04 单元素养测评卷（四）(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

单元素养测评卷(四)  第4章 (时间:120分钟　分值:150分) 一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的. 1.的运算结果是 (　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 A.3 B.-3 C.±3 D.以上都不对 2.对任意的正实数a及m,n∈Q,下列运算正确的是 (　　) A.(am)n=am+n B.(am)n= C.(am)n=am-n D.(am)n=amn 3.已知2loga(M-2N)=logaM+logaN,则的值为 (　　) A. B.4 C.1 D.4或1 4.已知3a=2,9b=36,则a-b= (　　) A. B.- C.1 D.-1 5.我们可以把(1+1%)365看作每天的“进步”率都是1%,一年后是1.01365,而把(1-1%)365看作每天的“落后”率都是1%,一年后是0.99365.若大约经过m天后“进步”的是“落后”的100倍,则m=(参考数据:lg 0.99≈-0.004,lg 1.01≈0.004) (　　) A.231 B.243 C.250 D.266 6.[2026·江苏扬州高一期末] 若x>0,y>0,则下列式子一定正确的是 (　　) A.= B.=x-y C.lg(x+y)=lg x+lg y D.lg(2x)=2lg x 7.若a=log36,6b=18,则ab-log32= (　 ) A.1 B.-1 C.2 D.-2 8.[2026·江苏泰州高一期末] 把物体放在空气中冷却,如果物体的初始温度为T0(单位:℃),环境温度为C(单位:℃),那么t分钟后物体的温度T(单位:℃)满足=e-kt,其中e=2.718 28…是一个无理数,k是一个与物体特性和环境介质相关的常数.现有15.75 ℃的物体,放在9 ℃的空气中,t1分钟后物体的温度为12 ℃,又经过t2分钟后,物体的温度为11 ℃,则t2= (　　) A. B. C. D.2t1 二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错的得0分. 9.下列等式错误的是 (　　) A.= B.a3+a4=a7 C.=-(x≠0) D.= 10.已知a>0,且a≠1,则下列运算正确的是 (　　) A.a1=a B.a-0.5= C.elg a=a D.loga2= 11.已知2m=3n=6,则下列结论正确的是 (　　) A.m+n=mn B.m2+n2=8 C.m+n>4 D.(m-1)2+(n-1)2>2 三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分. 12.[2026·江苏东台高一期中] 已知2m=3,n=log25,则22m+n=　　　　.(用数字作答)  13.[2026·江苏南京高一调研] 若log26×log625×log5x=2,则x=　　　　.  14.[2026·江苏苏州高一质检] 已知实数x,y满足ex+1+x=,y2+ln y=,则=　　　　.  四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)求下列各式的值: (1)+(2e+π)0++|1-e|; (2)2lg 2×(1+lg 5)+2×(lg 5)2++log37×log73. 16.(15分)若a-a-1=1,求下列各式的值: (1)a2+a-2;(2)a3-a-3;(3)a+a-1;(4)a-3. 17.(15分)(1)若2a=3b=m,+=2,求m的值; (2)已知9b=8c=6,求+的值. 18.(17分)(1)已知log(x-2)(x2-7x+13)=0,求x的值; (2)已知实数a,b满足lg 2=a,3b=10,用a,b表示log1245. 19.(17分)漫漫暑期,某制冷杯成了畅销商品.该制冷杯遵循牛顿冷却定律,即如果某液体的初始温度为T0(单位:℃),则经过t分钟后,温度T满足T-Ta=(T0-Ta),其中Ta为室温,h为参数.为观察制冷杯的降温效果,小侯把一杯75 ℃的茶水放在25 ℃的房间,10分钟后茶水降温至50 ℃. (1)若欲将这杯茶水继续降温至40 ℃,大约还需要多少分钟?(精确到个位,参考数据:lg 2≈0.30,lg 3≈0.48) (2)某企业生产制冷杯,每月的成本s(单位:万元)由两部分构成:①固定成本(与生产制冷杯的数量无关)20万元;②材料成本万元,其中x为每月生产制冷杯的产量(单位:万套).则当每月产量为多少时,平均每万套的成本最低?最低为多少? 学科网（北京）股份有限公司 $ 单元素养测评卷(四) 1.A　[解析] =(34=3,故选A. 2.D　[解析] 根据指数的运算性质得(am)n=amn,故选D. 3.B　[解析] 因为2loga(M-2N)=logaM+logaN,所以loga(M-2N)2=loga(MN),所以(M-2N)2=MN(M>2N>0),等号两侧同时除以N2,并整理可得-+4=0,解得=1(舍去)或=4,故选B. 4.D　[解析] 方法一:由9b=36,得3b=6,而3a=2,所以3a-b====3-1,所以a-b=-1.故选D. 方法二:由9b=36,得3b=6,则b=log36.由3a=2,得a=log32.所以a-b=log32-log36=log3=-1.故选D. 5.C　[解析] 依题意可得=100,等号两边取常用对数得m(lg 1.01-lg 0.99)=2,所以m=≈=250.故选C. 6.A　[解析] 对于A,===,则A正确;对于B,=|x-y=|x-y|,则B错误;对于C,D,由对数的运算性质有lg(xy)=lg x+lg y,lg(2x)=lg 2+lg x,则C,D错误.故选A. 7.C　[解析] 由题可得b=log618=,因为a=log36=,所以ab-log32=·-log32=-log32=-log32=2+log32-log32=2.故选C. 8.C　[解析] 由题意可得,T0-C=15.75-9=6.75,则==,==,设r=e-k,由题意可得,=,=,所以=,故==,所以t2=t1.故选C. 9.ABC　[解析] 对于A,当y<0时,==-,故A中等式错误;对于B,a=1时显然等式不成立,故B中等式错误;对于C,==(x≠0),故C中等式错误;对于D,===(==,故D中等式正确.故选ABC. 10.BD　[解析] 对于选项A,a1==,故A错误;对于选项B,====a-0.5,故B正确;对于选项C,elg a=≠a,故C错误;对于选项D,loga2==,故D正确.故选BD. 11.ACD　[解析] 因为2m=3n=6,所以m=log26>0,n=log36>0,所以+=log62+log63=1,故m+n=mn(m≠n),故A正确;因为m>0,n>0,m+n=mn<,所以m+n>4,故C正确;16<(m+n)2=m2+n2+2mn<m2+n2+2·=2(m2+n2),故m2+n2>8,故B错误;(m-1)2+(n-1)2=m2+1-2m+n2+1-2n=m2+n2-2(m+n)+2=m2+n2-2mn+2=(m-n)2+2>2,故D正确.故选ACD. 12.45　[解析] 由n=log25,可得2n=5,又2m=3,所以22m+n=(2m)2·2n=32×5=45. 13.2　[解析] 因为log26×log625×log5x=××=××==2,所以lg x=lg 2,解得x=2. 14.　[解析] 因为ex+1+x=,所以ex+1+x+1=,因为y2+ln y=,所以y2+2ln y=,即y2+ln y2=,即有ex+1+x+1=y2+ln y2 =+ln y2 ,所以y2=ex+1,所以==. 15.解:(1)原式=+1++e-1=+e+4=+e. (2)因为lg 2+lg 5=lg(2×5)=lg 10=1,log37×log73=×=1, 所以原式=2lg 2+2lg 2×lg 5+2×(lg 5)2+5+1=2lg 2+2lg 5(lg 2+lg 5)+6=2lg 2+2lg 5+6=2(lg 2+lg 5)+6=8. 16.解:(1)∵a-a-1=1,∴(a-a-1)2=a2+a-2-2=1,∴a2+a-2=3. (2)a3-a-3=(a-a-1)(a2+a-2+1)=1×(3+1)=4. (3)∵(a+a-1)2=a2+a-2+2=3+2=5,∴a+a-1=±. (4)a3+a-3=(a+a-1)(a2+a-2-1)=±×(3-1)=±2, 由(2)得a3-a-3=4,∴a-3==±-2. 17.解:(1)由题知m>0,a=log2m,b=log3m,所以+=+=2, 所以logm2+logm3=logm6=2,所以m2=6,又m>0,所以m=. (2)因为9b=8c=6,所以b=log96=lo6=log36,c=log86=lo6=log26, 所以==log63,==log62,则+=log63+log62=log66=1. 18.解:(1)因为log(x-2)(x2-7x+13)=0,所以x2-7x+13=1,解得x=4或x=3, 又因为x-2>0且x-2≠1,所以x>2且x≠3,综上所述,x=4. (2)由题意得log310=b,即lg 3=, 则log1245=====. 19.解:(1)由题意可得50-25=×(75-25),解得h=10, 设再经过t分钟,这杯茶水由50 ℃降温至40 ℃,则40-25=×(50-25), 解得t=10(log25-log23)=10×=10×≈7.333, 故欲将这杯茶水继续降温至40 ℃,大约还需要8分钟. (2)设该企业生产制冷杯每万套所需的平均成本为y万元, 则有y===10++≥10+2=12,当且仅当=,即x=20时取等号,所以该企业每月生产制冷杯的产量20万套时,每万套的成本最低,每万套的最低成本为12万元. 学科网（北京）股份有限公司 $