4.1.2 指数幂的拓展(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

4.1.2　指数幂的拓展 【学习目标】 　　1.能够在具体的数学情境中,了解有理数指数幂(a>0,且a≠1;m,n为整数,且n>0)和实数指数幂ax(a>0,且a≠1;x∈R)的含义. 　　2.对给出的具体数学问题,能够运用指数运算的性质进行指数运算. ◆ 知识点一　有理数指数幂 1.正数的正分数指数幂的意义 一般地,我们规定=　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1).  2.正数的负分数指数幂和0的分数指数幂 (1)=　　　　(a>0,m,n∈N*,n>1);   (2)0的正分数指数幂为　　　　;   (3)0的负分数指数幂　　　　(0的0次幂无意义).   3.asat=　　　　,(as)t=　　　　,(ab)t=　　　　,其中s,t∈Q,a>0,b>0.  【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=. (　 ) (2)=(a>0). (　 ) (3)用分数指数幂表示 (a>b)为(a-b. (　 ) (4)(-a4b2)·(-ab2)3=a7b8. (　 ) (5)(-a2b3)3÷(-ab2)3=a3b3. (　 ) 2.(1)我们知道32×33=32+3,那么×=成立吗? (2)任何有意义的根式都能化为分数指数幂的形式吗? ◆ 知识点二　无理数指数幂 1.无理数指数幂:ax(a>0且x是一个无理数)是一个确定的实数. 2.有理数指数幂和无理数指数幂统称为实数指数幂,其运算性质与整数指数幂的运算性质完全一致,即asat=as+t,(as)t=as t,(ab)t=atbt,其中s,t∈R,a>0,b>0. ◆ 探究点一　根式与分数指数幂互化 例1 (1)(多选题)下列根式与分数指数幂的互化中,正确的是 (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.-=-(x>0) B.=-(x>0) C.=(xy>0) D.= (2)已知a>0,将化为有理数指数幂ak的形式,则k=　　　　.  变式 (1)[2026·江苏常州高一期中] 设a>0,则的分数指数幂形式为 (　 ) A. B. C. D. (2)(多选题)下列根式与分数指数幂的互化中正确的有 (　 ) A.=-(x>0) B.=(a>0) C.=(x>0,y>0) D.[=-(x>0) [素养小结] 解决根式与分数指数幂互化问题的关键是熟记根式与分数指数幂的关系式=和==,其中a>0,m,n∈N*且n>1. ◆ 探究点二　实数指数幂的运算 例2 (1)已知a>0,化简:. (2)化简与计算下列各式(式中字母都为正数): ①+-(+; ②(-2)·(-)6÷(-2)2; ③(+×(-. 变式 化简与求值. (1)(3-π)0++(0.008×; (2)(0.125+(×)6+(-1)0+[(-2)2; (3)÷÷(a>0); (4)(a>0,b>0). [素养小结] 指数幂运算的基本原则与常用方法 (1)基本原则:式子中既有分数指数幂又有根式时,一般把根式统一化为分数指数幂的形式,再利用指数幂的运算性质化简. (2)常用方法:①有括号先算括号内的,无括号先做指数运算;②化负指数幂为正指数幂;③化根式为分数指数幂;④化小数为分数;⑤底数是带分数,先要化成假分数. ◆ 探究点三　整体代换法求值 例3 (1)已知+=4,则①a+a-1=　　　;②a2+a-2=　　　　;③=　　　　.   (2)若x2-3x+1=0,则=　　　　.  (3)已知x+y=12,xy=9,且x<y,求的值. 变式 (1)[2026·天津河西区高一期中] 已知2a=5,8b=3,则4a-3b= (　 ) A.25 B.5 C. D. (2)(多选题)已知a+=4,则-的值可能为 (　 ) A.2 B. C.- D.-2 (3)已知-=1,计算=　　　　.  [素养小结] 利用整体代换法求分数指数幂的关键点 (1)整体代换法是数学变形与计算中常用的技巧,观察分析条件与结论的结构特点,灵活运用恒等式是关键之一. (2)利用整体代换法解决分数指数幂计算问题的另一个关键是掌握好完全平方公式及其变形公式:x2+x-2=(x±x-1)2∓2,x+x-1=(±)2∓2,+=(±)2∓2,+=(+)(a-+b),-=(-)(a++b). 拓展 设+=3(a>0),则= (　 ) A.7 B. C.5 D.45 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.1.2　指数幂的拓展 【课前预习】 知识点一 1.　2.(1)　(2)0　(3)没有意义 3.as+t　ast　atbt 诊断分析 1.(1)√　(2)×　(3)×　(4)√　(5)√ 2.解:(1)成立.×=×=×=8×4=32, ====25=32,所以6×6=6成立. (2)能.引入分数指数幂后,任何有意义的根式都能够化为分数指数幂的形式,即=(a>0,m,n∈N*,且n>1). 【课中探究】 探究点一 例1　(1)AC　(2)　[解析] (1)对于A,-=-,所以A正确;对于B,=,所以B错误;对于C,=(xy>0),所以C正确;对于D,=,所以D错误.故选AC. (2)===,故k=. 变式　(1)D　(2)BC　[解析] (1)原式==(=.故选D. (2)对于选项A,=(x>0),故A错误;对于选项B,=(=(a>0),故B正确;对于选项C,==(x>0,y>0),故C正确;对于选项D,[=(=(x>0),故D错误.故选BC. 探究点二 例2　解:(1)因为a>0,所以===a. (2)①原式=+-(+1=+-2+1=. ②原式=(-2)·(a3b-2)÷(4)=-=-. ③(+×(-=[(+)×(-)=(3-2=1. 变式　解:(1)原式=1-+×=-+25×=12. (2)原式=+(×)6+(-1)0+(22=+()6×()6+1+23=2+23×32+1+8=2+72+9=83. (3)原式=÷÷=÷÷=÷(÷(a-2=÷÷=÷===. (4)原式==·=ab-1=. 探究点三 例3　(1)①14　②194　③15　(2)　[解析] (1)①由+=4两边平方,得a+a-1+2=16,所以a+a-1=14.②由a+a-1=14两边平方,得a2+a-2+2=196,所以a2+a-2=194.③因为-=()3-()3,所以==a+a-1+1=14+1=15. (2)因为x2-3x+1=0,所以x≠0,x+=3,即x+x-1=3,两边平方整理得x2+=7,即x2+x-2=7.因为(+)2=x+x-1+2=3+2=5,所以+=,则==. (3)解:==. 因为x+y=12,xy=9,所以(x-y)2=(x+y)2-4xy=122-4×9=108,又x<y,所以x-y=-6,所以==-. 变式　(1)C　(2)BC　(3)　[解析] (1)由8b=3可得23b=3,所以4a-3b===,故选C. (2)因为a+=a+a-1=(-)2+2=4,所以(-)2=2,所以-=或-=-.故选BC. (3)将-=1两边平方得a+a-1-2=1,则a+a-1=3,所以===. 拓展　B　[解析] 由+=3,得=()2+()-2=+===. 学科网（北京）股份有限公司 $