滚动习题（四）范围4.1～4.2(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

(时间:45分钟　分值:100分) 一、单项选择题(本大题共7小题,每小题5分,共35分) 1.若x=log32,则3x的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B.4 C.8 D.9 2.[2026·江苏南通高一调研] ×= (　 ) A.4 B.8 C. D. 3.若log(x+1)(x+1)=1,则x的取值范围是 (　 ) A.(-1,+∞) B.(-1,0)∪(0,+∞) C.(-∞,-1)∪(-1,+∞) D.(-∞,0)∪(0,+∞) 4.若100a=5,10b=2,则2a+b等于 (　 ) A.0 B.1 C.2 D.3 5.若log8a+log4b2=5,log8b+log4a2=7,则log2(ab)的值为 (　 ) A.9 B.5 C.3 D.1 6.[2026·江苏常州一中高一调研] 中国的5G技术领先世界,5G技术的数学原理之一便是著名的香农公式:C=Wlog2.它表示在受噪音干扰的信道中,最大信息传递速度C取决于信道带宽W,信道内信号的平均功率S,信道内部的高斯噪声功率N的大小,其中叫作信噪比.当信噪比比较大时,公式中真数里面的1可以忽略不计.按照香农公式,若信道带宽W不变,信噪比从1000提升到12 000,则C比原来大约增加了(附:lg 2≈0.301 0,lg 3≈0.477 1) (　 ) A.32% B.43% C.36% D.68% 7.[2026·江苏南通高一期末] 已知正数a,b满足ln(4a+b)=ln a+ln b,则a+b的最小值为(注:若logab=logac(a>0且a≠1,b>0,c>0),则b=c) (　 ) A.1 B.5 C.7 D.9 二、多项选择题(本大题共2小题,每小题6分,共12分) 8.下列化简结果正确的是 (　 ) A.=n7(n>0,m>0) B.-=- C.= D.[(a-3)2(b-2)3=a-2b-2(a>0,b>0) 9.已知a=lg 2,b=lg 3,则 (　 ) A.102a+b=7 B.=log1810 C.log5412= D.log365= 三、填空题(本大题共2小题,每小题5分,共10分) 10.已知x+x-1=4,则x-x-1=　　　　.  11.若5a=2b=1且abc≠0,则+=　　　　.  四、解答题(本大题共3小题,共43分) 12.(13分)化简与计算下列各式: (1)(a>0,b>0); (2). 13.(15分)(1)[2026·西安建筑科技大学附中高一月考] 18世纪,瑞士数学家欧拉发现指数与对数的联系,他指出“对数源于指数”.为了计算对数的方便,常运用换底公式将代数式中不同底的对数化为同底的对数. ①请写出对数的换底公式; ②请依据对数的换底公式证明lobn=logab(a,b>0,a≠1,m≠0). (2)请分别计算下列两小问中x,y的值: ①log25×log57×log716=x; ②实数a,b满足3a=4b=12,+=y. 14.(15分)已知正实数a,b,c,k满足2a=3b=6c=k. (1)①试用以k为底的一个对数的表示; ②若+=,求实数m的值. (2)若不等式4a+b≥tc恒成立,求实数t的最大值. 学科网（北京）股份有限公司 $ 滚动习题(四) 1.A　[解析] ∵x=log32,∴3x=2.故选A. 2.B　[解析] 原式=2×==23=8,故选B. 3.B　[解析] ∵log(x+1)(x+1)=1,∴∴x>-1且x≠0,故选B. 4.B　[解析] ∵100a=102a=5,∴2a=lg 5.∵10b=2,∴b=lg 2.则2a+b=lg 5+lg 2=lg 10=1,故选B. 5.A　[解析] 由题意得log2a+log2b=5,log2b+log2a=7,两式相加得(log2a+log2b)=12,则log2(ab)=9. 6.C　[解析] 当=1000时,最大信息传递速度为C1=Wlog2(1+1000)≈Wlog21000,当=12 000时,最大信息传递速度为C2=Wlog2(1+12 000)≈Wlog212 000,∴C比原来增加了==-1=-1=-1=-1=≈36%.故选C. 7.D　[解析] 因为ln(4a+b)=ln a+ln b=ln(ab),所以4a+b=ab,即+=1,a>0,b>0,则a+b=(a+b)=5++≥5+2=9,当且仅当b=2a,即a=3,b=6时等号成立.故选D. 8.BCD　[解析] 对于A,==n7m-7(n>0,m>0),故A错误;对于B,-=-=-=-,故B正确;对于C,===(==,故C正确;对于D,[(a-3)2(b-2)3=(a-6b-6=a-2b-2(a>0,b>0),故D正确.故选BCD. 9.BCD　[解析] 对于A,因为a=lg 2,b=lg 3,所以根据对数与指数的关系,可得10a=2,10b=3,则102a+b=102a×10b=(10a)2×10b=22×3=12≠7,所以A错误.对于B,a+2b=lg 2+2lg 3=lg 2+lg 32=lg 2+lg 9=lg(2×9)=lg 18,则==log1810,所以B正确.对于C,log5412====,所以C正确.对于D,log365====,所以D正确.故选BCD. 10.±2　[解析] 因为(x-x-1)2=(x+x-1)2-4=42-4=12,所以x-x-1=±2. 11.2　[解析] 设5a=2b=1=t,则a=log5t,b=log2t,=lg t,因为abc≠0,所以t>0,t≠1,所以+=+=2lg t×(logt5+logt2)=2lg t×logt10=2. 12.解:(1)===. (2)===1. 13.解:(1)①对数的换底公式:logab=(a,b,c>0,a,c≠1). ②证明:lobn===logab(a,b>0,a≠1,m≠0). (2)①x=log25×log57×log716=××==4. ②因为3a=4b=12,所以a=log312,b=log412,所以y=+=+=log123+log124=log1212=1. 14.解:(1)①因为2a=k,所以a=log2k=,所以=logk2. ②因为3b=6c=k,所以b=log3k,c=log6k, 则=logk3,=logk6, 所以+=logk2+logk3=logk6, 又+=,所以logk6=mlogk6,解得m=1. (2)由不等式4a+b≥tc,c>0,得t≤+=+=+=4log26+log36=4(1+log23)+(1+log32)=5+4log23+log32, 所以t的最大值为5+4log23+log32. 学科网（北京）股份有限公司 $