男生人数为随机变量 课 中 探 究 10 ［素养小结］ 1.超几何分布与二项分布之间的辨析 两种分布的差别就在于“有放回”与“无放回”,只要将概率模型中的“无放回”改为 “有放回”,或将“有放回”改为“无放回”,就可以实现两种分布间的转化. 2.事实上,在足够多的产品中,任意抽取件（产品件数远远大于 ,无放回与有放 回几乎无区别,故可看作 重伯努利试验）,其中含有次品的件数服从二项分布. 课 中 探 究 11 探究点二 超几何分布的简单应用 例2 一个袋中装有5个形状大小完全相同的小球，其中红球有2个，白球有3个， 从中任意取出3个球. （1）求取出的3个球中恰有1个红球的概率； 解：设取出的3个球中恰有1个红球为事件 ， 则 . 课 中 探 究 12 （2）若随机变量表示取得红球的个数，求随机变量 的分布列. 解：随机变量 的可能取值为0,1,2, ，，, 故 的分布列为 0 1 2 课 中 探 究 13 变式 甲、乙两人参加一次英语口语考试，已知在备选的10道试题中，甲能答 对其中的6道试题，乙能答对其中的8道试题.规定每次考试都从备选试题中随机 抽出3道进行测试，对于每道题，答对得5分，答错或不答得0分.求： （1）甲答对试题个数 的分布列； 解：由题意，随机变量的可能取值为0，1，2，3， ， ，，， 随机变量 的分布列为 0 1 2 3 课 中 探 究 14 （2）乙所得分数 的分布列. 解：由题意，随机变量的可能取值为5，10，15， ， ，， 的分布列为 5 10 15 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）超几何分布是不放回抽样问题，各次抽取不独立.随机变量为抽到某类个 体的个数，超几何分布主要用于抽检产品、摸不同类别的小球等概率模型，其 实质是古典概型. （2）解超几何分布的简单应用问题的步骤：①判断随机变量是否服从超几何分 布；②根据已知条件写出超几何分布的概率公式得解. 课 中 探 究 16 探究点三 超几何分布的均值与方差 例3 某大学志愿者协会有10名同学，成员构成如下表，表中部分数据不清楚， 只知道从这10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学的概率为 . 专业 性别 中文 英语 数学 体育 男 1 1 女 1 1 1 1 现从这10名同学中随机选取3名同学参加社会公益活动（每名同学被选到的可能 性相同）. 课 中 探 究 17 （1）求， 的值； 解：设事件 表示“从10名同学中随机抽取1名同学，该名同学的专业为数学”. 由题意可知，10名同学中数学专业的同学共有名，则 ， 解得. 因为，所以 . （2）求选出的3名同学恰为专业互不相同的男生的概率； 解：设事件 表示“选出的3名同学恰为专业互不相同的男生”， 则 . 课 中 探 究 18 （3）设 为选出的3名同学中女生或专业为数学的人数，求随机变量 的分布 列、均值及方差. 解：由题意可知，这10名同学中女生或专业为数学的人数为7， 的可能取值为0，1，2，3，， ， ，， 所以 的分布列为 0 1 2 3 均值 ， 方差 . 课 中 探 究 19 变式 [2024·浙江湖州高二期末] 设袋子中装有除颜色外，其他完全相同的6 个红球和4个白球，现从袋中任意取出4个小球（每个球被取出的机会均等）. （1）求取出的4个小球中红球个数比白球个数多的概率； 解：取出的4个小球中红球个数比白球个数多包含“取出3个红球1个白球”和 “取出4个红球”这两个样本点， 则所求概率为 . 课 中 探 究 20 （2）若取出一个红球记2分，取出一个白球记1分，记 表示取出的4个球的总得 分，求随机变量 的数学期望和方差. 解：由题意知，的所有可能的取值为4,5,6,7,8，则 , ,, , ， 课 中 探 究 21 所以随机变量 的分布列为 4 5 6 7 8 则 ， . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 解决超几何分布问题的三个关键点： （1）超几何分布是概率分布的一种形式,一定要注意公式中字母的范围及其意 义,解决问题时可以直接利用公式求解,但不能机械地记忆. （2）超几何分布中,只要知道,,,就可以利用公式求出随机变量取不同 值 的概率,从而求出 的分布列. （3）求与超几何分布有关的均值问题时,可利用均值公式,也可直接利用 求解. 课 中 探 究 23 探究点四 二项分布与超几何分布的区别与联系 例4 袋中有除颜色外完全相同的8个白球、2个黑球,从中随机地连续抽取3次,每 次取1个球. （1）若每次抽取后都放回,设取到黑球的个数为,求 的分布列; 解：若每次抽取后都放回,则每次抽到黑球的概率均为 , 而3次取球可以看成3重伯努利试验,因此,, 所以 ,, ,. 因此 的分布列为 0 1 2 3 课 中 探 究 24 （2）若每次抽取后都不放回,设取到黑球的个数为,求 的分布列及数学期望. 解：若每次抽取后都不放回,则随机抽取3次，每次取1个球可看成随机抽取1次, 1次取3个球,因此服从超几何分布,且, ,1,2, 故,,， 因此 的分布列为 0 1 2 . 课 中 探 究 25 变式 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况,对该流水线上的产品 进行简单随机抽样,获得的数据如表: 包装质量（单位:克） 产品件数 3 4 7 5 1 已知包装质量在 内的产品为一等品,其余为二等品. （1）从该流水线上的产品中任取1件产品，估计该产品为一等品的概率; 解：样本中一共有 （件）产品, 包装质量在内的产品有 （件）, 所以从该流水线上的产品中任取1件产品，估计该产品为一等品的概率 . 课 中 探 究 26 （2）从上述抽取的样本产品中任取2件,设为其中一等品的产品件数,求 的分布列; 解：依题意,的可能取值为0,1,2,, , , 故 的分布列为 0 1 2 课 中 探 究 27 （3）从该流水线上的产品中任取2件产品,设为其中一等品的产品件数,求 的 分布列,试比较与 的大小. 解：由（2）可得 . 依题意得,,的可能取值为0,1,2, , ,, 故 的分布列为 0 1 2 所以,所以 . 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 超几何分布描述的是不放回抽样问题，二项分布描述的是放回抽样问题，求均 值时可以代入公式直接计算. 课 中 探 究 29 $