4.1 数列的概念 第1课时 数列的概念与简单表示 课时达标练-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与简单表示 一．选择题 1.(探究点一)(多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是(　　) A.1,,…,,… B.sin,sin,sin,…,sin,… C.-1,-,-,-,…,-,… D.1,,…,,… 2.[探究点二(角度1,2)]若一数列为1,37,314,321,…,则398(　　) A.不在此数列中 B.是这个数列的第13项 C.是这个数列的第14项 D.是这个数列的第15项 3.[探究点二(角度2)]英国传教士伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲,西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题,现有这样一个整除问题:将1到2 025这2 025个数中,被2除余1,且被5除余1的数按从小到大的顺序排成一列,构成数列{an},则a18=(　　) A.161 B.171 C.181 D.191 4.[探究点三(角度2)]数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),若{an}是递增数列,则实数λ的取值范围是(　　) A.[1,+∞) B.(1+log2e,3) C.(-∞,1+log2e] D.(-∞,3) 5.[探究点二(角度2)](多选题)已知n∈N*,给出4个表达式,其中能作为数列:0,1,0,1,0,1,0,1,…的通项公式的是(　　) A.an= B.an= C.an= D.an=|sin| 6.[探究点三(角度3)](多选题)(2025江苏盐城模拟)若数列{an}的通项公式为an=-2n2+13n,则(　　) A.该数列仅有6个正数项 B.该数列有无限多个负数项 C.该数列的最大项就是函数f(x)=-2x2+13x的最大值 D.-70是该数列中的一项 7.设an=+…+(n∈N*),则a2等于(　　) A. B. C. D. 8.(2025广东汕头高三开学考试)已知数列an=(n∈N*),则数列{an}的前100项中的最小项和最大项分别是(　　) A.a1,a100 B.a45,a44 C.a45,a1 D.a44,a100 9.将正整数排成下表: 1 2　3　4 5　6　7　8　9 10　11　12　13　14　15　16 …… 则表中数字2 021出现在(　　) A.第44行第77列 B.第45行第82列 C.第45行第85列 D.第45行第88列 10.(多选题)已知函数f(x)=(x∈R),设数列{an}的通项公式为an=f(n)(n∈N*),则下列选项正确的是(　　) A.f(x)的值域是R B.an的最小值为a1= C.an<1 D.数列{an}是递增数列 二．填空题 11.[探究点三(角度3)]在数列{an}中,an=-n2+8n+9,则数列{an}的最大项是第　　　　　项.  12.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式为an=,则a10=　　　　　,若an=,则n=　　　　　.  13.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式为an=2 021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为　　　　　.  14.已知数列{an}满足an=2n,数列{bn}满足bn=5n+2(n∈N*),若bk是数列{an}中的项,则k的最小值为　　　　　.  三．解答题 15.[探究点二(角度1)]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象: (1)an=2; (2)bn= 16.[探究点二(角度1,2)]已知无穷数列,…. (1)求出这个数列的一个通项公式. (2)该数列在区间内有没有项?若有,有几项? 17.(2025河南驻马店高二检测)已知数列{an}的通项公式为an=. (1)问是不是这个数列的项?如果是,为第几项;如果不是,请说明理由. (2)判断数列{an}的增减性并证明. 参考答案 1.CD　选项C,D既是无穷数列又是递增数列. 2.D　因为1=37×0,37=37×1,314=37×2,321=37×3,所以符合题意的一个通项公式为an=37(n-1). 由37(n-1)=398,解得n=15,所以398是这个数列的第15项. 3.B　由题意可知an-1既是2的倍数,也是5的倍数, 即an-1是10的倍数,则an-1=10(n-1)(n∈N*), 故a18=10×(18-1)+1=171. 4.D　因为数列{an}的通项公式为an=(n-λ)·2n(n=1,2,…),且{an}是递增数列, 所以an<an+1对于∀n∈N*都成立, 所以(n-λ)·2n<(n+1-λ)·2n+1对于∀n∈N*都成立, 即n-λ<2(n+1-λ)对于∀n∈N*都成立, 所以λ<n+2对于∀n∈N*都成立,所以λ<1+2=3,即λ的取值范围是(-∞,3).故选D. 5.ABC　对于A,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件; 对于B,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件; 对于C,n为奇数时,an=0;n为偶数时,an=1,满足条件; 对于D,n=1时,a1=1;n=2时,a2=0,以此类推,不满足条件.故选ABC. 6.ABD　令-2n2+13n>0,解得0<n<,所以数列{an}前6项为正数项,从第7项开始后面的项均为负数项,故A,B正确; 由an=-2,当n=3时,数列{an}取最大值,而对函数f(x)=-2x2+13x,当x=时,取最大值,故C错误; 令-2n2+13n=-70,解得n=10或n=-(舍去),即-70是该数列的第10项,故D正确.故选ABD. 7.C　∵an=+…+(n∈N*), ∴a2=. 8.B　由题可得,an==1+(n∈N*). 因为442<2 024<452, 所以n≤44,n∈N*时,数列{an}单调递增,且an>1;n≥45,n∈N*时,数列{an}单调递增,且an<1. 所以在数列{an}的前100项中最小项和最大项分别是a45,a44. 9.C　因为每行的最后一个数分别为1,4,9,16,…,所以可归纳出第n行的最后一个数为n2,又因为442=1 936<2 021,452=2 025>2 021,所以2 021在第45行,且第45行最后一个数为2 025, 又因为第1行有1个数,第2行有3个数,第3行有5个数,第4行有7个数,…,由此可归纳出第n行有(2n-1)个数,所以第45行共有89个数, 又因为第45行的最后一个数是2 025,即第89个数是2 025, 所以第88个数是2 024,第87个数是2 023,第86个数是2 022,第85个数是2 021.故选C. 10.BCD　由于f(x)==1-<1(x∈R),故A错误; ∵f(x)=(x∈R),∴an=f(n)==1-(n∈N*), ∵an+1-an=(1-)-(1-)=>0, ∴{an}是递增数列,又n∈N*,>0,∴f(1)≤f(n)<1, 即≤f(n)<1, 即an的最小值为a1=,故B,C,D正确.故选BCD. 11.4　an=-n2+8n+9=-(n-4)2+25,当n=4时,an取得最大值. 12.　12　因为an=, 所以a10=. 令an=,得n2+2n-168=0, 解得n=12或n=-14(舍去). 13.673　由an=2 021-3n>0,得n<=673,又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673. 14.6　由题知,{bn}的前6项依次为7,12,17,22,27,32.因为b6=32=25=a5,故k的最小值为6. 15.解列表法给出这两个数列的前5项: n 1 2 3 4 5 an 2 2 2 2 2 bn 1 -4 3 -16 5 它们的图象分别为 16.解(1)∵数列各项的分子依次为4,9,16,25,…,可看成与n有关的关系式(n+1)2,而每一项的分母恰好比分子大1, ∴通项公式的分母可以表示为(n+1)2+1, 故该数列的一个通项公式为an=(n=1,2,…). (2)当≤an≤时,可得,解得2≤n≤5,故数列在内有项,并且有4项. 17.解(1)是这个数列的第17项.理由如下: 由an=,解得n=17, 故是数列{an}中的第17项. (2)数列{an}是递增数列,证明如下: 由题知,an+1-an=. ∵n∈N*,∴n+51>0,n+52>0, 即an+1-an>0, ∴数列{an}是递增数列. 学科网（北京）股份有限公司 $