3.2.1&3.2.2 第1课时 空间向量的概念及运算(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 空间向量与向量运算 1 2.1 从平面向量到空间向量 2.2 空间向量的运算 第1课时 空间向量的概念及运算 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 空间向量的相关概念 探究点二 空间向量的加减法 探究点三 空间向量的数乘运算 3 【学习目标】 1.经历由平面向量推广到空间向量的过程,了解空间向量的概念. 2.经历由平面向量的运算及其法则推广到空间向量的过程. 3.掌握空间向量的线性运算. 4 知识点一 空间向量的相关概念 名称 定义 注意事项 空间 向量 在空间 中,具有 ______ 和 ______ 的量 ①几何表示法:空间向量用__________表示，以点 为起点，点 为终点的有向线段可以表示一个向量，记作向量 ; ②字母表示法:用字母,, ,…表示,书写用_________表示； ③图形表示法: __________________________________________________ 大小 方向 有向线段 课 前 预 习 5 名称 定义 注意事项 向量的模 （长度） 空间向量 的______,也就是表示 向量的有向线段 的______ 可表示成____或_____ 零向量 模为___的向量 记作___；零向量的起点与终点 重合，方向为__________ 单位向量 模为___的向量 相等向量 ______相同且模相等的向量叫作 相等向量 数学中所研究的向量，与向量的 起点无关，称之为__________ 大小 长度 0 任意方向 1 方向 自由向量 续表 课 前 预 习 6 名称 定义 注意事项 相反向量 与向量 方向______且模______ 的向量 向量 的相反向量是____ 共线 （平行） 向量 当表示向量的两条有向线段所在 的直线平行或______ 时,称这两 个向量互为共线向量（或平行向 量） ①相等向量和相反向量都是共线 向量的特殊情况； ②向量、向量、向量 互为共 线向量，记作 ,__________; ③零向量与任意向量______ 共面向量 能平移到同一平面内的三个向量 叫作__________ 空间中，任意两个向量总是共面 的 相反 相等 重合 , 平行 共面向量 续表 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）当有向线段的起点与终点重合时, .( ) √ （2）在空间中,单位向量唯一.( ) × （3）同平面向量一样,任意两个空间向量都不能比较大小.( ) √ （4）若向量与的模相等,则 .( ) × （5）在空间中,互为相反向量的两个向量必共线.( ) √ 课 前 预 习 8 知识点二 空间向量的线性运算 1.空间向量的自由性 空间中任意两个向量都是共面向量，所以空间中涉及两个向量的运算，都可以 由__________的运算推广而来，而涉及三个向量的运算时，则需要结合具体情 况进行分析. 平面向量 课 前 预 习 9 2.空间向量的线性运算 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 加法 求空间向量____的运 算 ______________________________________ ________法则 _______________________________________ ____________法则 （1）加法交换律: ______; （2）加法结合律: _________ ________ 和 三角形 平行四边形 课 前 预 习 10 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 减法 与平面向量类似，空 间向量， 的差也 可定义为_________ __________________________________ ________法则 _________ 三角形 续表 课 前 预 习 11 运算 定义 法则（或几何意义） 运算律 数乘 实数 与空间 向量 的乘积仍 然是一个 ______,这种运 算叫作空间向 量的 __________,记 作____ （1） ______. （2）当时, 与 的方向______;当 时,与 的方 向______;当 时, ___ （1）对数乘运算的结合律： _______； （2）对向量加法的分配律: ________; （3）对实数加法的分配律: ________. 其中， 向量 数乘运算 相同 相反 续表 课 前 预 习 12 3.对于任意一个非零向量，当时，表示与向量 同方向的______ _____. 单位向量 课 前 预 习 13 【诊断分析】 1.判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）向量的长度与向量 的长度相等.( ) √ （2）若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同.( ) √ （3）零向量没有方向.( ) × 2.对于三个不共面的向量,,,在空间中取任意一点,作, , ,以,,为过同一顶点的三条棱作平行六面体,则,,的和等于以 为起点的平行六面体的__________所表示的向量. 体对角线 课 前 预 习 14 3.空间向量的加、减法运算与平面向量的加、减法运算是否相同?平面向量加、 减法的运算律在空间向量中还适用吗? 解:因为任意两个空间向量都可以通过平移转化到同一个平面内,所以任意两个空 间向量的运算可以转化为平面向量的运算,由此可知,空间向量的加、减法运算与 平面向量的加、减法运算相同. 平面向量加、减法的运算律在空间向量中同样适用. 课 前 预 习 15 知识点三 空间向量共线与共面的充要条件 1.共线向量基本定理（也称“一维向量基本定理”） 空间两个向量,共线的充要条件是存在唯一的实数 ,使得________. 2.共面向量定理 如果两个向量,不共线,那么向量与向量, 共面的充要条件是存在唯一实数 , ,使得____________. 课 前 预 习 16 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若,则与, 共面.( ) √ （2）若与,共面,则 .( ) × （3）若,共线，则存在唯一实数 ,使得 .( ) × （4）若,则, 共线.( ) √ 课 前 预 习 17 探究点一 空间向量的相关概念 例1（1） （多选题）[2024·成都高二期中] 下列说法正确的是( ) BD A.零向量没有方向 B.空间向量不能比较大小，空间向量的模可以比较大小 C.如果两个向量不相等，那么它们的长度不相等 D.同向且等长的有向线段表示同一向量 （2）如图所示,在长方体 中, ,, ,以该长方体的八个顶点中的 两个点为起点和终点的向量中,单位向量共有___个,模 8 ，，，，，，， 为 的所有向量为____________________________________________. 课 中 探 究 18 变式 （多选题）如图所示，在长方体中， ， ， ,则在以八个顶点中的两个分别为起点和终点的向量中 ( ) ABC A.单位向量有8个 B.与 相等的向量有3个 C.向量的相反向量有4个 D.向量,, 共面 课 中 探 究 19 [解析] 对于A，在长方体中， ,单位向量的模为1， 则单位向量有,,,,,,, ,共8个，故A正确； 对于B，由图可知，与相等的向量有，， ,共3个，故B正确； 对于C，由图可知，向量的相反向量有,,, ，共4个,故C正确； 对于D，，向量,,有一个公共点， 点，， 都在平面内，点A在平面外， 向量,, 不共面，故D错误． 故选 ． 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 解答空间向量有关概念问题的关键点及注意点: （1）关键点:紧紧抓住向量的两个要素,即模和方向. （2）注意点:①零向量不是没有方向,它的方向是任意的.②单位向量方向虽然不 一定相同,但它们的长度都是1.③两个向量的模相等,不一定是相等向量;反之,若 两个向量相等,则它们不仅模相等,而且方向相同.若两个向量的模相等,方向相反, 则它们为相反向量. 课 中 探 究 21 探究点二 空间向量的加减法 例2（1） 在空间中，下列结论正确的是( ) B A. B. C. D. [解析] 根据空间向量的加、减法运算可得B正确. 课 中 探 究 22 （2）如图，在四面体中， ( ) C A. B. C. D. [解析] . 故选C. 课 中 探 究 23 变式 已知平行六面体 ，则下列式子中正确的是________. （填序号） ； ； ； . ①②③ [解析] ，①正确； ，②正确； ③显然正确； ，④错误. 故填①②③. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 空间向量线性运算的技巧: （1）向量加、减法的三角形法则是解决空间向量加、减法运算的关键,灵活应 用相反向量可使向量间首尾相接. （2）利用三角形法则和平行四边形法则进行向量的加法运算时,务必要注意和 向量的方向,必要时可对空间向量自由平移进而获得更准确的结果. 课 中 探 究 25 探究点三 空间向量的数乘运算 例3 ( ) B A. B. C. D. [解析] 原式 . 故选B. 课 中 探 究 26 例4 如图，在四面体中，，，，点在棱 上， 且，为的中点，试用向量，，表示 . 解： . 课 中 探 究 27 变式 如图，在四面体中，,分别为, 的中 点，为的重心，则 ( ) B A. B. C. D. [解析] 因为,分别为, 的中点， 所以. 因为为的重心，所以 ， 所以 .故选B. 课 中 探 究 28 ［素养小结］ （1）判断向量共线的方法:利用已知条件找到实数 ,使 成立,或运 用空间向量的运算法则,结合空间图形,化简得出,从而得出与 共线. （2）证明空间三点共线的思路:对于空间三点,, ,可通过证明下列结论来证明 ,, 三点共线. ①存在实数 ,使 成立. ②对空间任一点,有 . ③对空间任一点,有 . 课 中 探 究 29 $