5.4.1 二项式定理的推导(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

4 二项式定理 1 4.1 二项式定理的推导 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 二项式定理 探究点二 二项式定理的逆用 探究点三 二项式通项 探究点四 两个二项式乘积、三项式的特定项 3 【学习目标】 1.能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理. 2.掌握二项式定理及其二项展开式的通项公式. 3.会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题. 4.通过学习,培养学生数学运算的核心素养. 4 知识点 二项式定理及相关概念 1.二项式定理： ，简写为 . 2.二项展开式:二项式定理等号右边的式子. 3.二项式系数：等号右边各项的系数__________________. 4.二项式通项： . 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）的展开式中共有 项.( ) × （2）二项式与的展开式的第 项一定相同.( ) × （3）是的展开式的第 项.( ) × （4）与的展开式的第 项的二项式系数相同.( ) √ 课 前 预 习 6 探究点一 二项式定理 例1 利用二项式定理展开下列各式： （1） ； 解： . （2） . 解：展开式的通项为， 其展开式为 . 课 中 探 究 7 变式 利用二项式定理展开 . 解： . 课 中 探 究 8 ［素养小结］ 利用二项式定理求展开式时，要注意以下几点： （1）项数不能少；（2）两项之间是加号；（3）展开后需化简. 课 中 探 究 9 探究点二 二项式定理的逆用 例2（1） 等于( ) C A.1 B. C. D. [解析] 原式 . 故选C. 课 中 探 究 10 （2）化简 ( ) B A. B. C. D. [解析] . 故选B. 课 中 探 究 11 变式 化简 的结果为( ) A A. B. C. D. [解析] 原式 ， 故选A. 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 二项式定理的逆用是将多项式合并成二项式 的形式,即二项式定理从右 到左使用.逆用该定理可解决一些化简、求和与证明问题.熟悉公式的特点——项 数、各项幂指数的规律以及各项系数的规律，是逆用该定理的关键. 课 中 探 究 13 拓展 已知，则 __. 6 [解析] ， 即，得 . 课 中 探 究 14 探究点三 二项式通项 例3 在 的展开式中，求： （1）第6项的二项式系数； 解：由二项式通项可得，第6项的二项式系数为 . （2）第3项的系数； 解：由题意可知， ，故第3项的系数为9. （3）常数项. 解：由题意可知，，令 ， 解得，所以,即常数项为 . 课 中 探 究 15 变式（1） 的展开式中常数项是____.（用数字作答） 15 [解析] 的展开式的通项为 ， 令，解得，所以常数项是 . （2）若为常数的展开式中的常数项为，则 ( ) B A. B.1 C. D.2 [解析] 的展开式的通项为， 令，解得 ， 的展开式中的常数项为 ， ， .故选B. 课 中 探 究 16 ［素养小结］ 求二项展开式中特定项（或系数）的关键是运用二项式通项，解题过程一般分 两步：第一步根据所给出的条件（特定项）和二项式通项，建立方程来确定指 数（求解时要注意二项式系数中和的隐含条件，即， 均为非负整数，且 ，另外需注意常数项的指数为零、有理项的指数为整数等）；第二步是根 据所求的指数，再代入通项中求对应的项. 课 中 探 究 17 拓展 已知 的展开式的二项式系数和为64，若 ，则 ( ) C A.20 B.30 C.60 D.80 [解析] 由的展开式的二项式系数和为64，可得，即 . 设，则 ， 则 ， 可得，则 .故选C. 课 中 探 究 18 探究点四 两个二项式乘积、三项式的特定项 例4（1） 的展开式中的常数项是( ) A A. B. C.220 D.252 [解析] ， 可得 的展开式的通项为， 令，解得 ，所以展开式中的常数项为 . 故选A. 课 中 探 究 19 （2）的展开式中 的系数为( ) C A.1 B. C.11 D.21 [解析] 由题可得的展开式中含的项为， 含 的项为，这两项分别与和1相乘， 得 的展开式中含的项为 ， 故所求系数为11，故选C. 课 中 探 究 20 变式（1） 若的展开式中的系数为160，则 ( ) C A.2 B.4 C. D. [解析] 二项式的展开式的通项为 ， 令，可得二项式的展开式中的系数为， 的展开式中的系数为， 可得，解得 ，故选C. 课 中 探 究 21 （2）的展开式中 的系数是_______. [解析] 的展开式的通项为 ， 令 ，得. 易知 的展开式的通项为， 令，得的展开式中含的项为 . 所以的展开式中，的系数是 . 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 三项式求特定项的常用方法： （1）因式分解法:通过因式分解将三项式变成两个二项式的乘积,然后用二项式 定理分别展开. （2）逐层展开法:将三项式分成两组,用二项式定理展开,再把其中含两项的一组展开. （3）利用组合知识:把三项式看成几个一次项的积,利用组合知识分析项的构成, 注意最后应把各个同类项合并. 课 中 探 究 23 $