3.3.2 第2课时 一元二次不等式的简单应用(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元 二次不等式 1 第2课时 一元二次不等式的简单应用 3.3.2 从函数观点看一元二次不等式 2 探究点一 分式不等式的解法 探究点二 不等式恒（能）成立问题 探究点三 一元二次不等式的应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 结合具体实例，能从熟悉的现实情境中抽象出一元二次不等式 模型，初步体会一元二次不等式的现实意义. 4 知识点一 可转化为一元二次不等式的简单分式不等式 简单分式不等式可转化为同解的一元二次不等式（组），或者变形 转化为一元一次不等式组． ____________________； ____________________； _ ____________________； _ ____________________. 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）若，则有且 .( ) × （2）若，则 .( ) √ （3）若，则 .( ) × （4）若，则 .( ) × 课 前 预 习 6 知识点二 不等式恒成立问题 一元二次不等式恒成立的情况： 恒成立 _ _______； 恒成立 _ _______. 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）“一元二次不等式的解集为 ”的充要条件是 “一元二次方程的 ”.( ) × [解析] 若一元二次不等式的解集为,则 所以 “一元二次不等式的解集为”的充要条件是“ , 一元二次方程的 ”. 课 前 预 习 8 （2）若关于的不等式恒成立，则 的取值范围 为 .( ) × [解析] 由题意得 ， 解得，所以实数的取值范围是 . 课 前 预 习 9 知识点三 用一元二次不等式解决实际问题的步骤 1.审题：理解题意，分清条件和结论，理顺数量关系； 2.建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言， 把实际问题抽象为数学中的一元二次不等式问题； 3.求模：解这个一元二次不等式，得出数学结论； 4.还原：将数学结论还原为实际问题的解. 课 前 预 习 10 探究点一 分式不等式的解法 例1（1）不等式 的解集是_______________. [解析] 由得，等价于 ，解得 ，所以不等式的解集是 . 课 中 探 究 11 （2）不等式 的解集是________________. [解析] 由得，即，即 ， 等价于且，解得或 . 所以不等式的解集是 . 课 中 探 究 12 （3）若关于的不等式的解集为，则关于 的不 等式 的解集为__________________. 或 [解析] 由题意得为方程的根， ， 即 的解集为， ， 等价于， 解得 或， 不等式的解集为或 . 课 中 探 究 13 变式（1） 的解集是__________________. [解析] 等价于，解得或 ， 则原不等式的解集为 . 课 中 探 究 14 （2） 的解集是__________________. 或 [解析] 不等式可化为，即 ， 则原不等式等价于且， 解得或 . 故的解集是或 . 课 中 探 究 15 ［素养小结］ （1）对于比较简单的分式不等式,可直接转化为一元二次不等式或一 元一次不等式组求解,但要注意分母不为零. （2）对于不等号右边不为零的较复杂的分式不等式,先移项再通分 （不要去分母）,使之转化为不等号右边为零,然后再用上述方法求解. 课 中 探 究 16 探究点二 不等式恒（能）成立问题 例2（1），不等式成立，则 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] ，不等式成立，即 在 上有解，所以， . 根据二次函数的性质可知，当时，取得最小值0， 故 .故选D. √ 课 中 探 究 17 （2）[2026·江苏南京高一期中]“ ， ”是真命题的充要条件是( ) A. B. C. D. [解析] 当时，不等式化为，解得 ，不符合题意； 当时，要使“， ”是真命题， 则，所以二次函数 的图象的对称轴方程 为 ，所以只需， 解得 .故选A. √ 课 中 探 究 18 变式（1）[2026·江苏苏州高一期中]已知对任意的 ， 恒成立，则实数 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 由可知， 由对任意的 ，恒成立， 可得对任意的 ，恒成立， 又 ，当且仅当，即时等号成立， 所以，即实数 的取值范围为 .故选D. √ 课 中 探 究 19 （2）若关于的不等式在内有解，则 的取值 范围为( ) A. B. C. D. [解析] 关于的不等式即为 , 由，得， 因为不等式 在内有解，所以必有， 即 ，解得， 则的取值范围为 .故选C. √ 课 中 探 究 20 ［素养小结］ 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁 的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数. 课 中 探 究 21 探究点三 一元二次不等式的应用 例3 某工厂生产商品 ，每件售价80元，每年产销80万件.工厂为了 研发新产品，经过市场调查，决定将商品的年产销量减少 万件， 同时将商品的销售金额的 作为新产品的研发费（即每销售100元 提出元）.若新产品的研发费不少于96万元，求实数 的取值范围. （假设：工厂永不停产，新产品永在研发） 课 中 探 究 22 解：由题意得，改变后商品的年产销量为 件， 又商品 每件售价80元， 所以需满足， 即 ， 所以，所以， 解得 ，则实数的取值范围为 . 课 中 探 究 23 变式 [2026·江苏徐州高一期中] 某工厂生产 件产品的 总成本（单位：元）与生产件数 之间满足二次函数 . （1）若要求生产总成本不超过30 000元，求满足生产总成本要求的 生产件数 的取值范围； 解：若要求生产总成本不超过30 000元，则 ，即 ，解得， 又 ，所以满足生产总成本要求的生产件数的取值范围为 ， . 课 中 探 究 24 变式 [2026·江苏徐州高一期中] 某工厂生产 件产品的 总成本（单位：元）与生产件数 之间满足二次函数 . （2）试求该工厂生产多少件产品时，可使每件产品的平均成本最小？ 解：由题意知，当生产件数为 时，每件产品的平均成本为 （元）， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即 时，等号成立， 所以当该工厂生产200件产品时，每件产品的平均成本最小. 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 解不等式应用题,一般可按四步进行:①审题,找出关键量和不等关系; ②引进数学符号,用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）;③解 不等式（或求函数最值）;④回到实际问题. 课 中 探 究 26 课后习题 27 1.不等式 的解集是( ) A.或 B.或 C. D. [解析] 不等式等价于解得 ， 所以不等式的解集是 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.已知集合,集合 ,则 ( ) A. B. C. D. [解析] 因为集合 ,集合 或, 所以 , 故选A. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.关于的不等式 的解集为( ) A. B. C. D. [解析] 由,得,即 , 解得,所以不等式的解集为 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.当时，不等式恒成立，则 的取值范围为( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意可得，当时， 恒成立，整理得 恒成立， 令，则只需 解得，则的取值范围为 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 5.若关于的不等式有解，则实数 的取值范围是 ( ) A. B. C. D. [解析] 若关于的不等式 有解， 则，解得， 故实数 的取值范围是 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 6.某网店销售一批新款削笔器，每个削笔器的最低售价为15元.若按 最低售价销售，每天能卖出30个，一个削笔器的售价每提高1元，日 销售量将减少2个.为了使这批削笔器每天获得400元以上的销售收入， 则每个削笔器的售价 （单位：元）的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 设每个削笔器的售价为 元， 由题意得，即 方程的两个实数根为,， 不等式的解集为， 又 ， .故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 7.已知二次函数，若 的解集为 ，则 的取值范围为_ ______. [解析] 由题意知方程的两个根为， ， 因为的解集为， 所以解得 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.限速 的盘山公路上两车相撞.经测量，甲车的刹车距离略大 于，乙车的刹车距离略小于 .经查询，甲、乙车的刹车距离 ，（单位：）与行驶速度，（单位： ）分别满足 和 ，则____车应负主要 责任.（填“甲”或“乙”） 甲 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 [解析] 由题意得，可得 所以. 由题意得，即 所以. 因为行驶路段限速 ，所以甲车超速了， 所以甲车应负主要责任. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 9.（13分）解下列不等式: （1） ; 解：因为,所以 , 所以,即 , 该不等式等价于且,解得或 , 所以原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 9.（13分）解下列不等式: （2） . 解：不等式可化为 ，即， 于是或解得 或 ， 所以原不等式的解集为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 10.（13分）有一家企业生产制造智能机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本为1000万元；②材料成 本为万元， 为每月生产机器人的个数. （1）该企业每月的产量为多少时，平均每个机器人的成本最低，最 低为多少万元？ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 解：设平均每个机器人的成本为 万元， 根据题意得 ， 当且仅当，即 时取等号. 所以该企业每月的产量为100个时，平均每个机器人的成本最低，最 低为30万元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 10.（13分）有一家企业生产制造智能机器人，每月的成本 （单位：万元）由两部分构成：①固定成本为1000万元；②材料成 本为万元， 为每月生产机器人的个数. （2）若每个机器人的售价为 万元，假设生产出来的机器人 都能够售出，则该企业应如何制订生产计划，才能确保每月的利润 不低于400万元？附：利润 售价×销量-成本. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 解：设每月的利润为 万元， ， 由题知，整理得 ， 可得 . 所以该企业应每月生产不小于70个机器人，才能确保每月的利润不 低于400万元. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 11.已知“,”是假命题,则实数 的取值范 围为( ) A. B. C. D. [解析] 因为“， ”是假命题, 所以“, ”是真命题, 所以,解得 .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 12.已知,，且，若 恒成立，则 实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为，，且 ， 所以 ，当且仅当 ，即时，等号成立. 又 恒成立，所以，解得， 所以实数的取值范围是 . 故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 13.（多选题）已知关于的不等式 的 解集是，其中 ，则下列结论中正确的是 ( ) A. B. C. D. √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 [解析] 若关于的不等式 的解集是 ，则，是方程 的两根，所 以， ,故A正确； 作出的图象与直线 ，如图①②所示， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 由图①可知，当时，，故 ，故B错误； 由图②可知，当时，， 故 ，故C错误； 因为方程 的判别式， 所以，故 ，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 14.若关于的不等式在上有解，则实数 的取 值范围是________. [解析] 由不等式以及，可得 ， 依题意可知，. 令， ，则， 令，由 ，可得， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 令，，则函数 的图象开口向下， 且图象所在抛物线的对称轴为直线 ， 又，所以当时，取得最大值1，可得, 即实数 的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.[2026·江苏泰州高一期末] 若关于 的不等式 的解集为，且，则 的取值范 围为________， 的最小值是___. [解析] 令，则函数 的图象开口向上. 由关于的不等式的解集为，且 ，可 得 解得，故的取值范围为. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 由题意知， 是方程的两根， 则， . 因为是方程 的根， 所以，可得， 因为 ，所以，即，即， 即 ， 因为，且，所以，且. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 则 ， 令，则 ， ， 利用基本不等式，可得，当且仅当， 即 时等号成立，所以， 即的最小值是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）已知二次函数的图象经过点 ， ，是否存在常数，，，使得不等式 对一 切实数都成立？若存在，求出实数，， 的值；若不存在，请说 明理由. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 解： 二次函数的图象经过点， ， 解得 则 . 假设存在常数，，，使得不等式对一切实数 都成立，则对一切实数 都成立， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 化简得 恒成立，则 解得，可得. 存在常数，，，使得不等式对 一切实数 都成立. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $