1.1.3 第1课时 直线方程的点斜式(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册配套课件（北师大版）

1 直线与直线的方程 1 1.3 直线的方程 第1课时 直线方程的点斜式 2 ◆ 课前预习 ◆ 课中探究 探究点一 直线方程的点斜式 探究点二 直线方程的斜截式 探究点三 点斜式、斜截式的应用 3 【学习目标】 1.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的点斜式. 2.根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的斜截式. 4 知识点一 直线方程的点斜式 直线经过点，且斜率为，设是直线上不同于点 的任意一点， 因为点，都在直线上，所以可以用，两点的坐标表示直线 的斜率： ，即__________________.① （1）方程①就是经过点且斜率为的直线 的方程.方程①称为直线方程 的点斜式. （2）方程①适用的条件：直线的斜率存在. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线恒过定点 .( ) √ （2）经过点 的所有直线都能用直线方程的点斜式来表示.( ) × （3）方程与 表示的意义相同.( ) × 课 前 预 习 6 知识点二 直线方程的斜截式 1.若直线与轴的交点为，则称_________为直线在 轴上的截距. 纵坐标 2.直线方程的斜截式：若直线经过点且斜率为 ，则该直线方程的点斜式 为，即___________，该方程中的为直线的斜率， 为 直线在轴上的截距.称 为直线方程的斜截式. 若直线经过点，且与轴垂直，则直线的斜率 不存在，此时它的特点 是：直线上任意一点的横坐标都是,所以直线的方程为 . 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）直线在轴上的截距是直线与 轴的交点到原点的距离.( ) × （2）直线与轴交点的横坐标为，在 轴上的截距为0.( ) × （3）所有的直线都能用直线方程的斜截式来表示.( ) × 课 前 预 习 8 探究点一 直线方程的点斜式 例1（1） 已知直线的倾斜角是 ，且过点，则下列四个点中在直线 上的是( ) B A. B. C. D. [解析] 因为直线的倾斜角是 ，所以直线 的斜率， 所以由点斜式得直线 的方程为，即. 当时， ，故A，C不满足题意； 当时，，故点在直线 上，B满足题意； 当时, ，故D不满足题意. 故选B. 课 中 探 究 9 （2）求经过点 ，且满足下列条件的直线的方程，并画出直线. ①倾斜角 ； 解：由题可知，直线经过点，且斜率， 所以直线 的方程的点斜式为 ， 化简得（如图中直线 所示）. ②与 轴垂直； 解：因为直线经过点且与轴垂直， 所以该直线的方程为 （如图中直线 所示）. 课 中 探 究 10 ③与 轴平行. 解: 因为直线过点且与轴平行，即斜率 ， 所以该直线的方程为（如图中直线 所示）. 课 中 探 究 11 变式 已知直线过点，且直线的倾斜角是直线 的倾斜角的2 倍，则直线 的方程是______________. [解析] 直线的斜率为， 直线的倾斜角为 ， 直线的倾斜角是直线的倾斜角的2倍， 直线的倾斜角为 ，即直线 的斜率为. 直线过点, 直线 的方程为,即 . 课 中 探 究 12 ［素养小结］ 1.求直线方程的点斜式的步骤：定点 定斜率（存在） 写出方程 . 2.方程可表示过点的所有直线，但直线 除外. 课 中 探 究 13 拓展 直线 必过定点______. [解析] 直线方程可变形为 ， 由直线方程的点斜式可知，直线过定点 . 课 中 探 究 14 探究点二 直线方程的斜截式 例2 求满足下列条件的直线的方程． （1）倾斜角为 ，且在 轴上的截距为2； 解：因为直线的倾斜角为 ，所以直线的斜率为， 因为直线在 轴上的截距为2，所以直线的方程为 . 课 中 探 究 15 （2）倾斜角是直线的倾斜角的2倍,与 轴的交点到坐标原点的距离为3. 解：因为直线的倾斜角为 ,所以所求直线的倾斜角为 ， 所以其斜率 . 因为直线与 轴的交点到坐标原点的距离为3, 所以直线在轴上的截距为3或 ,所以由直线方程的斜截式可得, 所求直线方程为或 . 课 中 探 究 16 例3 已知直线的斜率是，写出在轴上的截距分别为 ，0，2的直线的方 程，并在同一平面直角坐标系中画出这些直线.通过观察，指出方程 所表示的直线具有的与 取值无关的特征. 解：斜率为，且在轴上的截距为 ，0，2的直线的方程 分别为，， , 在同一平面直角坐标系中画出直线，直线 ， 直线 ，如图所示，这些直线互相平行. 由图可知，方程所表示的直线具有的与 取值无关的特征为直线的斜率 （或倾斜角），该方程表示的所有直线的斜率（或倾斜角）都相等. 课 中 探 究 17 变式 已知直线的斜率为，且和两坐标轴围成面积为3的三角形，求直线 的 方程. 解：设直线的方程为，则当时，，当时， . 由已知可得 ， 即，得 . 故所求直线方程为或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 对直线方程的斜截式的透析 （1）斜截式是点斜式的一个特例，只要点斜式中的点在 轴上，就可以直接用 斜截式表示. （2）直线方程的斜截式与一次函数的关系：当 时，直线方程的斜截式 是一次函数的形式；而在一次函数中， 是直线的斜率， 常数是直线在 轴上的截距. 课 中 探 究 19 拓展 [2024·南京高二期中] 已知将直线 向左平移3个单位长度，再向下平移2 个单位长度后，所得直线与原直线重合，则直线 的斜率为( ) B A. B. C. D. [解析] 设直线的方程为 ， 则平移后直线的方程为，即 ， 因为平移后的直线与原直线重合，所以，解得， 即直线的斜率为 .故选B. 课 中 探 究 20 探究点三 点斜式、斜截式的应用 例4 在平面直角坐标系中，，，若直线 与线段 有公共点，求实数 的取值范围. 解：由得， 故直线 过定点. 画出图形，如图所示， 若直线 过点,则，解得； 若直线 过点,则，解得 . 又直线与线段有公共点，或 ， 即实数的取值范围是 . 课 中 探 究 21 变式 已知直线过点，且直线在轴上的截距和直线与 轴交点的横坐 标相等，则直线 的方程为( ) C A. B. C.或 D.以上均不正确 [解析] 依题意设的方程为. 令，得 ；令，得. 由，解得或， 故直线 的方程为或 .故选C. 课 中 探 究 22 ［素养小结］ 当给出了直线方程的点斜式或斜截式时，可以先由直线的方程准确地找出直线 的斜率与截距，再结合图形来解决问题. 课 中 探 究 23 拓展 直线和与 轴围成的三角形是等腰三角形，则 满足条件的 的取值集合为_ ___________________. [解析] 令直线，的倾斜角分别为 ， ，则， . 由题可知，直线过定点，当围成的等腰三角形的底边在轴上时， ，则； 当围成的等腰三角形的底边在直线 上时， 或， ， 整理得，得； 当围成的等腰三角形的底边在直线 上时， ， 则.所以 的取值集合为 . 课 中 探 究 24 $