4.2.2 第2课时 换底公式与对数的应用(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

第2课时　换底公式与对数的应用 【学习目标】 　　1.能够根据对数的定义,推导出换底公式. 　　2.会利用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数. ◆ 知识点　对数换底公式 1.对数的换底公式:logaN=,其中a>0,a≠1,N>0,c>0,c≠1. 2.对数换底公式的重要推论: (1)logaN=(N>0,N≠1,a>0,a≠1); (2)lobm=logab(a>0,a≠1,b>0); (3)logab·logbc·logcd=logad(a>0,b>0,c>0,d>0,a≠1,b≠1,c≠1). 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若loga2=m,则log4a=. (　 ) (2)若lg 6=a,lg 8=b,则log68=. (　 ) (3)log35·log59=3. (　 ) ◆ 探究点一　利用换底公式化简求值 例1 (1)的值为 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.2 B. C.1 D. (2)化简下列各式: ①log225×log34×log59=　　　　;  ②(log43+log83)(log32+log92)-lo=　　　.  变式 计算下列各式的值: (1)lg 20+log10025; (2)(log2125+log425+log85)×(log1258+log254+log52). [素养小结] 在解题方向尚不明确的情况下,一般先统一将对数换成常用对数(当然也可以换成自然对数或其他有助于解题的正数为底的对数),然后再化简计算. ◆ 探究点二　有附加条件的求值、证明问题 例2 (1)[2026·江苏徐州高一期中] 若5a=2b=,则+的值为　　　　　.  (2)已知log189=a,18b=5,求证:log3645=. 变式 (1)[2026·江苏高邮高一期中] 已知10a=2,lg 3=b,则log320=　　　　(用a,b表示).  (2)设a=lg 6,b=lg 20,则log23=　　　　.  [素养小结] 解决含有附加条件的代数式求值问题,需要把已知条件和所求式进行化简转化,原则上化为同底的对数,以便利用对数的运算性质求解. 拓展 已知x,y,z∈(0,+∞),且3x=4y=6z=k(k>1),证明:+=. ◆ 探究点三　对数的实际应用 例3 [2026·江苏宿迁高一质量监测] 一般地,海平面上的大气压强是760 mmHg,高空中因空气稀薄,大气压强就小于760 mmHg,高度越高,大气压强就越低,大气压强p(单位: mmHg)和高度h(单位:m)之间的关系为p=760e-hk,其中e是自然对数的底数,k是常数.根据实验,已知500 m高空处的大气压强是700 mmHg.如果高空中某处的大气压强是380 mmHg,那么该处的高度约是 (　 ) A.4200 m B.4213 m C.4313 m D.4300 m 变式 [2026·江苏丹阳高一期中] 声强是表示声波强度的物理量,由于声强变化范围非常大,数量级相差很多,因此一般通过声强级L来表示声强强度的大小,规定声强级L=10lg(单位:分贝),其中I0为标准声强.若声强I1是声强I2的200倍,则声强I1的声强级与声强I2的声强级的差为(结果保留整数,本题参考数据:lg 5≈0.7) (　 ) A.28分贝 B.27分贝 C.23分贝 D.14分贝 [素养小结] 解对数应用题的步骤:(1)审题,理解题意,弄清关键词及字母的含义;(2)建模,恰当地设未知数,建立数学模型,即已知ax=N(a,N为常数,a>0且a≠1,N>0),求x;(3)解模,在ax=N两边同时取以a为底的对数得x=logaN,利用对数有关知识求解;(4)还原,还原为实际问题,得出实际问题的结论. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　换底公式与对数的应用 【课前预习】 诊断分析 (1)√　(2)√　(3)×　[解析] (1)log4a===. (2)log68==. (3)log35·log59=log332=2. 【课中探究】 探究点一 例1　(1)D　(2)①8　②　[解析] (1)===.故选D. (2)①原式=××=××=8. ②原式=+log232=log23×log32+=+=. 变式　解:(1)lg 20+log10025=1+lg 2+=1+lg 2+lg 5=2. (2)(log2125+log425+log85)×(log1258+log254+log52)=(log253+lo52+lo5)×(lo23+lo22+log52)=×log25×(1+1+1)×log52=×3=13. 探究点二 例2　(1)2　[解析] 由5a=2b=,可得a=log5,b=log2,所以=lo5,=lo2,所以+=lo5+lo2=lo10=2. (2)证明:方法一:∵18b=5,∴log185=b,∴log3645=====. 方法二:∵18b=5,∴log185=b, ∴log3645===. 方法三:∵log189=a,18b=5,∴lg 9=alg 18,lg 5=blg 18, ∴log3645====. 变式　(1)　(2)　[解析] (1)由10a=2可得a=lg 2,所以log320=log3(2×10)=log32+log310=+=. (2)∵∴则log23==. 拓展　证明:∵3x=4y=6z=k(k>1),x,y,z∈(0,+∞), ∴x=log3k=,y=log4k=,z=log6k=,∴+=+====. 探究点三 例3　C　[解析] 由500 m高空处的大气压强是700 mmHg,可得700=760e-500k.由高空中某处的大气压强是380 mmHg,可得380=760e-hk,则380=760e-hk=760(e-500k=760,可得=,两边取自然对数得ln=ln,所以h=500×≈500×=4312.5≈4313,故该处的高度约是4313 m.故选C. 变式　C　[解析] 设声强I1的声强级为L1,声强I2的声强级为L2,则L1-L2=10lg-10lg=10lg,由题知=200,所以L1-L2=10lg 200=10lg(2×102)=10(lg 2+lg 102)=10(2+lg)=10(2+1-lg 5)≈23(分贝).故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $