4.2.2 第1课时 对数的运算性质(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

4.2.2　对数的运算性质 第1课时　对数的运算性质 【课前预习】 知识点 (1)logaM+logaN　(2)logaM-logaN　(3)nlogaM 诊断分析 解:(1)不一定成立.例如对于(-2)×(-3)>0,loga[(-2)×(-3)]≠loga(-2)+loga(-3),这是因为loga(-2)和loga(-3)没有意义. (2)对数的运算性质只要各字母满足条件即可逆用. 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)lg 8+lg 125=lg(8×125)=lg 1000=3. (2)2log36-log34=log336-log34=log3=log39=2. (3)log3(9×27)=log3(32×33)=log335=5. 变式　解:(1)log32+log3 =log3=log31=0. (2)lg-lg 25=lg =lg =lg 10-2=-2. (3)log2(47×25)=log2214+log225=14+5=19. 探究点二 例2　解:(1)原式=log333+lg(25×4)+2+2=×3+2+2+2=. (2)原式=lg-lg 4+lg 7=lg=. 变式　解:(1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20=lg 102+(lg 2)2+lg 5·(lg 2+1)=2+(lg 2)2+lg 5·lg 2+lg 5=2+lg 2(lg 2+lg 5)+lg 5=2+lg 2·lg 10+lg 5=2+lg 2+lg 5=2+1=3. (2)2log32+log3-log36-ln=log3-ln e=log3-=log33-2-=-2-=-. 拓展　解:因为10x=lg(10m)+lg =lg=lg 10=1,所以x=0. 探究点三 例3　(1)C　　[解析] 因为2log2(3m)+log2n=log2(9m2)+log2n=log2(9m2n),2log2(2m2+n)=log2(2m2+n)2,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),所以9m2n=(2m2+n)2,化简得4m4-5m2n+n2=0,即(4m2-n)(m2-n)=0,解得4m2=n或m2=n.又log2m-log2n=log2m-log2=log2,所以当4m2=n时,log2m-log2n=log2=-1;当m2=n时,log2m-log2n=log21=0.故选C. (2)解:①loga(xy2)=logax+logay2=logax+2logay. ②loga(x)=logax+loga=logax+logay. ③loga=loga=[logax-loga(yz2)]=(logax-logay-2logaz)=logax-logay-logaz. 变式　(1)5　[解析] 因为2a=48,2b=,所以a=log248,b=log2,所以a+b=log248+log2=log2=log232=log225=5. (2)解:ln=ln(x2)-ln=ln x2+ln-ln=2ln x+ln y-ln z. 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.2.2　对数的运算性质 第1课时　对数的运算性质 【学习目标】 　　1.能够利用指数式与对数式的关系证明对数的运算性质. 　　2.能够利用对数的运算性质进行对数运算. ◆ 知识点　对数的运算性质 (1)loga(M·N)=　　　　　　　;  (2)loga=　　　　　　　;   (3)logaMn=　　　　　　.  其中a>0,且a≠1,M>0,N>0,n∈R. 【诊断分析】 (1)若MN>0,运算法则loga(M·N)=logaM+logaN还成立吗? (2)对数的运算性质是否可以逆用? ◆ 探究点一　对数的运算性质 例1 求下列各式的值: (1)lg 8+lg 125; (2)2log36-log34; (3)log3(9×27). 变式 求下列各式的值: ①log32+log3;②lg-lg 25;③log2(47×25). ◆ 探究点二　利用对数的运算性质化简求值 例2 计算下列各式: (1)log3+lg 25+lg 4++ln e2; (2)lg-lg+lg. 变式 计算下列各式: (1)lg 100+(lg 2)2+lg 5·lg 20; (2)2log32+log3-log36-ln. [素养小结] 利用对数的运算性质化简、求值的常见策略 (1)“收”:将同底的两个对数的和(差)合并为积(商)的对数,即公式的逆用. (2)“拆”:将积(商)的对数拆成同底的两个对数的和(差),即公式的正用. (3)“凑”:将同底数的对数凑成特殊值,如利用lg 2+lg 5=1进行计算或化简. 拓展 已知m>0,且10x=lg(10m)+lg ,求实数x的值. ◆ 探究点三　对数运算性质的综合运用 例3 (1)[2026·江苏泰州高一期中] 已知m>0,n>0,2log2(3m)+log2n=2log2(2m2+n),则log2m-log2n的值为 (　 ) (附:若logaM=logaN(其中a>0且a≠1,M>0,N>0),则M=N)　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-1 B.1 C.-1或0 D.1或0 (2)用logax,logay,logaz(a>0且a≠1,x>0,y>0,z>0)表示下列各式. ①loga(xy2);②loga(x);③loga. 变式 (1)[2026·福建厦门滨湖中学高一期末] 已知2a=48,2b=,则a+b=　　　　.  (2)已知x,y,z∈(0,+∞),用ln x,ln y,ln z表示ln. [素养小结] 当对数问题用对数自身的知识难以解决时,通常将对数化为指数来解决;反之亦然.通过对数式与指数式的互化,能转化问题,进而解决问题. 学科网（北京）股份有限公司 $