3.3.1 从函数观点看一元二次方程(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学必修第一册配套课件（苏教版）

3.3 从函数观点看一元二次方程和一元 二次不等式 1 3.3.1 从函数观点看一元二次方程 2 探究点一 二次函数的零点 探究点二 由二次函数的零点求参数的值 探究点三 由二次函数的零点分布求参数 的取值范围 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 结合具体实例,能够借助一元二次函数的图象,判断一元二次方程 根的存在性及根的个数,知道函数 的零点就 是方程 的实数根,能够从函数观点认识方程. 4 知识点一 二次函数的零点 一般地，一元二次方程 的根就是二次函数 当函数值取零时_________的值，即二次函 数的图象与 轴交点的________，也称为二 次函数 的零点. 自变量 横坐标 课 前 预 习 5 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）函数的零点是和 .( ) × [解析] 函数的零点是函数的图象与 轴交点的横坐标,而不是与 轴的交点. 课 前 预 习 6 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）函数的零点是 和1.( ) × [解析] 根据二次函数零点的定义可得结论错误. （3）方程的根就是函数 的零点.( ) √ [解析] 根据二次函数零点的定义可得结论正确. 课 前 预 习 7 知识点二 一元二次方程的根、二次函数的图象、二次函数的零 点之间的关系 当时，一元二次方程 的根、二次函数 的图象、二次函数 的零点之间的 关系： 判别式 方程 的根 _______________ ______________ _ ______________ _____________ _____________ _ ____________ ________ _______ 有两个相异的 实数根 有两个相等的 实数根 没有实数根 课 前 预 习 8 判别式 二次函数 的图象 二次函数 的零点 _____________ _________________ ____________ _ ________ ________ 有两个零点 有一个零点 无零点 续表 课 前 预 习 9 探究点一 二次函数的零点 例1 求下列函数的零点： （1） ； 解：由，解得或 ， 所以函数的零点为1和 . 课 中 探 究 10 例1 求下列函数的零点： （2） ； 解：①当时，， 由得 ，所以函数的零点为 . 课 中 探 究 11 ②当时，由 得， 解得或 ， 又 ， 所以当时，，函数有唯一的零点 . 当且时，，函数有两个零点和 . 综上所述，当或时，函数的零点为 ； 当且时，函数有两个零点和 . 课 中 探 究 12 例1 求下列函数的零点： （3） ，其图象如图所示. 解：由题图可知，函数有两个零点 和3. 课 中 探 究 13 ［素养小结］ （1）判断二次函数<m></m>零点的情况，可以转化 为判断方程<m></m>的根的情况. （2）二次函数<m></m>的零点就是方程 <m></m>的根，也就是该函数图象与<m></m>轴交点的横坐标. 课 中 探 究 14 探究点二 由二次函数的零点求参数的值 例2（1）若二次函数的两个零点为1和 , 则实数 的值为( ) A.2 B.3 C. D. [解析] 由题意知，关于的方程 的两根为1 和, 故由根与系数的关系得，，可得 或2， 又，所以 .故选D. √ 课 中 探 究 15 （2）已知二次函数的图象与 轴的交点为 ，，若，则 的值为_______. 或5 [解析] 由题可知， ， 为方程 的两个根， 故, ， 所以， 解得 或 . 课 中 探 究 16 变式（1）若,是二次函数的两个零点，则 的值是( ) A.3 B.9 C.21 D.33 [解析] 由题可知，,是方程 的两个实数根， 所以， ， 故 .故选C. √ 课 中 探 究 17 （2）[2026·江苏盐城高一期中] 已知函数 ，若函数 只有一个零点，则 的值是_____. 0或 [解析] 若函数只有一个零点,即关于 的方程 只有一个根或有两个相同的实数根. 则当 时,方程为，解得，满足题意； 当 时, ，解得 ，此时方程有两个相同的 实数根，满足题意. 综上，的值是0或 . 课 中 探 究 18 ［素养小结］ 由二次函数的零点求参数的值主要是转化为一元二次方程的根的判 别式及根与系数的关系，解题的关键是正确运用判别式及根与系数 的关系. 课 中 探 究 19 探究点三 由二次函数的零点分布求参数的取值范围 例3（1）已知二次函数 . ①若该二次函数有两个不同的正零点，求实数 的取值范围； 解：设的两个正零点为,, ， 则即解得, 故实数 的取值范围是 . 课 中 探 究 20 例3（1）已知二次函数 . ②若该二次函数有两个异号零点，求实数 的取值范围. 解：设的两个异号零点为,,则 即 解得，故实数的取值范围是 . 课 中 探 究 21 （2）若,是关于的方程 的两个实数 根,且,都大于1,求实数 的取值范围. 解 方程 的两个根都大于1， ,,, 解得 且 . 课 中 探 究 22 变式 已知函数 . （1）分别求该函数有两个零点、一个零点、没有零点时 的值或取 值范围； 解：若函数 有两个零点， 则方程 有两个不相等的实数根， 所以，解得. 若函数 有一个零点， 则方程 有两个相等的实数根， 所以，解得 ； 课 中 探 究 23 若函数没有零点， 则方程 没有实数根， 所以，解得 . 综上所述，当原函数有两个零点时， ； 当原函数有一个零点时，； 当原函数没有零点时， . 课 中 探 究 变式 已知函数 . （2）若该函数有一个零点为0，求 的值； 解：由题意知0是方程 的一个根， 则，解得 . （3）若该函数的两个零点一个大于2,另一个小于2,求实数 的取值范围. 解：由题意可得即 解得，故实数的取值范围为 . 课 中 探 究 25 ［素养小结］ 由二次函数的零点分布求参数范围的问题时，一般要结合对应一元 二次方程的根的判别式及根与系数的关系，列出不等式（组）进行 求解，或者结合二次函数图象，得出开口方向、对称轴以及图象与<m></m> 轴的交点情况,列出不等式（组）进行求解，函数有两个零点说明函 数图象与<m></m>轴有两个交点. 课 中 探 究 26 课后习题 27 1.函数 的零点是( ) A., B.1，2 C., D., [解析] 令，解得或 ， 所以的零点是, .故选D. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 28 2.已知二次函数有零点，则 的取值范围是 ( ) A. B. C.且 D.且 [解析] 二次函数有零点， 关于 的一元二次方程 有实数根， 则解得且 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 29 3.[2026·江苏南京一中高一段考]若,是二次函数 的 两个零点，则 的值是( ) A.3 B.9 C.21 D.33 [解析] 因为,是二次函数 的两个零点， ，所以,是方程 的两个实数根， 所以， ， 故 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 30 4.若二次函数 有两个零点1和4，则函数 的零点为( ) A.1或 B.1或4 C.或 D.或 [解析] 由二次函数 有两个零点1和4，可得1，4为方 程的两个根，所以解得 所以函数， 令，解得 或， 则函数的零点为1或 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 31 5.[2026·江苏常熟高一期中]“”是“函数 只有 一个零点”的( ) A.充要条件 B.必要且不充分条件 C.充分且不必要条件 D.既不充分又不必要条件 [解析] 当时，函数只有一个零点； 当 时，若函数只有一个零点， 则 ，解得. 综上，若函数只有一个零点，则 或. 所以“”是“函数 只有一个零点”的充分且不必 要条件.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 32 6.已知二次函数的两个不同的零点都在区间 内，则实数 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 因为二次函数 的两个不同的零点都在区间 内，所以即得 ， 故实数的取值范围是 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 7.函数在区间 上的零点个数是___. 1 [解析] 对于函数，因为 ,所以该 函数的图象与轴相切， 又因为该函数图象的对称轴为直线 , 所以函数的图象在区间上与 轴只有一个交点， 即函数在区间 上只有1个零点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 8.若二次函数的两个零点都小于0，则实数 的 取值范围是_ __________. [解析] 因为二次函数 的两个零点都小于0， 所以方程 有两个不相等的负根， 设这两个负根分别为,， 则即 可得，所以实数的取值范围是 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 9.（13分）已知关于的一元二次方程 . （1）若该方程有一个正根，一个负根，求实数 的取值范围； 解：方法一：由题意知解得， 即 的取值范围为 . 方法二：由题意得，解得，即 的取值 范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 9.（13分）已知关于的一元二次方程 . （2）若该方程有一个根大于2，另一个根小于2，求实数 的取值范围； 解：由题意知，解得，即 的取值范围 为 . （3）若该方程有一个根大于2，另一个根不大于0，求实数 的取值 范围. 解：由题意知可得，即 的取值范围为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 10.[2026·江苏淮安淮阴中学高一期末]关于 的方程 有两个实数根 ， ，且 ，那么 的值为( ) A. B. C.或1 D. 或4 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 [解析] 因为关于的方程 有两个实数 根 ， ，所以故 ， 又，所以 ， 解得或 （舍去）.故选A. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 11.[2026·河北衡水高一调研]已知关于的方程 的两 个实数根为,，且满足，则常数 的取值范围 是( ) A. B. C. D. [解析] 由题意得解得 .故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 12.（多选题）已知函数， ，则下列说法正 确的是( ) A.若在区间 内恰有一个零点，则 B.若在区间 内恰有一个零点，则 或 C.若在区间内有零点，则 D.若在区间内有零点，则 √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 [解析] 若在区间 内恰有一个零点，则分以 下三种情况讨论： ①当时，的唯一零点为 ，符合题意； ②当时， 的图象开口向上，对称轴方程为 ，且 ， 为使在区间 内恰有一个零点， 如图甲，只需可得 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 ③当时， 的图象开口向下，对称轴方程为 ，且 ， 为使在区间 内恰有一个零点，如图乙、丙， 只需或， 可得或 ， 经验证，当时，满足题意. 综上，若 在区间内恰有一个零点， 则或 ，故B正确，A错误. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 若在区间 内有零点，则分以下两种情况： 在区间 内恰有一个零点，由以上分析 可知，此时或 ； 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 在区间 内有两个零点， 则或解得或 . 综上，若在区间内有零点，则 ， 故D正确，C错误.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 13.已知函数在区间 内有两个不同的 零点，则 的取值范围是 __________ . [解析] 设函数的两个零点为，，，则 由，，可得 所以 ， 所以 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 14.（15分）[2026·江苏南通高一期中] 已知二次函数 ，其中 为实数. （1）求证：对任意实数 ，该二次函数有两个零点； 证明：由题可得， , 故对任意实数 ，该二次函数有两个不同的零点. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 14.（15分）[2026·江苏南通高一期中] 已知二次函数 ，其中 为实数. （2）设该二次函数在上有两个不同的零点, ，且 ，求此二次函数的解析式. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 解：因为该二次函数在上有两个不同的零点， ， 所以 因为，所以 ，可得或 . 当时，二次函数的解析式为 ，此时二次函数的 两个零点为和1，不满足题意，舍去； 当 时，二次函数的解析式为 ,此时二次函数的 两个零点为2,6，满足题意. 所以所求二次函数的解析式为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 15.（多选题）[2026·广东八校联盟高一质检] 定义：如果关于 的一 元二次方程 有两个不同的实数根，且其中一 个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“和谐方程”，下列说法正 确的是( ) A.方程 是“和谐方程” B.若关于的方程是“和谐方程”，则 C.若关于的方程 是“和谐方程”，则函数 的图象与轴交点的坐标是和 D.若，则关于的方程 是“和谐方程” √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 [解析] 对于A，由,得 ，则方程的两 根为,1，又,，所以方程 不是 “和谐方程”，故A错误. 对于B，因为关于的方程 是“和谐方程”， 所以不妨设，则所以 ， 解得,，或,，所以 ，故B正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 对于C，关于的方程 是“和谐方程”， 可设该方程的两根为，，且， 又所以 ，，则，即 ， 则 ， 令，解得方程的两根为, ， 即函数的图象与轴交点的坐标是和 ， 故C正确. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 对于D，因为，所以，,，则关于 的 方程可化为 ， 则，解得方程的两根为, ， 又，所以关于的方程 是“和谐方 程”，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 16.（15分）[2026·江苏徐州高一期中] 对于二次函数 ，若存在，使得 成立，则称为二次函数 的不动点. （1）求二次函数 的不动点； 解：设的不动点为，则 , 即,解得或， 所以 的不动点为 和3. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 16.（15分）[2026·江苏徐州高一期中] 对于二次函数 ，若存在，使得 成立，则称为二次函数 的不动点. （2）若二次函数 有两个不相等的不动点 ，，且，，求 的最小值. 解：依题意得， 有两个不相等的正实数 根，即方程 有两个不相等的正实数根， 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 所以解得 . 所以 ， 因为，所以 ，所以 ，当且仅当 ，即时等号成立， 所以 的最小值为8. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $