4.1 第1课时 数列的概念与表示(Word课后习题)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教A版）

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 1.[2026·湖北十堰高二期末] 下列说法中正确的是 (　 ) A.数列1,2,3与数列3,2,1是同一数列 B.与集合中的元素要求互异类似,数列的项是不相同的 C.数列0,2,4,6,…可记为{2n} D.若f(x)=2.025x,则数列f(1),f(2),…,f(n),…是递增数列 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是 (　 ) A.1,,,,… B.-1,-2,-3,-4,… C.-1,-,-,-,… D.1,,,…, 3.[2025·天津南开区高二质检] 已知数列{an}的前几项为-1,4,-7,10,…,则该数列的一个通项公式为 (　 ) A.an=(-1)n-1(3n-2) B.an=(-1)n(3n-2) C.an=(-1)n-1(3n+1) D.an=(-1)n(3n+1) 4.已知数列{an}的通项公式为an=则a2·a3= (　 )　　　　　 　　　　　 　　　　　 A.70 B.28 C.20 D.8 5.[2026·酒泉高二期中] 已知数列{an}的通项公式是an=n+,则下列各数是数列{an}的项的是 (　 ) A.18 B.20 C.32 D.66 6.(多选题)[2026·广东清远三校高二联考] 已知数列,2,,2,…,则下列说法正确的是 (　 ) A.此数列的通项公式是an= B.8是它的第32项 C.此数列的通项公式是an= D.8是它的第4项 7.已知下列数列: (1)0,0,0,0,0,0;(2)0,-1,2,-3,4,-5,…;(3)0,,,…,,…;(4)1,0.2,0.22,0.23,…;(5)0,-1,0,…,cosπ,…. 其中有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,递减数列是　　　　,常数列是　　　　,摆动数列是　　　　.(填序号)  8.已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　;若an=,则n=　　　　.  9.(13分)观察下列数列的特点,在每个空白处填入一个适当的数,并写出每个数列的一个通项公式. (1)1,3,7,　　　　,31,　　　　,127,…;  (2)2,5,　　　　,17,26,　　　　,50,…;  (3),-,　　　　,-,,　　　　,,…;  (4)1,,　　　　,2,,　　　　,,….  10.已知数列{an}的通项公式是an=,那么这个数列是 (　 ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 11.(多选题)[2025·盐城高二检测] 若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则 (　 ) A.该数列仅有6项为正数 B.该数列有无限多项为负数 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 12.若数列的最大项为第k项,则k=　　　　　.  13.已知数列{an}满足an=2n2+λn+3,n∈N*,且{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是　　　　.  14.(15分)根据数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来. (1)an=; (2)an=sin+1. 15.大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论,主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.该数列从第一项起依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,…,则该数列的第19项为　　　　,该数列的一个通项公式为an=　　　　　　　.  16.(15分)已知数列{an}的通项公式为an=,试判断数列{an}的单调性,并判断该数列是否有最大项与最小项. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 1.D　[解析] 对于选项A,数列是按一定顺序排列的一列数,具有有序性,数列1,2,3与3,2,1的顺序不同,因此是两个不同的数列,A选项错误;对于选项B,集合中的元素具有互异性,而数列的项可以相同,B选项错误;对于选项C,数列0,2,4,6,…的通项公式为an=2n-2(n∈N*),而{2n}对应的数列是2,4,6,8,…,首项为2,与题目中的首项0不符,C选项错误;对于选项D,函数f(x)=2.025x是指数函数,底数2.025>1,故f(x)单调递增,所以数列f(1),f(2),…,f(n),…是递增数列,D选项正确.故选D. 2.C　[解析] 对于A,数列1,,,,…是递减数列,不符合题意;对于B,数列-1,-2,-3,-4,…是递减数列,不符合题意;对于C,数列-1,-,-,-,…既是递增数列又是无穷数列,符合题意;对于D,数列1,,,…,是有穷数列,不符合题意.故选C. 3.B　[解析] 根据题意,数列{an}的前几项为-1,4,-7,10,…,即(-1)1(3×1-2),(-1)2(3×2-2),(-1)3(3×3-2),(-1)4(3×4-2),故该数列的一个通项公式为an=(-1)n(3n-2).故选B. 4.C　[解析] 由题意得a2=2×2-2=2,a3=3×3+1=10,所以a2·a3=2×10=20. 5.B　[解析] 因为an=n+,所以当n是64的因数1,2,4,8,16,32,64时,an是整数,当n=1或n=64时,a1=a64=65,当n=2或n=32时,a2=a32=34, 当n=4或n=16时,a4=a16=20,当n=8时,a8=16,故B正确,A,C,D错误.故选B. 6.AB　[解析] 数列,2,,2,…,即,,,,…,则此数列的通项公式为an=,A正确,C错误.令=8,解得n=32,故B正确,D错误.故选AB. 7.(1)　(2)(3)(4)(5)　(3)　(4)　(1)　(2)(5) [解析] (1)是常数列且是有穷数列; (2)是无穷摆动数列; (3)是无穷递增数列; (4)是无穷递减数列; (5)是无穷摆动数列. 8.　12　[解析] ∵an=,∴a10==.由an==,得n2+2n-168=0,解得n=12或n=-14(舍去). 9.解:(1)观察数列得第n项加1后是2的n次幂,故应填15,63,且一个通项公式为an=2n-1. (2)观察数列得第n项减1后是n的平方,故应填10,37,且一个通项公式为an=n2+1. (3)观察数列得第n项的分子为1,分母为2n,且奇数项为正、偶数项为负,故应填,-,且一个通项公式为an=(-1)n+1·. (4)观察数列得各项都化为二次根式后,第n项为n的正的平方根,故应填,,且一个通项公式为an=. 10.A　[解析] ∵an=,∴an+1-an=-==>0,∴an+1>an,∴数列{an}是递增数列. 11.ABD　[解析] 对于选项A,B,令-2n2+13n>0,解得0<n<,又n∈N*,所以数列{an}的前6项为正数,从第7项开始后面的项均为负数,故A,B正确;对于C,an=-2+,当n=3时,数列{an}的项取到最大值,函数f(x)=-2x2+13x=-2+,当x=时,函数f(x)取到最大值,故C错误;对于D,令-2n2+13n=-70,解得n=10或n=-(舍去),故-70是该数列的第10项,故D正确.故选ABD. 12.5或6　[解析] ∵数列的最大项为第k项,∴解得5≤k≤6,又k是正整数,∴k=5或6. 13.λ>-6　[解析] ∵{an}是递增数列,且对于任意的n∈N*,都有an=2n2+λn+3成立,∴对于任意的n∈N*,an+1>an,∴2(n+1)2+λ(n+1)+3>2n2+λn+3,得λ>-4n-2,又当n=1时,-4n-2取得最大值-6,∴λ>-6. 14.解:(1)a1==1,a2==2,a3=1,a4=2,a5=1.图象如图①所示. 1 (2)a1=sin+1=sin π+1=1,a2=sin+1=0,a3=sin+1=1,a4=sin+1=2, a5=sin+1=1.图象如图②所示. ② 15.180　　[解析] 该数列的前10项依次是0,2,4,8,12,18,24,32,40,50,则数列中的奇数项依次为,,,,,…,偶数项依次为,,,,,…,所以第19项为=180,该数列的一个通项公式为an= 16.解:an+1-an=-=, 当1≤n≤3时,an+1-an>0,即a1<a2<a3<a4, 当n=4时,an+1-an=0,即a5=a4, 当n≥5时,an+1-an<0,即a5>a6>a7>…, 所以当1≤n≤4(n∈N*)时,{an}为递增数列,当n≥5(n∈N*)时,{an}为递减数列, 所以数列{an}的最大项为a5=a4=. 又a1<a2<0,当n≥3(n∈N*)时,an=≥0, 所以数列{an}的最小项为a1=-1. 学科网（北京）股份有限公司 $