4.1.2 指数幂的拓展-【学霸笔记·同步精讲】2026-2027学年高中数学必修第一册教师用书word（苏教版）

本讲义聚焦指数幂的拓展核心知识点，系统梳理从整数指数幂到分数指数幂（含正、负、0的指数幂）再到无理数指数幂的拓展脉络，构建实数指数幂体系并整合运算性质，通过牛顿历史背景引入、问题驱动及“想一想”环节搭建学习支架。 该资料特色在于融入历史情境培养数学抽象（如牛顿信件呈现指数符号演变），设计问题链发展数学思维（从根式与分数指数幂互化到条件求值的整体代换），分层题型与通性通法总结提升数学运算能力。课中辅助教师系统授课，课后通过基础题与拓展题帮助学生查漏补缺，巩固知识。

4.1.2　指数幂的拓展 课标 要求 通过对有理数指数幂（a＞0，且a≠1；m，n∈Z，且n≠0）、实数指数幂ax（a＞0，且a≠1；x∈R）含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质（数学抽象、数学运算）. 　　 牛顿（Newton 1643—1727）是英国物理学家、数学家，经典物理学理论体系的建立者.他在1676年6月13日写给莱布尼茨的信里说：“因为数学家将aa，aaa，aaaa，…写成a2，a3，a4，…，所以可将，，，…写成，，，…，将，，，…写成a－1，a－2，a－3，…”. 【问题】　，（a＞0，m，n∈N*，且n＞1）写成根式的形式是怎样的？ 　 知识点　指数幂及其运算性质 1.分数指数幂的意义 分数指数幂 正分数指数幂 规定：＝　　（a＞0，m，n∈N*，n＞1） 负分数指数幂 规定：＝　　＝（a＞0，m，n∈N*，n＞1） 0的分数指数幂 0的正分数指数幂为　0　，0的负分数指数幂　没有意义　 2.有理数指数幂的运算性质 （1）asat＝　as＋t　（a＞0，s，t∈Q）； （2）（as）t＝　ast　（a＞0，s，t∈Q）； （3）（ab）t＝　atbt　（a＞0，b＞0，t∈Q）. 3.无理数指数幂 一般地，当a＞0且x是一个无理数时，ax也是一个确定的实数.有理数指数幂的运算性质对无理数指数幂同样适用. 提醒：实数指数幂中底数的取值范围 幂指数 定义 底数的取值范围 整数指数 正整数指数 an＝（n∈N*） a∈R 零指数 a0＝1 a≠0且a∈R 负整数指数 a－n＝（n∈N*） a≠0且a∈R 有理数指数 正分数指数 ＝（m，n∈N*，且m，n互质） n为奇数 a∈R n为偶数 a≥0 负分数指数 ＝（m，n∈N*，且m，n互质） n为奇数 a≠0且a∈R n为偶数 a＞0 无理数指数 当a＞0且x是无理数时，ax也是一个确定的实数 一般规定a＞0 【想一想】 1.为什么分数指数幂的底数规定a＞0？ 提示：①当a＜0时，若n为偶数，m为奇数，则，无意义；②当a＝0时，a0无意义. 2.同底数幂相除as÷at，同次的指数相除分别等于什么？ 提示：①as÷at＝as－t；②＝（）t. 1.下列运算中计算结果正确的是（　　） A.a4a3＝a12 B.a6÷a3＝a2 C.（a3）2＝a5 D.a3b3＝（ab）3 解析：D　A中，a4a3＝a7≠a12，故A错误；B中，a6÷a3＝a6－3＝a3≠a2，故B错误；C中，（a3）2＝a6≠a5，故C错误；D中，a3b3＝（ab）3，故D正确.故选D. 2.〔多选〕下列结论中正确的有（　　） A.（－2＝（－2 B.[（－2）×（－3）＝（－2×（－3 C.当a＞0时，（ar）s＝（as）r D.＝（ 解析：CD　对于A选项，（－2＞0，而（－2无意义，错误；对于B选项，左侧＝，右侧无意义，错误.C、D均正确.故选C、D. 3.将·化成分数指数幂的形式是（　　） A. B. C. D. 解析：D　·＝·＝＝.故选D. 4.已知am＝4，an＝3，则＝　　. 解析：由题意am－2n＝＝，所以＝＝. 　 题型一　根式与分数指数幂的互化 （1）（链接教科书第85页练习1题）用根式的形式表示下列各式（a＞0）： ①；②；③；④. （2）（链接教科书第84页例3）用分数指数幂的形式表示下列各式（a＞0）： ①a2·；②；③；④. 解：（1）①＝. ②＝. ③＝. ④＝. （2）①a2·＝a2·＝＝. ②＝＝. ③＝（a＝（a＝（＝. ④＝＝＝a3. 通性通法 根式与分数指数幂互化的规律 （1）根指数分数指数的分母，被开方数（式）的指数分数指数的分子； （2）在具体计算时，通常会把根式转化成分数指数幂的形式，然后利用有理数指数幂的运算性质解题. 用根式或分数指数幂表示下列各式（a＞0）： （1）；（2）；（3）；（4）. 解：（1）＝. （2）＝. （3）＝. （4）＝＝. 题型二　指数幂的化简与求值 化简与求值： （1）2－（2＋－π0； （2）×12； （3）（a＞0，b＞0）. 解：（1）原式＝（33－＋（3－2－1＝3－＋33－1＝3－2＋27－1＝27. （2）×12＝×＝＝52＝25. （3）原式＝ ＝＝＝ ＝a－1＝. 通性通法 指数幂化简与求值的常用技巧 （1）有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算； （2）先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数； （3）底数是负数，先确定符号，底数是小数，先化成分数，底数是带分数，先化成假分数； （4）若是根式，应化为分数指数幂，并尽可能用幂的形式表示； （5）无理数指数幂的运算性质与有理数指数幂的运算性质相同； （6）运算结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数幂，形式力求统一. 　化简与求值： （1）（2）0＋2－2×（2－（0.01）0.5； （2）（； （3）（a－2b－3）×（－4a－1b）÷（12a－4b－2c）（a＞0，b＞0，c≠0）. 解：（1）原式＝1＋×－＝. （2）原式＝（·＝26·m3＝64m3. （3）原式＝－4a－2－1b－3＋1÷（12a－4b－2c）＝－a－3－（－4）b－2－（－2）c－1＝－ac－1＝－. 题型三　条件求值问题 （链接教科书第86页习题8题）已知＋＝3，求下列各式的值： （1）a＋a－1；（2）a2＋a－2. 解：（1）因为＋＝3，所以（＋）2＝32＝9， 则a＋a－1＋2＝9， 即a＋a－1＝7. （2）将a＋＝7两边平方，得a2＋＋2＝49，即a2＋＝47. 【母题探究】 　（变设问）在本例条件下，试求a2－a－2的值. 解：令y＝a2－a－2，两边平方得，y2＝a4＋a－4－2＝（a2＋a－2）2－4＝472－4＝2 205， ∴y＝±21， 即a2－a－2＝±21. 通性通法 利用整体代换法求分数指数幂 （1）整体代换法是数学变形与计算常用的技巧方法，分析观察条件与结论的结构特点，灵活运用恒等式是关键； （2）利用整体代换法解决分数指数幂的计算问题，常运用完全平方公式及其变形公式. 常见的变形公式：x2＋x－2＝（x±x－1）2∓2，x＋x－1＝（±）2∓2，＋＝（±）2∓2. （2026·金坛期中）已知x＋x－1＝5，求的值. 解：由x＋x－1＝5，则＝x2＋x－2＋2＝25，即x2＋x－2＝23， ＝x＋x－1＋2＝7，又x＋x－1＝5，则x＞0，故＋＝， 故＝. 1.（2026·扬州月考）用分数指数幂可表示为（　　） A. B. C. D. 解析：B　＝＝＝＝.故选B. 2.〔多选〕下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是（　　） A.－＝－（x＞0） B.＝ C.＝（x＞0，y＞0） D.＝－（x＞0） 解析：AC　对于A，－＝－（x＞0），故A正确；对于B，＝｜y，故B错误；对于C，＝（x＞0，y＞0），故C正确；对于D，＝（x＞0），故D错误. 3.化简与求值： （1）－＋0.2； （2）4÷（a，b＞0）； （3）〔一题多解〕已知a2x＝3，求的值. 解：（1）－＋0.2 ＝－4－1＋＝－. （2）4÷ ＝－6＝－6ab. （3）法一　因为a2x＝3，所以ax＝. 所以＝ ＝ ＝＝＝. 法二　因为a2x＝3， 所以＝ ＝a2x＋a－2x－1＝3＋－1＝. 　　 1.下列各式计算正确的是（　　） A.（－1）0＝1 B.·a2＝a C.＝8 D.a6－a2＝a4 解析：A　A中，（－1）0＝1，A正确；B中，·a2＝≠a，B错误；C中，＝≠8，C错误；D中，a6÷a2＝a4，D错误.故选A. 2.（2026·南通期中）设a＞0，则的分数指数幂形式为（　　） A. B. C. D. 解析：B　当a＞0时，＝＝＝.故选B. 3.－（1－0.5－2）÷＝（　　） A.－ B. C. D. 解析：D　原式＝1－（1－22）÷＝1－（－3）×＝.故选D. 4.一张报纸，其厚度为0.1毫米，现将报纸对折（即沿对边中点连线折叠）10次，这时，报纸的厚度为（　　） A.2.56厘米 B.5.12厘米 C.10.24厘米 D.20.48厘米 解析：C　0.01×210＝10.24（厘米）.故选C. 5.〔多选〕（2026·南京九中月考）下列等式中正确的是（　　） A.－＝ B.＝x C.＝（x＞0） D.＝（x＞0） 解析：ACD　对于A，－＝－＝，故A正确；对于B，当x＝－1时，＝1≠－1，故B错误；对于C，当x＞0时，＝＝，故C正确；对于D，当x＞0时，＝＝，故D正确.故选A、C、D. 6.〔多选〕下列各式运算正确的是（　　） A.（－a2b）2·（－ab2）3＝－a7b8 B.（－a2b3）3÷（－ab2）3＝a3b3 C.（－a3）2·（－b2）3＝a6b6 D.[－（a3）2·（－b2）3]3＝a18b18 解析：ABD　对于A，（－a2b）2·（－ab2）3＝a4b2·（－a3b6）＝－a7b8，故A正确；对于B，（－a2b3）3÷（－ab2）3＝－a6b9÷（－a3b6）＝a6－3b9－6＝a3b3，故B正确；对于C，（－a3）2·（－b2）3＝a6·（－b6）＝－a6b6，故C错误；对于D，易知正确，故选A、B、D. 7.（2026·金坛期中）0.06－＋－2－4·＝　　. 解析：0.06－＋－2－4·＝－1＋2－4－＝－1＋－＝1. 8.化简（a＞0，b＞0）的结果是　　. 解析：原式＝＝＝＝. 9.已知x－＝1，其中x＞0，则－－＝　1　. 解析：由x－＝1，x＞0可得x2＝x＋1，原式＝－－＝－－＝x－＝＝1. 10.（2026·南京九中月考）计算： （1）＋＋； （2）＋×＋÷. 解：（1）＋＋＝｜3－π｜＋＋1＝π－3＋＋1＝π－3＋5＋1＝π＋3. （2）＋×＋÷ ＝－5＋×＋÷ ＝－5＋×＋ ＝－5＋×＋5＝1. 11.若a是方程x2－3x＋1＝0的根，则a2＋a－2＝（　　） A. B. C.7 D.6 解析：C　因为Δ＝（－3）2－4＝5＞0，所以方程有两个不相等的实数根，设另一根为b，由根与系数的关系得化简得b＝a－1，则a＋a－1＝3，a·a－1＝1，所以a2＋a－2＝（a＋a－1）2－2a·a－1＝9－2＝7.故选C. 12.方程＝的解是（　　） A.－ B.－ C. D. 解析：B　∵＝，∴＝3－2，∴x－1＝－2，∴x＝－，∴方程＝的解是x＝－.故选B. 13.已知a＞0，若＝，则a2x＝　或2　. 解析：由＝得＝，所以a2x＋a－2x＝.令t＝a2x＞0，所以t＋＝，即2t2－5t＋2＝0，解得t＝或t＝2，即a2x＝或a2x＝2. 14.已知方程x2－8x＋4＝0的两根为x1，x2（x1＜x2）. （1）求－的值；（2）求－的值. 解：由题意知x1＋x2＝8，x1x2＝4. （1）∵x1＜x2，∴－＝（）2－（）2＝＝＝＝＝＝2. （2）－＝－ ＝＝ ＝＝＝1. 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $