第3章 不等式 本章总结提升(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

本章总结提升 1 题型一 不等式的性质与应用 题型二 基本不等式及其应用 题型三 一元二次不等式的解法 题型四 不等式在实际问题中的应用 2 知 识 网 络 3 题型一 不等式的性质与应用 ［类型总述］（1）不等式性质的应用;（2）作差法比较两个数的大小. 例1（1）已知 ，则下列结论正确的是( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 4 [解析] 对于A， ，因为，所以，， 所以当 时，， 当时，， 当 时，，A错误； 对于B，因为，所以 ，， ， 则 ， 所以，B正确； 素 养 提 升 对于C，因为 ，所以，， ， 则，即 ，故C错误； 对于D，因为 ， 所以，即 ，故D错误.故选B. 素 养 提 升 （2）已知，，求， 的取值范围. 解：因为，所以， 又因为 ，所以，所以 . 因为，所以 ， 因为，所以，所以 . 素 养 提 升 7 变式（1）已知，， ，则下列不等式一定 成立的是( ) A. B. C. D. √ 素 养 提 升 8 [解析] 对于A，由，可得， 又 ，，所以，故 ，所以A错误； 对于B，由，，可得， 所以 ，所以B错误； 对于C，不妨取，，， ，显然满足条件， 但，所以C错误； 对于D，因为 ，所以， 又，所以 ，所以D正确.故选D. 素 养 提 升 9 （2）若，则 的取值范围是_______． [解析] 当时，有，，故 ， 即； 当时，，故 ， 因为，所以， 又 ，所以，即. 综上， . 素 养 提 升 10 题型二 基本不等式及其应用 ［类型总述］（1）直接利用基本不等式求最值;（2）运用配凑法求 最值；（3）用“1”巧换求最值;（4）利用基本不等式证明不等式. 例2（1）（多选题）[2026·山东德州高一期中] 下列说法正确的是 ( ) A. 的最小值是2 B.若，则 的最大值是5 C.若，且，则 的最小值是4 D.若，且，则 的最小值是4 √ √ √ 素 养 提 升 11 [解析] 易知，，当且仅当 时取 等号，故A正确； 因为，所以 ，所以， 当且仅当，即 时等号成立， 故的最大值为5，故B正确； 若， 且，则， 故 ，当且仅当，即，时等号成立， 故 的最小值为8，故C错误； 素 养 提 升 12 若，且，则 ， 由基本不等式得，故，当且仅当 时等号 成立，故的最小值为4，故D正确.故选 . 素 养 提 升 （2）（多选题）若实数,满足 ,则( ) A. B. C. D. [解析] 由,得 ，当且 仅当时取等号,所以，即 ,故A 错误，B正确； 因为 ,所以， 所以 ，故C错误，D正确.故选 . √ √ 素 养 提 升 14 变式1（1）已知，则 的最大值是( ) A. B. C. D. [解析] 因为 ，所以 ，当且仅当，即 时取等号，故选B. √ 素 养 提 升 15 （2）[2026·江苏南京十二中高一调研]设，则 的最小 值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 [解析] 因为，所以 ， 故 ，当且仅当，即 时，等号成立.故选D. √ 素 养 提 升 16 （3）若，，且，则 的最小值为___. 6 [解析] 由，得 ， 所以 ， 当且仅当且，即，时取等号， 故 的最小值为6. 素 养 提 升 17 变式2 已知,, ． （1）若，求 的最小值； 解：若，则， , , , ，当且 仅当，即,时等号成立，故 的最小值为16. 素 养 提 升 18 变式2 已知,, ． （2）若，求 的最小值． 解：若，则，即 ， ,,，则 ， 又，当且仅当 时等号成立， ，整理得，解得 或 （舍去），故 的最小值为64. 素 养 提 升 19 例3 已知，，都是正数，且，求证： . 证明：,,都是正数，且 ， ，当且仅当,, , ，即,,时，等号成立， 故 . 素 养 提 升 20 题型三 一元二次不等式的解法 ［类型总述］（1）解不含参一元二次不等式；（2）解含参一元二 次不等式；（3）不等式恒（能）成立问题. 例4（1）[2023·新课标Ⅰ卷]已知集合，，0，1， ， ，则 ( ) A.，，0， B.，1， C. D. [解析] 因为，，0，1， ， 或，所以 . √ 素 养 提 升 21 （2）[2026·江苏南航附属高级中学高一月考] 使得“ ， ”是真命题的一个实数 的值为 _________________. 2（答案不唯一） [解析] 由题意，“， ”是真命题，可得 在上恒成立，即, . 设,，可得 ， 所以，即实数的取值范围为，故可取 . 素 养 提 升 22 变式（1）[2026·江苏南京高一期中]若一元二次不等式 的解集为或，则 的解集为( ) A.或 B. C.或 D. [解析] 若一元二次不等式的解集为 或 ，则，且和5是方程 的两根， 则，，则，，则 可化为，即，解得 或 ，则的解集为或 .故选A. √ 素 养 提 升 23 （2）若关于的不等式在 上有解，则实数 的取值范围为___________. [解析] 若关于的不等式在 上有解，则存 在，使得不等式 成立， ，. 设 ，， 当时，， ，即实数 的取值范围为 . 素 养 提 升 24 例5 [2026·天津第一百中学高一月考] 已知关于 的不等式 的解集为 . （1）求实数， 的值； 解：由题意知，，即. 因为关于 的不等式的解集为 ， 所以，2是方程 的两个实根， 故解得此时不等式为 ， 解得，符合题意，所以, . 素 养 提 升 25 例5 [2026·天津第一百中学高一月考] 已知关于 的不等式 的解集为 . （2）若，求关于的不等式 的解集. 解：由（1）知，，则不等式 可变形 为 . 若，则不等式为，解得 ，此时原不等式的 解集为； 若，则方程 的解为或， 素 养 提 升 26 当，即 时，原不等式的解集为； 当，即 时，原不等式的解集为 ； 当，即时，原不等式的解集为 . 综上，当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 ； 当时，不等式的解集为 . 素 养 提 升 题型四 不等式在实际问题中的应用 ［类型总述］（1）基本不等式的实际应用；（3）一元二次不等式 的实际应用. 例6 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为 避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. （1）若大网箱的面积为108平方米，每个小网箱的长，宽 设计为 多少米时，才能使围成的网箱中筛网总长度最小？ 素 养 提 升 28 解：依题意，，则 ， 设筛网总长度为米，则 ， ， 当且仅当 即时，筛网总长度最小，所以每个小网 箱的长为 米，宽为3米时，围成的网箱中筛网总长度最小. 素 养 提 升 29 （2）若大网箱的面积为160平方米，网衣的造价为112元/米，筛网的 造价为96元/米，且大网箱的长与宽都不超过20米，则小网箱两相邻 边长， 分别为多少米时，可使网衣和筛网的总造价最低？ 例6 如图所示是某水产养殖大网箱的平面图，四周的实线为网衣，为 避免混养，用筛网（图中虚线）把大网箱隔成大小一样的8个小网箱. 素 养 提 升 30 解：方法一：依题意，，则 ，即 . 设总造价为 元，则 ， 由得解得 . 当且仅当，即,时，总造价 最低，所以小网箱两条 相邻边长， 分别为4米和5米时，可使网衣和筛网的总造价最低. 素 养 提 升 31 方法二：依题意，则 ， 设总造价为 元，则 ， 由得 所以当且仅当且 ， 即,时，总造价 最低. 所以小网箱两条相邻边长， 分别为4米和5米时， 可使网衣和筛网的总造价最低. 素 养 提 升 变式 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生 产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量 （单位： 万件）与售价 （单位：元/件）之间满足函数关系 .已知 企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本 为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制 造成本，利润销售量售价 生产成本. （1）求该电子产品第一年的利润（单位：万元）与售价 之间的 函数关系式； 素 养 提 升 33 解：由题意可知，制造成本为 （万元）， 故生产成本为 万元， 又销售总收入为 （万元）， 所以， . 素 养 提 升 34 （2）已知第一年的利润不低于30万元，求该电子产品第一年的售价； 变式 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生 产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量 （单位： 万件）与售价 （单位：元/件）之间满足函数关系 .已知 企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本 为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制 造成本，利润销售量售价 生产成本. 素 养 提 升 35 解：由题意知，，所以 ， 化简得，解得 ， 故该电子产品第一年的售价为22元/件. 素 养 提 升 36 （3）在（2）的基础上，由于技术的进步，该电子产品第二年的制造 成本相比第一年下降3元/件，直接成本是第一年的利润，若第二年的 售价不低于第一年的售价，且不高于25元/件，求第二年利润的最大值. 变式 某企业生产一种电子产品，根据市场需求进行生产安排（生 产量等于销售量）.经市场调研，该电子产品每年的销售量 （单位： 万件）与售价 （单位：元/件）之间满足函数关系 .已知 企业的生产成本等于直接成本与制造成本的和，第一年的直接成本 为70万元，制造成本为12元/件，且要求每件的售价不低于每件的制 造成本，利润销售量售价 生产成本. 素 养 提 升 37 解：第二年的制造成本为 （元/件），直接成本是第一年的 利润，为 （万元）， 所以生产成本为 万元，则第二年的利润 ， 因为第二年的售价不低于第一年的售价，且不高于25元/件,所以 . 对于二次函数 ，其图象开口向下，对称轴方 程为，所以当时， 有最大值，且最大值 为 ，即第二年利润的最大值为100万元. 素 养 提 升 38 $