2.2.2 第1课时 双曲线的简单几何性质(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

2 双曲线 1 2.2 双曲线的简单几何性质 第1课时 双曲线的简单几何性质 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 双曲线的简单几何性质 探究点二 双曲线的简单几何性质的应用 探究点三 双曲线和椭圆的关系问题 3 【学习目标】 1.了解双曲线的简单几何性质. 2.了解双曲线标准方程中,, 的几何意义. 4 知识点一 双曲线的几何性质 标准方程 图象 _______________________________________________________ _______________________________________________________ 课 前 预 习 5 标准方程 性质 焦点 ________________ ________________ 焦距 ____ ____ 范围 ________________________ ________________________ 对称性 关于________________对称 顶点 _________________ _________________ ,, 的关系 _____________ 实轴 两个顶点间的线段 叫作双曲线的实轴,它的长度等于 ,其中 叫作双曲线的实半轴长 虚轴 线段叫作双曲线的虚轴,它的长度等于,其中 叫作双 曲线的虚半轴长 , , 或，且 或，且 轴、轴和原点 , , 续表 课 前 预 习 6 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）双曲线的焦点在 轴上.( ) × （2）双曲线与双曲线 的形状 相同.( ) √ （3）双曲线有四个顶点，分别是双曲线与实轴及虚轴的交点.( ) × 课 前 预 习 7 知识点二 共焦点的双曲线系问题 1.与双曲线共焦点的双曲线系方程 （1）与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为 ； （2）与双曲线 有公共焦点的双曲线系方程为 . 课 前 预 习 8 2.与椭圆共焦点的双曲线系方程 （1）与椭圆 共焦点的双曲线系方程为 ； （2）与椭圆 共焦点的双曲线系方程为 . 课 前 预 习 9 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）双曲线与双曲线 有相同的焦点.( ) × （2）双曲线与椭圆 有相同的焦点.( ) × （3）双曲线与双曲线 有公共渐近线.( ) √ （4）已知双曲线与双曲线 ，则两双曲线的 焦距相等.( ) √ 课 前 预 习 10 探究点一 双曲线的简单几何性质 例1（1） 求双曲线 的顶点坐标、焦点坐标、实轴长、虚轴长. 解：双曲线的标准方程是，， ， ，，. 又双曲线的焦点在轴上， 其顶点坐标为 ,焦点坐标为, ,实轴长为6,虚轴长为4. 课 中 探 究 11 （2）求适合下列条件的双曲线的标准方程. ①双曲线焦距为8，顶点坐标为， ； 解： 因为双曲线的顶点坐标为,,所以 ,且双曲线的焦点在轴上. 因为双曲线的焦距为8，所以，则. 可得 ，所以双曲线的标准方程为 . ②双曲线顶点坐标为, ,虚轴长为2； 解： 因为双曲线的顶点坐标为,,所以 ,且双曲线的焦点在轴上， 因为双曲线的虚轴长为2，所以，则 . 所以双曲线的标准方程为 . 课 中 探 究 12 ③双曲线实轴长和虚轴长相等，且经过点 . 解： 因为双曲线的实轴长和虚轴长相等， 所以可设双曲线的方程为. 因为双曲线经过点，所以，即 ， 所以双曲线的方程为，标准方程为 . 课 中 探 究 13 变式 已知双曲线 ，求该双曲线的实半轴长、 虚半轴长、焦点坐标、顶点坐标. 解：双曲线 的标准方程为， 由此可知，其焦点在轴上，实半轴长为 ，虚半轴长为，， 焦点坐标为， ，顶点坐标为， . 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 由双曲线的方程研究其几何性质的解题步骤： （1）把双曲线方程化为标准形式，这是解题的关键； （2）由标准方程确定焦点的位置，确定， 的值； （3）由求出 的值，从而写出双曲线的几何性质. 提醒：在求双曲线的几何性质时一定要注意焦点的位置. 课 中 探 究 15 探究点二 双曲线的简单几何性质的应用 例2（1） 已知双曲线的虚轴长是实轴长的3倍，则实数 的 值为( ) A A. B. C. D. [解析] 由题意得，解得 ．故选A. 课 中 探 究 16 （2）在平面直角坐标系中，已知双曲线两顶点间的距离是6，其焦点在坐标 轴上，两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分，则它的标准方程是 _______________________. 或 [解析] 由双曲线两顶点间的距离是6得，即 . 由两焦点的连线被两顶点和坐标原点四等分可得，即 ， 所以 . 因为该双曲线的焦点所在的坐标轴不确定， 所以所求双曲线的标准方程为或 . 课 中 探 究 17 变式（1） 已知,是双曲线 的两个焦点，若双曲线的左、 右顶点和坐标原点把线段 四等分，则该双曲线的焦距为( ) D A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为,是双曲线 的两个焦点， 且双曲线的左、右顶点和坐标原点把线段四等分， 所以，即，即 ， 又因为，所以所以， 所以该双曲线的焦距为 .故选D. 课 中 探 究 18 （2）黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分 与较大部分的比值，其比值为，把 称为黄金分割数.已知双曲线 的实轴长与焦距的比值恰好是黄金分割数，则 的值为 ( ) A A. B. C.2 D. [解析] 由题意得，， ， 双曲线的实轴长与焦距的比值为黄金分割数，， ，则 ，解得 .故选A. 课 中 探 究 19 ［素养小结］ 运用双曲线的某些几何性质求参数的值，关键是设出双曲线方程的标准形式,再 根据已知条件,列出关于参数,,的方程并求出,, 的值. 课 中 探 究 20 拓展 如图，从某个角度观察篮球，可以得到一个对称的平面图形，将篮球的 外轮廓记为圆 ，将篮球表面的黏合线视为坐标轴和双曲线，若坐标轴和双曲线 与圆的交点将圆的周长八等分， ，则该双曲线的焦 距为( ) C A. B. C. D. 课 中 探 究 21 [解析] 如图，以为原点， 所在直线为 轴建立平面直角坐标系， 设双曲线的方程为 ， 则该双曲线过点，且，所以， 解得 ，所以，得 ， 所以该双曲线的焦距为 ，故选C. 课 中 探 究 22 探究点三 双曲线和椭圆的关系问题 例3 与椭圆 有相同焦点的曲线的方程可以是( ) D A. B. C. D. [解析] 易知椭圆的焦点为.对于A，椭圆的焦点坐标为 ， A不符合题意； 对于B，椭圆的焦点坐标为 ，B不符合题意； 对于C，双曲线的焦点坐标为 ，C不符合题意； 对于D，双曲线方程可化为，则其焦点坐标为 ，D符合题意. 故选D. 课 中 探 究 23 变式（1） 双曲线与椭圆的焦点相同，则 等于( ) A A.1 B. C.1或 D.2 [解析] 依题意，双曲线的焦点在轴上，，即 ， 又 双曲线与椭圆的焦点相同， ， 且， .故选A. 课 中 探 究 24 （2）若曲线的焦距为4，则实数 的值是________. 5或 [解析] 由题意得.当曲线为椭圆时，因为，所以，则 ， 所以，则； 当曲线为双曲线时，，则 . 综上实数的值为5或 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 在求双曲线与椭圆的关系问题时，常常有两种思路： 1.由双曲线的几何性质来进行判断求解； 2.由双曲线系方程来判断求解. 课 中 探 究 26 拓展 （多选题）已知椭圆 与双曲线 ，则下列关于两曲线的说法错误的是( ) AB A.的长轴长与的实轴长相等 B.的短轴长与 的虚轴长相等 C.两曲线的焦距相等 D.两曲线的焦点坐标一样 [解析] 由题意可知，椭圆的长轴长为8，短轴长为6，焦距为 . 当时，，，则双曲线的焦点在 轴上， 其实轴长为，虚轴长为，焦距为， 故 的长轴长与的实轴长不相等，的短轴长与的虚轴长不相等， 与 的焦距相等，焦点坐标一样.故A，B中说法错误；C，D中说法正确. 故选 . 课 中 探 究 27 $