04-§4 01-4.1 二项式定理的推导（PPT同步课件）-【学而思】2026-2027学年高二数学选择性必修第一册分层练习（北师大版）

该高中数学课件聚焦二项式定理，从计数原理引入，通过推导过程及基础题组搭建学习支架，帮助学生衔接前后知识，系统掌握定理内涵与应用方法。 其亮点在于题组分层设计，结合进制转换、向量范数等实际问题，运用数学思维中的推理与运算能力，通过通项法、方程思想等解析培养数学语言表达，助力学生提升解题能力，便于教师高效教学。

第五章 计数原理 第1讲　描述运动的基本概念 基础过关练 §4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　二项式定理的理解 1.[2025广东江门台山一中、开侨中学两校联考]已知(1+3x)n的展开式中共有9项,则n的值为( ) A.6　　    B.7　　    C.8　　    D.9     C     解析　由题意得n+1=9,所以n=8. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[教材习题改编]若(1+ )4=a+b (a,b为有理数),则a+b等于 ( ) A.33　　    B.29　　    C.23　　    D.19     B     解析    (1+ )4= ( )0+ ( )1+ ·( )2+ ( )3+ ( )4=1+4 +12+8 +4=17+12 =a+b , 则a=17,b=12,故a+b=17+12=29. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[2025湖北宜昌协作体联考]化简: (-2)+ ·(-2)2+…+ (-2)10= ( ) A.2　　    B.1　　    C.0　　    D.-2     C     解析　因为 (-2)0+ (-2)1+ (-2)2+…+ (-2)10=(1-2)10=(-1)10=1, (-2)0=1,所以 (-2)+ (-2)2+…+  (-2)10=1-1=0. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026安徽六校教育研究会素质测试]设x= -2,则x5+10x4+40x3+80x2+80x=_________.     3     解析　由二项式定理可得(x+2)5= x5+ ·x4·2+ ·x3·22+ ·x2·23+ ·x·24+ ·25=x5+10x4+40x3+80x2+80x+3 2,则x5+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)5-32,当x= -2时,x5+10x4+40x3+80x2+80x=(x+2)5-32=( -2+2)5-32=35- 32=3. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　求二项展开式中的特定项及项的系数 5.[2025广东部分学校联考] 的展开式中第5项的系数为 ( ) A.60　　    B.64　　    C.72　　    D.84     A     解析     的展开式中第5项为T4+1= (2x)2· =60x-2,故所求的系数为60. 易错提醒    (a+b)n的展开式中第(r+1)项为Tr+1= an-rbr,在本题中,第5项即r=4. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2026江西宜春十校协作体联考]在 的展开式中 的系数为 ( ) A.144　　    B.136　　    C.128　　    D.121     A     解析     的二项式通项为Tr+1= ·( )9-r =(-2)r  ,r=0,1,2,…,9,令 = ,得r=2,故 的 系数为(-2)2 =144. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2026广东深圳调研]一组数据按照从小到大的顺序排列为0,2,4,5,6,8,记这组数据的上四分位数为n, 则 展开式的有理项的项数为 ( ) A.3　　    B.4　　    C.5　　    D.6     B     解析　这组数据共6个数,6×75%=4.5, 所以上四分位数为6.  的二项式通项为Tr+1=  ·(-x)r= 26-r(-1)r ,r=0,1,2,3,4,5,6. 当r=0,2,4,6时, 是整数, 所以展开式的有理项共4项. 第1讲　描述运动的基本概念 8.[2026河北邯郸九校联考]若 的展开式中x10的系数比x2的系数小300,则实数a=( ) A.5　　    B.4　　    C.3　　    D.2     A     解析     的二项式通项为Tr+1= ·(2x3)6-r =(- )r·26-r· x18-4r, 令18-4r=10,得r=2,所以展开式中x10的系数为a·24· =240a, 令18-4r=2,得r=4,所以展开式中x2的系数为a2·22· =60a2, 由题意得60a2-240a=300,即a2-4a-5=0,解得a=5或a=-1,又a≥0,所以a=5. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2025黑龙江哈尔滨第三中学校期中]已知直线l:4x+ty-1=0,其中t为 的展开式中的常数项,则 点P(2,1)到直线l的距离为( ) A.1　　    B.2　　    C.5　　    D.10     B     解析     的二项式通项为Tr+1= x3-r = x3-3r(r=0,1,2,3), 令3-3r=0,得r=1,∴展开式中的常数项为 =3,∴t=3,∴直线l:4x+3y-1=0, 故点P(2,1)到直线l的距离为 =2. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026江西南昌开学考试]已知(2+x)6=a0+a1x+a2x2+…+a5x5+a6x6,则a5=__________.     12     解析    (2+x)6的二项式通项为Tk+1= 26-kxk,k=0,1,2,…,6,当k=5时,T6= 26-5x5=12x5,所以a5=12. 第1讲　描述运动的基本概念 11.[2026陕西西安新城模拟](2x-ay)6的展开式中x4y2的系数是240,则实数a的值为__________.     ±1     解析    (2x-ay)6的二项式通项为Tr+1= ·(2x)6-r·(-ay)r=(-a)r×26-r× x6-ryr,令6-r=4,得r=2, 所以展开式中x4y2的系数为(-a)2×24× =240,解得a=±1. 解题模板　求(a+b)n(n∈N+)的展开式中的特定项或特定项的系数的思路: 　　一是写通项,即利用二项式定理写出二项式通项Tk+1= an-kbk,把字母和系数分开. 　　二是列方程(组)或不等式(组),即根据题目中的相关条件(如求常数项时,字母的指数为零;求有理项 时,字母的指数为整数等)列出方程(组)或不等式(组),解出k. 　　三是回归,即把k代回通项中,求出Tk+1. 第1讲　描述运动的基本概念 12.[2025河南洛阳孟津第一高级中学期中]已知在 的展开式中,第9项为常数项,求: (1)n的值; (2)展开式中x5的系数; (3)含x的整数次幂的项的个数. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1) 的二项式通项为Tk+1=   =(-1)k·   ,k=0,1,…,n, 因为第9项为常数项,所以当k=8时,2n- k=0,即2n-20=0,解得n=10. (2) 的二项式通项为Tk+1=(-1)k·   ,k=0,1,…,10,令20- k=5,得k=6, 所以展开式中x5的系数为(-1)6·  = . (3)要使20- k为整数,只需k为偶数,又0≤k≤10,k∈N,所以k=0,2,4,6,8,10, 所以含x的整数次幂的项的个数为6. 第1讲　描述运动的基本概念 题组三　求(a+b)n(c+d)m与(a+b+c)n的展开式中的特定项及项的系数 13.[2026江西宜春丰城第九中学段考](x2-2) 的展开式中的常数项为_______.(用数字作答) 　-8     解析     的二项式通项为Tr+1= x4-r = x4-2r,r=0,1,2,3,4, 令4-2r=-2,得r=3,令4-2r=0,得r=2,故(x2-2) 的展开式中的常数项为 x-2·x2-2 x0=-8. 第1讲　描述运动的基本概念 14.[2025江西九师联盟模拟] 的展开式中x3y3的系数为___________. 　-1 680     解析    解法一: = 的二项式通项为 x9-k· ,k=0,1,…,9, 当k=6时, x3 =84x3· , 的二项式通项为 (y2)6-m =(-1)m y12-3m,m=0,1,…,6,令 12-3m=3,得m=3,(-1)3 y3=-20y3,则展开式中含x3y3的项为84x3·(-20y3)=-1 680x3y3,故x3y3的系数为-1 680. 解法二: 的展开式中含x3y3的项是9个多项式x+y2- 中取3个用x,3个用y2,3个用- 的积, 即 x3 (y2)3  =-1 680x3y3, 所以展开式中x3y3的系数为-1 680. 第1讲　描述运动的基本概念 能力提升练 §4　二项式定理 4.1　二项式定理的推导 第1讲　描述运动的基本概念 题组一　展开式中的特定项及项的系数 1.[2026重庆第一中学校月考] (x-2)4的展开式中x2的系数为( ) A.-8　　    B.24　　    C.-24　　    D.16     D     解析    (x-2)4的二项式通项为Tr+1= ·(-2)rx4-r,r=0,1,2,3,4, 令4-r=3,得r=1,令4-r=2,得r=2, 所以 (x-2)4的展开式中含x2的项为 ×(-2)x3× + ×(-2)2x2×1=16x2, 故 (x-2)4的展开式中x2的系数为16. 第1讲　描述运动的基本概念 2.[2025湖北华中师范大学第一附属中学调研]在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3项的系数是  ( ) A.74　　    B.121　　    C.-74　　    D.-121     D     解析　在(1-x)5+(1-x)6+(1-x)7+(1-x)8的展开式中,含x3的项为( + + + )·(-x)3, 所以含x3项的系数是-( + + + )=-(10+20+35+56)=-121. 第1讲　描述运动的基本概念 3.[多选题][2026四川内江第三中学月考] (a>0)的展开式中含x2的项的系数是60,则下列说法正 确的是( ) A.a=2 B.展开式中含x4的项的系数是-12 C.展开式中一定有含x-1的项 D.展开式中的常数项是-160     ABD     第1讲　描述运动的基本概念 解析     的二项式通项为Tr+1= x6-r = (-a)rx6-2r(r=0,1,…,6),令6-2r=2,解得r=2,所以含x2的项 的系数是 (-a)2=15a2=60,又a>0,所以a=2,故A正确; 由A得 的二项式通项为Tr+1= (-2)rx6-2r(r=0,1,…,6), 令6-2r=4,解得r=1,所以含x4的项的系数是 ×(-2)1=-12,故B正确; 令6-2r=-1,解得r=3.5,又r为整数, 故不存在含x-1的项,故C错误; 令6-2r=0,解得r=3,所以常数项为 ×(-2)3=-160,故D正确. 第1讲　描述运动的基本概念 4.[2026广东部分中学质量检测]在(x2-x-y)10的展开式中,x17y的系数为A,在(x2-x)9的展开式中,x17的系数为 B,则 = ( ) A.10　　    B.-10　　    C. 　　    D.-      B     第1讲　描述运动的基本概念 解析    解法一:(x2-x-y)10=[(x2-x)-y]10的二项式通项为 (x2-x)10-r·(-y)r,r=0,1,…,10,令r=1,得-10y(x2-x)9,(x2-x)9 的二项式通项为 (x2)9-k(-x)k=(-1)k x18-k,k=0,1,…,9,令18-k=17,得k=1, 故A=-10×- =90,B=-9, 所以 = =-10. 解法二:(x2-x-y)10的展开式表示10个(x2-x-y)的乘积,要得到含x17y的项,只需在这些式子中有8个选x2,1个选 -x,1个选-y,故x17y的系数为   (-1)2=90, 即A=90. (x2-x)9的展开式表示9个(x2-x)的乘积,要得到含x17的项,只需在这些式子中有8个选x2,1个选-x,故x17的系数 为  ·(-1)=-9,即B=-9,所以 = =-10. 第1讲　描述运动的基本概念 5.[2025山东济宁实验中学调研]已知(x+3)(x+2)8=a0+a1(x+1)+a2(x+1)2+…+a8(x+1)8+a9(x+1)9,则a8=( ) A.8　　    B.10　　    C.28　　    D.29     B 解析    (x+3)(x+2)8=[(x+1)+2][(x+1)+1]8, 其中[(x+1)+1]8的二项式通项为Tr+1= (x+1)8-r,r=0,1,2,…,8, 当r=0时,T1= (x+1)8=(x+1)8,此时只需乘第一个因式[(x+1)+2]中的2,可得2(x+1)8; 当r=1时,T2= (x+1)7=8(x+1)7, 所以(x+3)(x+2)8的展开式中含(x+1)8的项为2(x+1)8+8(x+1)7(x+1)=10(x+1)8,所以a8=10. 第1讲　描述运动的基本概念 6.[2025江西华东师大上饶实验中学月考]已知(1+2 024x)50+(2 024-x)50=a0+a1x+a2x2+…+a50x50,若ak<0,k∈ {0,1,2,…,50},则实数k的最大值为__________.     23     解析　因为(1+2 024x)50的展开式中xk的系数为 2 024k,(2 024-x)50的展开式中xk的系数为 2 02450-k(-1)k, 所以(1+2 024x)50+(2 024-x)50的展开式中xk的系数为 2 024k+ 2 02450-k(-1)k= 2 024k[1+2 02450-2k·(-1)k], 要使ak<0,需满足k为奇数,且2 02450-2k>1, 所以50-2k>0,解得k<25, 所以k的最大值为23. 第1讲　描述运动的基本概念 7.[2025河南郑州第一中学期中]已知 且n满足 -2 =3. (1)求n的值; (2)求展开式的中间一项; (3)设 =a0+a1 +a2 +…+an ,求a2+a3. 第1讲　描述运动的基本概念 解析    (1)因为 -2 =3, 所以 -2n=3,解得n=6或n=-1, 由组合数的性质得n≥2,则n=6. (2)由(1)可知 = ,其展开式共有13项,则二项式中间一项是第7项,  的二项式通项为Tk+1= ·  ,k=0,1,…,12, 当k=6时,T7=   =924. (3) =  第1讲　描述运动的基本概念 = = ,  =a0+a1 + +…+a6 ,  的二项式通项为Tr+1= (-2)6-r· ,r=0,1,…,6,则T3= (-2)6-2 =240× ,T4=  (-2)6-3 =-160 , 所以a2=240,a3=-160,故a2+a3=80. 第1讲　描述运动的基本概念 题组二　二项式定理的应用 8.[2025贵州贵阳第三实验中学月考]十进制计数法简单易懂,方便人们进行计算.当然也可以用其他进 制表示数,如十进制下,68÷7=9……5,9÷7=1……2,1÷7=0……1,将余数从下往上排列起来,68=1×72+2×71 +5,所以用七进制表示68这个数就是125,个位数为5,那么用七进制表示十进制的611,其个位数是( ) A.6　　    B.5　　    C.2　　    D.1     A     解析    611=(7-1)11= 711+ 710(-1)+…+ 72(-1)9+ ·71(-1)10+ (-1)11, 且 711+ 710(-1)+…+ 72(-1)9能被7整除,  71(-1)10+ (-1)11=77-1=76,76=1×72+3×71+6, 故76在七进制下是136,其个位数为6. 第1讲　描述运动的基本概念 9.[2026广东江门实验中学附属江门学校月考]设多项式f(x)有因式x,f(x)被x2-1除后的余式为3x+4,若f(x) 被x(x2-1)除后的余式为ax2+bx+c,则a2+b2+c2= ( ) A.1　　    B.13　　    C.16　　    D.25     D     第1讲　描述运动的基本概念 解析　∵f(x)有因式x,∴f(0)=0, ∵f(x)被x2-1除后的余式为3x+4, ∴当x2-1=0, 即x=1或x=-1时,f(x)=3x+4, ∴f(1)=3×1+4=7,f(-1)=3×(-1)+4=1, ∵f(x)被x(x2-1)除后的余式为ax2+bx+c, ∴当x(x2-1)=0,即x=0或x=1或x=-1时,f(x)=ax2+bx+c, ∴f(0)=a·02+b·0+c=c=0,f(1)=a·12+b·1+c=a+b+c=7,f(-1)=a·(-1)2+b·(-1)+c=a-b+c=1, ∴ 解得  ∴a2+b2+c2=42+32+02=16+9+0=25. 第1讲　描述运动的基本概念 10.[2026上海外国语大学附属浦东外国语学校期中]设m为正整数,a和b均为整数,若a和b被m除后余数 相同,则称a和b模m同余,记为a≡b(mod m).已知a=122 +123 +…+122 024 +122 025,a≡b(mod 17), 则正整数b的最小值是_________.     5     第1讲　描述运动的基本概念 解析　由于132 025=(1+12)2 025= +12 +122 +123 +…+122 024· +122 025, 所以a=122 +123 +…+122 024· +122 025=132 025- -12 , 又132 025=(17-4)2 025= 172 025-4 ·172 024+42 172 023-…+42 024 171-42 025 , 所以a= 172 025-4 172 024+42 172 023-…+42 024 171-42 025· - -12 . 又42 025=4×42 024=4×161 012=4×(17-1)1 012 =4( 171 012- 171 011+ 171 010-…- 17+ ), 所以a= 172 025-4 172 024+42 172 023-…+42 024 1714·( ·171 012- ·171 011+ 171 010-…- ·1 7+ )- -12 , 因为-4- -12 =-5-12×2 025=-1 430×17+5, 所以a被17除后的余数为5,所以正整数b的最小值为5. 第1讲　描述运动的基本概念 创新题型 创新点　向量计数原理与二项式定理的综合 11.[2025上海闵行中学月考]我们称n(n为正整数)元有序实数组(x1,x2,…,xn)为n维向量,|x1|+|x2|+…+|xn|为 该向量的范数.已知n维向量a=(x1,x2,…,xn),其中xi∈{-1,0,1}(i=1,2,…,n),记范数为奇数的a的个数为An,则 A9=_____________.     9 842     第1讲　描述运动的基本概念 解析　当n为奇数时,若范数为奇数,则xi=0的个数为偶数,即0的个数为0,2,4,…,n-1, 由分步乘法计数原理和分类加法计数原理可得An= ·2n+ ·2n-2+…+ ·2, 因为 ·2n+ ·2n-1+…+ ·2+ =(2+1)n=3n,①  ·2n- ·2n-1+…+ ·2- =(2-1)n=1,② ①+②得2( ·2n+ ·2n-2+…+ ·2)=3n+1, 故An= ,所以A9= =9 842. 第1讲　描述运动的基本概念 $