4.1 第2课时 数列的递推公式与前n项和(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教A版）

第2课时　数列的递推公式与前n项和 【课前预习】 知识点一 递推公式 诊断分析 1.(1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)不是所有的数列都有递推公式.例如精确到1,0.1,0.01,0.001,…的近似值组成的数列为1,1.4,1.41,1.414,…,该数列没有递推公式. (2)由递推公式的定义知,递推公式就是表示数列的相邻两项或多项之间的关系式.数列的递推公式不是关于n的函数关系式. (3)由条件可得a2=2a1-2=4. 2.解:仅由数列{an}的递推公式an=3an-1 (n≥2,n∈N*)只能知道==…==3(n≥2,n∈N*),无法确定这个数列.若再已知a2=3,则可以确定这个数列为1,3,9,27,…,3n-1,…. 知识点二 1.a1+a2+…+an　2.式子　式子　3.S1　Sn-Sn-1 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)√　[解析] (1)a1=S1=3×1+1=4.a4=S4-S3=13-10=3. (2)当n=1时,a1=S1=2,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,则an= (3)S6-S2=a1+a2+a3+a4+a5+a6-(a1+a2)=a3+a4+a5+a6. 【课中探究】 探究点一 例1　解:∵a1=1,an+1=,∴a2==,a3==,a4==,a5==, ∴数列{an}的前5项依次是1,,,,. 数列{an}的前5项可写成,,,,,故数列{an}的一个通项公式为an=,经检验,满足题意. 变式　解:(1)因为a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*, 所以a3=a2+2a1=2+2×1=4,a4=a3+2a2=4+2×2=8,a5=a4+2a3=8+2×4=16, 因此,数列{an}的前5项依次为1,2,4,8,16. (2)因为a1=2,an+1=2-,其中n∈N*, 所以a2=2-=2-=,a3=2-=2-=, a4=2-=2-=,a5=2-=2-=, 因此,数列{an}的前5项依次为2,,,,. 拓展　(1)B　(2)7　[解析] (1)方法一:a3=××a1=××a1=9a1=3. 方法二:由=,可得a2=×=,a3=×=3.故选B. (2)因为a1=,an+1=,所以a2==7,a3==-,a4==-,a5==,…,所以数列{an}是周期为4的数列,所以a2026=a506×4+2=a2=7. 探究点二 例2　(1)A　(2)10　[解析] (1)由数列{an}的前n项和Sn=n2+1,得a8=S8-S7=(82+1)-(72+1)=15.故选A. (2)因为an=,所以a1=1,a2=3,a3=6,所以S3=a1+a2+a3=1+3+6=10. 变式　(1)　(2)-90　[解析] (1)由3a1+32a2+…+3nan=4n2,可得当n=3时,3a1+32a2+33a3=4×32=36,当n=4时,3a1+32a2+33a3+34a4=4×42=64,两式相减得34a4=64-36=28,解得a4=. (2)由Sn= an2,S10=600,得100a=600,解得a=6,故a3 -a5-a6=(S3-S2)-(S5-S4)-(S6-S5)= S3+S4-S2-S6=6×32+6×42-6×22-6×62=-90. 探究点三 例3　解:(1)当n=1时,a1=S1=2-3=-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(2n2-3n)-[2(n-1)2-3(n-1)]=4n-5. ∵a1=-1也适合上式,∴an=4n-5. (2)∵Sn=4-,∴a1=S1=4-=. 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4--4+=. 当n=1时,a1=≠,∴an= 变式　(1)B　(2)　[解析] (1)Sn=3n2-6n,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-6n)-[3(n-1)2-6(n-1)]=6n-9,当n=1时,a1=3-6=-3,满足上式,所以an=6n-9.故选B. (2)因为数列{an}的前n项和Sn=3n-2(n为正整数),所以当n=1时,a1=S1=3-2=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n-2)-(3n-1-2)=2·3n-1,又a1=1不满足上式,所以an= 学科网（北京）股份有限公司 $ 第2课时　数列的递推公式与前n项和 【学习目标】 1.会用递推公式表示数列,能根据数列的递推公式写出数列的前几项. 　　2.了解数列的前n项和,并能利用Sn与an的关系解决一些简单问题. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 知识点一　数列的递推公式 概念:如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的　　　　　.  作用:知道了首项或前几项,以及递推公式,就能求出数列的每一项. 【诊断分析】 1.判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有的数列都有递推公式. (　 ) (2)数列的递推公式是关于n的函数关系式.(　 ) (3)已知数列{an}满足a1=3,an+1=2an-2,则a2=4. (　 ) 2.仅由数列{an}的递推公式an=3an-1 (n≥2,n∈N*)能否确定这个数列?若再已知a2=3呢? ◆ 知识点二　数列的前n项和 1.概念及表示 我们把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和,称为数列{an}的前n项和,记作Sn,即Sn=　　　　　　　　.  2.数列的前n项和公式 如果数列{an}的前n项和Sn与它的序号n之间的对应关系可以用一个　　　　来表示,那么这个　　　　叫作这个数列的前n项和公式.  3.数列{an}的通项公式与前n项和Sn的关系 在数列{an}中,Sn为其前n项和,显然S1=a1,而Sn-1=a1+a2+…+an-1(n≥2),于是an= 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)若数列{an}的前n项和Sn=3n+1,则a1=4,a4=3. (　 ) (2)若数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则an=2n-1. (　 ) (3)若数列{an}的前n项和为Sn,则a3+a4+a5+a6=S6-S2. (　 ) ◆ 探究点一　递推公式 例1 已知数列{an}满足a1=1,an+1=,写出它的前5项,并归纳出数列{an}的一个通项公式. 变式 试分别根据下列条件,写出数列{an}的前5项. (1)a1=1,a2=2,an+2=an+1+2an,其中n∈N*; (2)a1=2,an+1=2-,其中n∈N*. [素养小结] (1)递推公式的作用:已知数列的某一项,利用递推公式可以写出数列的每一项.对于具有周期性的数列,一般利用递推公式写出几项就能发现其周期变化规律. (2)递推公式与通项公式的区别:递推公式揭示了数列的相邻项之间的关系,已知前面的项可以递推出后面的项;通项公式揭示了项与其序号之间的关系,把序号代入通项公式可以直接求出该项. (3)某些用递推公式给出的数列,写出数列的前几项后,由前几项分析其特点、规律,即可归纳总结出数列的一个通项公式. (4)形如an+1-an=f(n)或=f(n)的递推关系,可以利用累加法或累乘法求出通项公式. 拓展 (1)已知数列{an}满足=,且a1=,则a3= (　 ) A.1 B.3 C.9 D. (2)[2026·云南昭通高二质检] 数列{an}中,a1=,an+1=,则a2026=　　　　.  ◆ 探究点二　数列的前n项和 例2 (1)[2025·蚌埠高二联考] 设数列{an}的前n项和Sn=n2+1,则a8的值为 (　 ) A.15 B.16 C.49 D.64 (2)已知数列{an}的通项公式为an=,则数列{an}的前3项和S3=　　　　.  变式 (1)数列{an}满足3a1+32a2+…+3nan=4n2,则a4=　　　　.  (2)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=an2,若S10=600,则a3-a5-a6=　　　　.   [素养小结] 对于已知数列的前n项和公式求数列的某一项问题,主要利用定义解决. ◆ 探究点三　利用数列的前n项和求通项 例3 下面给出了数列{an}的前n项和Sn,求{an}的通项公式. (1)Sn=2n2-3n; (2)Sn=4-. 变式 (1)[2025·榆林高二调研] 已知数列{an}的前n项和为Sn,若Sn=3n2-6n,则数列{an}的通项公式是 (　 ) A.an=3n-6 B.an=6n-9 C.an= D.an= (2)已知数列{an}的前n项和Sn=3n-2(n为正整数),则此数列的通项公式为an=　　　　　.  [素养小结] 已知数列{an}的前n项和Sn求解通项公式时,一般先根据a1=S1求出a1,再根据an=Sn-(n≥2)计算出当n≥2时的通项公式,然后验证a1是否满足上式,由此决定数列{an}的通项公式是否需要分段书写. 学科网（北京）股份有限公司 $