2.1 命题、定理、定义(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册学生用书（苏教版）

第2章　常用逻辑用语 2.1　命题、定理、定义 【学习目标】 　　1.能结合具体实例认识和识别什么是命题,对于给出的一些例子,会判断哪些陈述句是命题,哪些陈述句不是命题. 　　2.能分清一个命题的条件与结论. ◆ 知识点一　命题 1.在数学中,我们将可判断　　　　　的陈述句叫作命题.  2.数学中,许多命题可表示为“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式,其中　　　　叫作命题的条件,　　　　叫作命题的结论.  【诊断分析】 1.下列语句中为命题的是 (　 ) A.请打开教材第27页 B.全等三角形的对应边相等 C.矩形难道不是平行四边形吗? D.x>5 2.把命题“面积相等的两个三角形全等”写成“如果p,那么q”的形式,并指出命题的条件与结论. ◆ 知识点二　定理、定义 1.在数学中,有些已经被证明为　　　　的命题可以作为推理的依据而直接使用,一般称之为定理.  2.在数学中,我们经常遇到定义.定义是对某些对象标明符号、指明称谓,或者揭示所研究问题中对象的　　　　.定义的特点是用已知的　　　　　　来解释、刻画陌生的对象,并加以区别.  ◆ 探究点一　命题的条件与结论 例1 将下列命题改写成“若p,则q”(或者“如果p,那么q”)的形式: (1)绝对值相等的两个数也相等; (2)对角线互相垂直且相等的四边形是正方形; (3)线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等; (4)当m> 时,关于x的方程mx2-x+1=0无实数根. 变式 指出下列命题中的条件与结论: (1)若a=b,则a2=b2; (2)有一个角是直角的菱形是正方形; (3)若x2>1,则x>1; (4)四条边对应相等的两个四边形全等. [素养小结] 将一个命题改写成“如果p,那么q”或“若p,则q”的形式后,p就是命题的条件,q就是命题的结论. ◆ 探究点二　命题的真假性 例2 判断下列命题的真假: (1)若x=-5,则3x2+19x-14>0; (2)若x∈B,则x∈A∪B; (3)有两边及一角对应相等的两个三角形全等; (4)角平分线上的点到角的两边的距离相等. 变式 判断下列命题的真假: (1)关于x的方程ax2+2x-3=0(a∈R)有两个不相等的实数根; (2)关于x的方程x2+ax-3=0(a∈R)有两个不相等的实数根; (3)空集是任何集合的真子集; (4)两个集合的并集一定不是空集. [素养小结] 判断命题真假的方法: (1)要判断一个命题是假命题,只需举一个反例; (2)要判断一个命题是真命题,必须通过推理证明或列举所有的情况都成立,才能得出结论. ◆ 探究点三　根据命题的真假求参数范围 例3 若命题“关于x的方程x2+mx+3=0有两个不等的实数根”是真命题,求实数m的取值范围. 变式 已知p:5x-1>a,q:x>1,且“若p,则q”为真命题,则实数a的取值范围是　　　　.  学科网（北京）股份有限公司 $ 第2章　常用逻辑用语 2.1　命题、定理、定义 【课前预习】 知识点一 1.真假　2.p　q 诊断分析 1.B　[解析] A是祈使句,不是命题;B是陈述句,且能判断真假,是命题;C是疑问句,不是命题;D不能判断真假,不是命题.故选B. 2.解:如果两个三角形面积相等,那么这两个三角形全等.命题的条件是“两个三角形面积相等”,结论是“这两个三角形全等”. 知识点二 1.真　2.内涵　对象及关系 【课中探究】 探究点一 例1　解:(1)若两个数的绝对值相等,则这两个数相等. (2)如果一个四边形的对角线互相垂直且相等,那么这个四边形是正方形. (3)如果一个点在线段的垂直平分线上,那么它到这条线段的两端点的距离相等. (4)若m>,则关于x的方程mx2-x+1=0无实数根. 变式　解:(1)条件是“a=b”,结论是“a2=b2”. (2)命题可改写成“如果菱形有一个角是直角,那么这个菱形是正方形”.因此条件是“菱形有一个角是直角”,结论是“这个菱形是正方形”. (3)条件是“x2>1”,结论是“x>1”. (4)命题可改写成“如果两个四边形的四条边对应相等,那么这两个四边形全等”.因此条件是“两个四边形的四条边对应相等”,结论是“这两个四边形全等”. 探究点二 例2　解:(1)当x=-5时,3x2+19x-14=3×(-5)2+19×(-5)-14=75-95-14=-34<0,所以该命题是假命题. (2)由并集的定义得该命题为真命题. (3)这一个角不一定是对应相等两边的夹角,因此该命题是假命题. (4)该命题是真命题. 变式　解:(1)为假命题,当a=0时,方程ax2+2x-3=0是一元一次方程,只有一个实数根. (2)为真命题,因为Δ=a2-4×1×(-3)=a2+12>0,所以方程x2+ax-3=0有两个不相等的实数根. (3)为假命题,空集不是它本身的真子集. (4)为假命题,如果两个集合都是空集,那么它们的并集仍然是空集. 探究点三 例3　解:∵关于x的方程x2+mx+3=0有两个不等的实数根,∴Δ=m2-4×1×3>0,∴m>2或m<-2, 即实数m的取值范围是(-∞,-2)∪(2,+∞). 变式　[4,+∞)　[解析] 由5x-1>a,得x>,因为“若p,则q”为真命题,所以≥1,解得a≥4,故实数a的取值范围是[4,+∞). 学科网（北京）股份有限公司 $