4.1 第1课时 数列的概念与表示(Word讲义)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册学生用书（人教A版）

第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 【课前预习】 知识点一 1.顺序 2.每一个数　a1　a2　an　首项 3.(1){an}　4.(1)有限　无限　(2)大于　小于　相等 诊断分析 (1)√　(2)×　(3)×　[解析] (1)记录的这一列数具有确定的顺序,可以构成数列. (2)数列-1,-,-,-,-,…从第二项起每一项都比它的前一项大,所以是递增数列,又因为它有无穷多项,所以是无穷数列. (3)数列中的项是有顺序的,只有两个数列中的项完全对应相同时才是同一个数列. 知识点二 1.n　通项公式 诊断分析 (1)×　(2)×　(3)√　[解析] (1)由an= 得a3=3×3-2=7,a4=3×23=24,所以a3<a4. (2)函数y=2x-1的图象是一条直线,通项公式为an=2n-1的数列{an}的图象是直线y=2x-1在第一象限内一系列的孤立的点,这些点的横坐标依次是1,2,3,4,…. (3)令an=2n+3=11,解得n=3,所以11是数列{an}中的第三项. 【课中探究】 探究点一 例1　①⑤　②③④⑥　②⑤　①④　③　[解析] ①是有穷递减数列;②是无穷递增数列;③是无穷数列,也是常数列;④是无穷递减数列;⑤是有穷递增数列;⑥是无穷数列. 探究点二 例2　解:(1)令通项公式中的n=1,2,3,4,5,得数列{an}的前5项依次为-,0,,1,,图象如图所示. (2)令通项公式中的n=1,2,3,4,5,得数列{an}的前5项依次为-1,0,1,0,-1,图象如图所示. 探究点三 例3　解:(1)这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n·. (2)该数列的偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n. 观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6,故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5). (3)数列的各项有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数,即,,,,,…,易知该数列的分子为序号的平方,分母都为2,故数列的一个通项公式为an=. 变式1　解:(1)因为5=(10-1),55=(100-1)=(102-1),555=(1000-1)=(103-1),5555=(10 000-1)=(104-1),…,所以该数列的一个通项公式为an=(10n-1). (2)原数列可化为,,,,…,即,,,,…,每个根号里面可分解成两数之积,前一个因数为常数3,后一个因数为2n-1,故原数列的通项公式为an=. 变式2　(1)B　[解析] 已知数列可化为-,,-,,-,…,根据数列各项的规律,可知该数列的通项公式可以为an=.故选B. (2)解:an=,an=,an=,an=等. 探究点四 例4　解:(1)令n=4,得a4=3×16-28×4=-64.令n=6,得a6=3×36-28×6=-60. (2)令3n2-28n=-49,解得n=7或n=(舍去),所以n=7,即-49是该数列的第7项. 令3n2-28n=68,解得n=或n=-2,因为∉N*,-2∉N*,所以68不是该数列的项. (3)令an<0,可得3n 2-28n<0,解得0<n<,因为n∈N*,所以n=1,2,3,4,5,6,7,8,9,所以数列{an}中有9个负数项. 变式　(1)D　(2)2　[解析] (1)将a2=8代入通项公式可得a2=a·32-1=9a-1=8,解得a=1,所以an=3n-1,所以a4=34-1=80,故选D. (2)由题得a2m=3am,又a2m=4m2+4m,am=m2+2m,所以4m2+4m=3m2+6m,解得m=0(舍去)或m=2,故m=2. 拓展　(1)B　(2)C　[解析] (1)an==1+,n∈N*,当1≤n≤6时,2n-13<0,即an<1,当n≥7时,2n-13>0,即an>1.当1≤n≤6时,数列{an}为递减数列,当n≥7时,数列{an}为递减数列,所以数列{an}的最小项为a6,即第6项.故选B. (2)方法一:∵数列{an}是递减数列,∴an>an+1对任意n∈N*恒成立,∴-2n2+λn>-2(n+1)2+λ(n+1)对任意n∈N*恒成立,可得λ<4n+2对任意n∈N*恒成立.∵当n=1时,4n+2取得最小值6,∴λ<6.故选C. 方法二:∵函数f(x)=-2x2+λx的图象开口向下,对称轴方程是x=,∴若数列{an}是递减数列,则只需<,解得λ<6.故选C. 学科网（北京）股份有限公司 $ 第四章　数列 4.1　数列的概念 第1课时　数列的概念与表示 【学习目标】 1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项. 　　2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能用通项公式求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 　　3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数列与函数的共性与差异. 　　　　　 　　　　　 　　　　　 ◆ 知识点一　数列及其有关概念 1.数列 按照确定的　　　　排列的一列数称为数列.  2.数列的项 数列中的　　　　　　叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫作这个数列的第1项,常用符号　　　　表示,第二个位置上的数叫作这个数列的第2项,用　　　　表示……第n个位置上的数叫作这个数列的第n项,用　　　　表示.其中第1项也叫作　　　　.  3.数列的表示 (1)数列的一般形式是a1,a2,…,an,…,简记为　　　　.  (2)表格表示,如下表. n 1 2 3 … an a1 a2 a3 … (3)图象表示,如图. 4.数列的分类 (1)按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数　　　　的数列  无穷数列 项数　　　　的数列  (2)按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起,每一项都　　　　它的前一项的数列  递减数列 从第2项起,每一项都　　　　它的前一项的数列  常数列 各项都　　　　的数列  【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)李萍从6岁到18岁,每年生日那天测量体重,依次排成一列数,可以构成数列. (　 ) (2)数列-1,-,-,-,-,…是递减数列且是无穷数列. (　 ) (3)数列1,3,5,7,9与数列9,7,5,3,1是同一个数列. (　 ) ◆ 知识点二　数列的通项公式 1.定义:如果数列{an}的第n项an与它的序号　　　　之间的对应关系可以用一个式子来表示,那么这个式子叫作这个数列的　　　　　.  2.作用:①求数列的任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. 3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较 函数 数列 定义域 R或R的子集 正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n}) 解析式 y=f(x) an=f(n) 值域 y的取值范围 由自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值构成 表示 方法 解析法、列表法、图象法 通项公式(解析法)、列表法、图象法 【诊断分析】 判断正误.(请在括号中打“√”或“×”) (1)已知数列{an}的通项公式是an=则a3>a4. (　 ) (2)若数列{an}的通项公式为an=2n-1,则数列{an}的图象与函数y=2x-1的图象相同. (　 ) (3)若数列{an}的通项公式是an=2n+3,则11是数列中的项. (　 ) ◆ 探究点一　数列的概念与分类 例1 已知下列数列:①1,0.84,0.842,0.843;②2,4,6,8,10,…,2n,…;③7,7,7,7,…;④,,,,…,,…;⑤1,2,3,4,5,6,7,8,9,10;⑥0,-1,2,-3,4,-5,…. 其中,有穷数列是　　　　,无穷数列是　　　　,递增数列是　　　　,递减数列是　　　　,常数列是　　　　.(填序号)  [素养小结] 判断数列的类型应注意的几个方面:(1)判断一个数列是有穷数列还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的;(2)判断一个数列的单调性一般是根据数列中的an+1与an的大小来判断,即①若数列{an}满足an<an+1,则是递增数列,②若数列{an}满足an>an+1,则是递减数列. ◆ 探究点二　已知通项公式写数列的项 例2 [教材P4例1改编] 根据数列{an}的通项公式,写出数列的前5项,并用图象表示出来. (1)an=n-1; (2)an=sin. [素养小结] 数列{an}的通项公式给出了第n项an与它的位置序号n之间的关系,只要用序号代替公式中的n,就可以求出数列中相应的项. ◆ 探究点三　已知数列的项写通项公式 例3 根据下列各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-,,-,,…; (2)-1,7,-13,19,…; (3),2,,8,,…. 变式1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式: (1)5,55,555,5555,…; (2),3,,,…. 变式2 (1)[2026·成都七中高二检测] 已知数列-,,-,,-,…,则该数列的通项公式可以为an= (　 ) A. B. C. D. (2)请写出数列1,0,1,0,…的至少3个通项公式. [素养小结] 根据数列的前几项猜想数列的通项公式,若所给前几项为分数,则可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几项为正负相间的项,则可用-1的幂进行符号调节.当猜想的难度较大,不易猜出时,可尝试以下方法将数列转化为易于猜想的数列:对数列的各项同时进行加、减、乘、除同一数;对数列各项分别加、减、乘、除该项的项数;将各项分解为若干项的和、差、积、商等形式.如猜想2,5,9,17的通项公式,可采取各项减1变化为1,4,8,16. ◆ 探究点四　数列通项公式的简单应用 例4 已知数列{an}的通项公式为an=3n 2-28n. (1)写出数列{an}的第4项和第6项. (2)-49和68是否为该数列的项? (3)数列{an}中有多少个负数项? 变式 (1)[2026·菏泽高二质检] 已知数列{an}的一个通项公式为an=a·3n-1,且a2=8,则a4= (　 ) A.1 B.2 C.26 D.80 (2)已知数列{an}的通项公式为an=n2+2n,若第2m项是第m项的3倍,则m=　　　　.  [素养小结] 判断某个数是否为数列中的项,需先假设它是数列中的项,然后列方程求解.若方程有正整数解,则该数是数列中的项;若方程无解或解均不是正整数,则该数不是数列中的项. 拓展 (1)[2026·苏州实验中学高二期中] 已知数列{an}的通项公式为an=,n∈N*,则数列{an}的最小项是 (　 ) A.第1项 B.第6项 C.第7项 D.第13项 (2)数列{an}的通项公式为an=-2n2+λn(n∈N*,λ∈R),若{an}是递减数列,则λ的取值范围是 (　 ) A.(-∞,4) B.(-∞,4] C.(-∞,6) D.(-∞,6] 学科网（北京）股份有限公司 $