3.3.2一元二次不等式的综合问题第2课时课件-2026-2027学年高一上学期数学苏教版必修第一册

该高中数学课件聚焦一元二次不等式综合问题，涵盖含参分类讨论（两根大小、判别式、二次项系数）及实际应用。通过典型例题精研析与通性通法总结，构建从基础到综合的知识脉络，形成学习支架辅助学生逐步掌握。 其亮点在于以分类讨论培养数学思维逻辑性，例4摩托车利润问题引导用数学眼光观察现实世界，通性通法提炼助力数学语言表达。学生能提升分类讨论与应用能力，教师可借助系统例题与训练提高教学效率。

第2课时　一元二次不等式的综合问题 典型例题·精研析 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 含参一元二次不等式的解法 角度1　讨论两根的大小 【例1】　解关于 x 的不等式： x2＋（1－ a ） x － a ＜0. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：方程 x2＋（1－ a ） x － a ＝0的两根分别为 x1＝－1， x2＝ a . 又函数 y ＝ x2＋（1－ a ） x － a 的图象开口向上， 当 a ＜－1时，原不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}； 当 a ＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当 a ＞－1时，原不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }. 综上所述，当 a ＜－1时，原不等式的解集为{ x ｜ a ＜ x ＜－1}； 当 a ＝－1时，原不等式的解集为⌀； 当 a ＞－1时，原不等式的解集为{ x ｜－1＜ x ＜ a }. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　根据方程根的大小讨论含参一元二次不等式的解 （1）若一元二次不等式可因式分解，则将一元二次不等式因式分解 或求出一元二次不等式对应方程的根； （2）比较两根的大小关系并根据其大小进行分类讨论； （3）写出不等式的解集. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度2　讨论判别式的符号 【例2】　解关于 x 的不等式： x2＋ ax － a ≥0. 解：①当Δ＝ a2＋4 a ＝0，即 a ＝0或 a ＝－4时， 由函数 y ＝ x2＋ ax － a 的图象开口向上，故不等式 x2＋ ax － a ≥0的解 集为R. ②当Δ＝ a2＋4 a ＜0，即－4＜ a ＜0时， x2＋ ax － a ＞0恒成立，所以 解集为R. 目录 数学·必修第一册（SJ） ③当Δ＝ a2＋4 a ＞0，即 a ＜－4或 a ＞0时， 由 x2＋ ax － a ＝0，解得 x ＝ 或 x ＝ ， 不等式的解集为{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }. 综上所述，当－4≤ a ≤0时，不等式的解集为R， 当 a ＜－4或 a ＞0时，不等式的解集为{ x ｜ x ≤ 或 x ≥ }. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 根据判别式的符号讨论含参一元二次不等式的解 （1）若二次项系数不含参数且不能因式分解时，先求出一元二次不 等式所对应方程的判别式； （2）讨论判别式大于0、小于0或等于0所对应的不等式的解集； （3）写出不等式的解集. 目录 数学·必修第一册（SJ） 角度3　讨论二次项系数的符号 【例3】　解关于 x 的不等式： ax2－（ a ＋1） x ＋1＜0. 解：①当 a ＝0时，原不等式即为－ x ＋1＜0，解得 x ＞1. ②当 a ＜0时，原不等式化为（ x － ）（ x －1）＞0，解得 x ＜ 或 x ＞1. 目录 数学·必修第一册（SJ） ③当 a ＞0时，原不等式化为（ x － ）（ x －1）＜0. 若 a ＝1，即 ＝1时，不等式无解； 若 a ＞1，即 ＜1时，解得 ＜ x ＜1； 若0＜ a ＜1，即 ＞1时，解得1＜ x ＜ . 综上可知，当 a ＜0时，不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}； 当 a ＝0时，不等式的解集为{ x ｜ x ＞1}； 当0＜ a ＜1时，不等式的解集为{ x }； 当 a ＝1时，不等式的解集为⌀； 当 a ＞1时，不等式的解集为{ x ＜ x ＜1}. 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 　　根据二次项系数的符号讨论含参一元二次不等式的解 　　二次项系数若含有参数，应讨论参数是等于0，小于0，还是大于 0，若小于0，则将不等式转化为二次项系数为正的形式，然后再进行 求解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 　解关于 x 的不等式： ax2－2 ax ＋2≤0（ a ≥0）. 解：（1）当 a ＝0时，原不等式即为2≤0，无解； （2）当 a ＞0时，Δ＝4 a2－8 a ， ①当Δ＝0，即4 a2－8 a ＝0，得 a ＝2，原不等式对应的方程有两个相 等的实根. 当 a ＝2时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝1}. 目录 数学·必修第一册（SJ） ③当Δ＞0，即 a ＞2时，原不等式对应的方程有两个不相等的实根， x1＝ ， x2＝ ，且 x1＜ x2， 所以不等式的 解集为{ x ｜ ≤ x ≤ }. 综上，当0≤ a ＜2时，原不等式的解集为⌀； 当 a ＝2时，原不等式的解集为{ x ｜ x ＝1}. 当 a ＞2时，原不等式的解集为{ x ｜ ≤ x ≤ }. ②当Δ＜0，即0＜ a ＜2时，原不等式无解. 目录 数学·必修第一册（SJ） 题型二 一元二次不等式的实际应用 【例4】　（链接教科书第67页例3）某摩托车生产企业，上年度生产 摩托车的投入成本为1万元/辆，出厂价为1.2万元/辆，年销售量为1 000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品档次，适度增加投入成 本.若每辆车投入成本增加的比例为 x （0＜ x ＜1），则出厂价相应的 提高比例为0.75 x ，同时预计年销售量增加的比例为0.6 x .已知年利 润＝（出厂价－投入成本）×年销售量. 目录 数学·必修第一册（SJ） （1）写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 的关系式； 解：由题意，得 y ＝[1.2×（1＋0.75 x ）－1×（1＋ x ）]×1 000×（1＋0.6 x ）（0＜ x ＜1），整理得 y ＝－60 x2＋20 x ＋200 （0＜ x ＜1）. 目录 数学·必修第一册（SJ） 解不等式组，得0＜ x ＜ ， 所以为使本年度的年利润比上年度有所增加，投入成本增加的 比例 x 的范围为 . （2）为使本年度的年利润比上年度有所增加，问投入成本增加的比 例 x 应在什么范围内？ 解：要保证本年度的年利润比上年度有所增加，当且仅当 即 目录 数学·必修第一册（SJ） 通性通法 利用不等式解决实际问题的一般步骤 （1）选取合适的字母表示题目中的未知数； （2）由题目中给出的不等关系，列出关于未知数的不等式（组）； （3）求解所列出的不等式（组）； （4）结合题目的实际意义确定答案. 目录 数学·必修第一册（SJ） 【跟踪训练】 如图，在某住宅小区的Rt△ ABC 区域内，修建一地面为矩形 AMPQ 的 凉亭供小区居民休闲.测得 AB ＝8 m， AC ＝6 m，要使修建的凉亭占 地面积不小于9 m2，该怎样设计？ 目录 数学·必修第一册（SJ） 解：设 AM ＝ x m， PM ＝ y m，0＜ x ＜8，0＜ y ＜6. 则由 PM ∥ CA 得， ＝ ，所以 y ＝ （8－ x ）. 由题意得 解得所以2≤ x ≤6. 所以当矩形 AMPQ 的边为2≤ AM ≤6 m时，满足设计要求. 目录 数学·必修第一册（SJ） 1. 若 a ＞2，则关于 x 的不等式 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0的解集为 （　　） 解析：　由 ax2－（2＋ a ） x ＋2＞0，得（ x －1）·（ ax －2）＞ 0.∵ a ＞2，∴0＜ ＜1，∴原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞1}. 故选A. 目录 数学·必修第一册（SJ） 2. 某产品的总成本 y （万元）与产量 x （台）之间的函数关系是 y ＝3 000＋20 x －0.1 x2（0＜ x ＜240），若每台产品的售价为25万元， 则生产者不亏本（销售收入不小于总成本）时的最低产量是（　） A. 50 B. 100 C. 150 D. 200 解析：　依题意得25 x ≥3000＋20 x －0.1 x2，整理得 x2＋50 x － 30 000≥0，解得 x ≥150或 x ≤－200（舍去）.因为0＜ x ＜240，所 以150≤ x ＜240，即最低产量是150台.故选C. 目录 数学·必修第一册（SJ） 3. 若集合 A ＝{ x ｜ ax2－ ax ＋1＜0}＝⌀，则实数 a 的取值范围是 ⁠ ⁠. 解析：①若 a ＝0，则1＜0不成立，此时不等式 ax2－ ax ＋1＜0的解 集为空集；②若 a ≠0，则解得0＜ a ≤4.综上，0≤ a ≤4. { a ｜ 0≤ a ≤4}　 目录 数学·必修第一册（SJ） 4. 解关于 x 的不等式 x2－ ax ＋4＞0. 解：Δ＝ a2－16，当Δ＜0，即－4＜ a ＜4时，不等式 x2－ ax ＋4＞0 的解集为R. 当Δ＝0，即 a ＝±4时，原不等式对应的方程有两个相等的实根， 当 a ＝4时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠2}. 当 a ＝－4时，原不等式的解集为{ x ｜ x ≠－2}. 当Δ＞0，即 a ＜－4或 a ＞4时，原不等式对应的方程有两个不相等 实根， x1＝ ， x2＝ ，且 x1＞ x2， 目录 数学·必修第一册（SJ） 所以原不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }. 综上，当－4＜ a ＜4时，不等式的解集为R； 当 a ＝－4时，不等式的解集为{ x ｜ x ≠－2}； 当 a ＝4时，不等式的解集为{ x ｜ x ≠2}； 当 a ＜－4或 a ＞4时，不等式的解集为{ x ｜ x ＜ 或 x ＞ }. 目录 数学·必修第一册（SJ） 谢 谢 观 看！ $