4.1 第1课时 数列的概念与表示(PPT课件)-【满分思维】2026-2027学年高中数学选择性必修第二册配套课件（人教A版）

4.1 数列的概念 1 第1课时 数列的概念与表示 2 探究点一 数列的概念与分类 探究点二 已知通项公式写数列的项 探究点三 已知数列的项写通项公式 探究点四 数列通项公式的简单应用 ◆ ◆ ◆ 课前预习 课中探究 课后习题 3 【学习目标】 1.了解数列的概念,知道什么是数列,能说出数列的项. 2.了解数列的表示方法,会用表格、图象、通项公式表示数列,能 用通项公式求任意项或根据数列的前几项写出数列的一个通项公式. 3.了解数列与函数的关系,能用函数的观点看待数列,并能说出数 列与函数的共性与差异. 4 知识点一 数列及其有关概念 1.数列 按照确定的______排列的一列数称为数列. 顺序 2.数列的项 数列中的__________叫作这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫 作这个数列的第1项，常用符号____表示，第二个位置上的数叫作这 个数列的第2项，用____表示……第 个位置上的数叫作这个数列的 第 项，用____表示.其中第1项也叫作______. 每一个数 首项 课 前 预 习 5 3.数列的表示 （1）数列的一般形式是，， ，， ，简记为_____. （2）表格表示，如下表. 1 2 3 … … （3）图象表示，如图. 课 前 预 习 6 4.数列的分类 （1）按项的个数分类 类别 含义 有穷数列 项数______的数列 无穷数列 项数______的数列 有限 无限 （2）按项的变化趋势分类 类别 含义 递增数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都______它的前一项的数列 常数列 各项都______的数列 大于 小于 相等 课 前 预 习 7 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）李萍从6岁到18岁，每年生日那天测量体重，依次排成一列数， 可以构成数列.( ) √ [解析] 记录的这一列数具有确定的顺序,可以构成数列. 课 前 预 习 8 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）数列，，，，， 是递减数列且是无穷数列. ( ) × [解析] 数列，，，，， 从第二项起每一项都比它 的前一项大，所以是递增数列， 又因为它有无穷多项，所以是无穷数列. （3）数列1，3，5，7，9与数列9，7，5，3，1是同一个数列.( ) [解析] 数列中的项是有顺序的，只有两个数列中的项完全对应相同 时才是同一个数列. × 课 前 预 习 9 知识点二 数列的通项公式 1.定义：如果数列的第项 与它的序号___之间的对应关系可 以用一个式子来表示，那么这个式子叫作这个数列的__________. 通项公式 2.作用：①求数列的任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. 课 前 预 习 10 3.数列的通项公式与函数解析式的关系比较 函数 数列 定义域 或 的子集 正整数集（或它的有限子集 , 2,3, , ） 解析式 值域 的取值范围 由自变量从小到大依次取值时对应 的一列函数值构成 表示方法 解析法、列表法、 图象法 通项公式（解析法）、列表法、图 象法 课 前 预 习 11 【诊断分析】 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （1）已知数列的通项公式是 则 .( ) × [解析] 由 得，，所以 . 课 前 预 习 12 判断正误.（请在括号中打“√”或“×”） （2）若数列的通项公式为，则数列 的图象与函 数 的图象相同.( ) × [解析] 函数的图象是一条直线，通项公式为 的数列的图象是直线 在第一象限内一系列的孤立的点， 这些点的横坐标依次是1，2，3，4， . （3）若数列的通项公式是 ,则11是数列中的项.( ) √ [解析] 令，解得，所以11是数列 中的第三项. 课 前 预 习 13 探究点一 数列的概念与分类 例1 已知下列数列：,,，；,4,6,8,10， ， ， ；,7,7,7， ；，，，， ，， ； , 2,3,4,5,6,7,8,9,10；，,2，,4，， . 其中，有穷数列是______，无穷数列是__________，递增数列是 ______，递减数列是______，常数列是____.（填序号） ①⑤ ②③④⑥ ②⑤ ①④ ③ [解析] ①是有穷递减数列；②是无穷递增数列；③是无穷数列，也 是常数列；④是无穷递减数列；⑤是有穷递增数列；⑥是无穷数列. 课 中 探 究 14 ［素养小结］ 判断数列的类型应注意的几个方面:（1）判断一个数列是有穷数列 还是无穷数列的关键是判断数列的项数是有限的还是无限的；（2） 判断一个数列的单调性一般是根据数列中的<m></m>与<m></m>的大小来判断， 即①若数列<m></m>满足<m></m>，则是递增数列，②若数列<m></m>满足 <m></m>，则是递减数列. 课 中 探 究 15 探究点二 已知通项公式写数列的项 例2 ［教材P4例1改编］ 根据数列 的通项公式，写出数列的前5 项，并用图象表示出来. （1） ； 解：令通项公式中的 ，2，3，4，5， 得数列的前5项依次为，0，，1， ， 图象如图所示. 课 中 探 究 16 例2 ［教材P4例1改编］ 根据数列 的通项公式，写出数列的前5 项，并用图象表示出来. （2） . 解：令通项公式中的 ，2，3，4，5， 得数列的前5项依次为，0，1，0， ， 图象如图所示. 课 中 探 究 17 ［素养小结］ 数列<m></m>的通项公式给出了第<m></m>项<m></m>与它的位置序号<m></m>之间的关系， 只要用序号代替公式中的<m></m>，就可以求出数列中相应的项. 课 中 探 究 18 探究点三 已知数列的项写通项公式 例3根据下列各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1)-,,-,,…; 解：这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项 为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式为an=(-1)n·. (2)-1,7,-13,19,…; 解：该数列的偶数项为正,奇数项为负,故通项公式必含有因式(-1)n. 观察各项的绝对值,后一项的绝对值总比它前一项的绝对值大6, 故数列的一个通项公式为an=(-1)n(6n-5). 课 中 探 究 19 例3 根据下列各数列前几项的值,写出数列的一个通项公式: (3),2,,8,,…. 解：数列的各项有的是分数,有的是整数,可将数列的各项都统一成分数, 即,,,,,…,易知该数列的分子为序号的平方,分母都为2,故数列的 一个通项公式为an=. 课 中 探 究 20 变式1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （1）5,55,555,5555, ; 解：因为, , , , ,所以该数列的一个通项公式 为 . 课 中 探 究 21 变式1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： （2），3，，， . 解：原数列可化为,,,， ，即， ， ，， ，每个根号里面可分解成两数之积，前一个因 数为常数3，后一个因数为 ，故原数列的通项公式为 . 课 中 探 究 22 变式2（1）[2026·成都七中高二检测] 已知数列-,,-,,-,…,则该数列 的通项公式可以为an= (　 ) A. B. C. D. [解析]已知数列可化为-,,-,,-,…,根据数列各项的规律, 可知该数列的通项公式可以为an=.故选B. √ 课 中 探 究 23 （2）请写出数列1，0，1，0， 的至少3个通项公式. 解：，， ， 等. 课 中 探 究 24 ［素养小结］ 根据数列的前几项猜想数列的通项公式，若所给前几项为分数，则 可分别观察分子组成的数列特征与分母组成的数列特征.若所给前几 项为正负相间的项，则可用<m></m>的幂进行符号调节.当猜想的难度较大， 不易猜出时，可尝试以下方法将数列转化为易于猜想的数列：对数 列的各项同时进行加、减、乘、除同一数；对数列各项分别加、减、 乘、除该项的项数；将各项分解为若干项的和、差、积、商等形式. 如猜想2，5，9，17的通项公式，可采取各项减1变化为1，4，8，16. 课 中 探 究 25 探究点四 数列通项公式的简单应用 例4 已知数列的通项公式为 . （1）写出数列 的第4项和第6项. 解：令,得. 令 ，得 . （2） 和68是否为该数列的项？ 解：令，解得或（舍去），所以 ， 即是该数列的第7项.令，解得或 ， 因为， ，所以68不是该数列的项. 课 中 探 究 26 例4 已知数列的通项公式为 . （3）数列 中有多少个负数项？ 解：令，可得，解得，因为 ， 所以，2，3，4，5，6，7，8，9，所以数列 中有9个负数项. 课 中 探 究 27 变式（1）[2026·菏泽高二质检] 已知数列{an}的一个通项公式为 an=a·3n-1,且a2=8,则a4= (　 ) A.1 B.2 C.26 D.80 [解析]将a2=8代入通项公式可得a2=a·32-1=9a-1=8,解得a=1,所以an=3n-1, 所以a4=34-1=80,故选D. （2）已知数列的通项公式为，若第项是第 项 的3倍，则 ___. 2 [解析] 由题得，又, ， 所以，解得（舍去）或，故 . √ 课 中 探 究 28 ［素养小结］ 判断某个数是否为数列中的项，需先假设它是数列中的项，然后列 方程求解.若方程有正整数解，则该数是数列中的项；若方程无解或 解均不是正整数，则该数不是数列中的项. 课 中 探 究 29 拓展（1）[2026·苏州实验中学高二期中] 已知数列{an}的通项公式为 an=,n∈N*,则数列{an}的最小项是 (　 ) A.第1项 B.第6项 C.第7项 D.第13项 [解析] an==1+,n∈N*,当1≤n≤6时,2n-13<0,即an<1,当n≥7时, 2n-13>0,即an>1. 当1≤n≤6时,数列{an}为递减数列,当n≥7时,数列{an}为递减数列, 所以数列{an}的最小项为a6,即第6项.故选B. √ 课 中 探 究 30 （2）数列的通项公式为 ，若 是递减数列，则 的取值范围是( ) A. B. C. D. [解析] 方法一： 数列是递减数列，对任意 恒成立，对任意 恒成立， 可得对任意恒成立. 当时， 取得最小 值6， .故选C. 方法二： 函数 的图象开口向下，对称轴方程是 ， 若数列是递减数列，则只需，解得 .故选C. √ 课 中 探 究 31 课后习题 32 1.[2026·湖北十堰高二期末]下列说法中正确的是( ) A.数列与数列 是同一数列 B.与集合中的元素要求互异类似，数列的项是不相同的 C.数列可记为 D.若，则数列 是递增数列 √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 33 [解析] 对于选项A，数列是按一定顺序排列的一列数，具有有序性， 数列与 的顺序不同，因此是两个不同的数列，A选项错误； 对于选项B，集合中的元素具有互异性，而数列的项可以相同,B选项 错误； 对于选项C，数列 的通项公式为，而 对应的数列是 ，首项为2，与题目中的首项0不符，C选项错误； 对于选项D，函数 是指数函数，底数，故 单调递增，所以数列 是递增数列，D选项正确. 故选D. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 34 2.下列数列中，既是递增数列又是无穷数列的是( ) A. B. C. D. [解析] 对于A，数列 是递减数列，不符合题意； 对于B，数列 是递减数列，不符合题意； 对于C，数列 既是递增数列又是无穷数列，符合题意； 对于D，数列 是有穷数列，不符合题意.故选C. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 35 3.[2025·天津南开区高二质检]已知数列 的前几项为 则该数列的一个通项公式为( ) A. B. C. D. [解析] 根据题意，数列的前几项为 ，即 ，， ， ，故该数列的一个通项公式为 . 故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 36 4.已知数列的通项公式为则 ( ) A.70 B.28 C.20 D.8 [解析] 由题意得， ，所以 . √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 37 5.[2026·酒泉高二期中]已知数列的通项公式是 ，则下 列各数是数列 的项的是( ) A.18 B.20 C.32 D.66 [解析] 因为， 所以当是64的因数时， 是整数， 当或时，， 当或 时， ， 当或时，，当时， ， 故B正确，A，C，D错误.故选B. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 38 6.（多选题）[2026·广东清远三校高二联考]已知数列 ，则下列说法正确的是( ) A.此数列的通项公式是 B.8是它的第32项 C.此数列的通项公式是 D.8是它的第4项 [解析] 数列，即 ，则此数列的通项 公式为，A正确，C错误. 令，解得 ，故B正确，D错误.故选 . √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 39 7.已知下列数列： （1）；（2）；（3） ； （4）；（5） . 其中有穷数列是_______，无穷数列是______________________，递 增数列是_______，递减数列是_______，常数列是_______，摆动数 列是____________.（填序号） （1） （2）（3）（4）（5） （3） （4） （1） （2）（5） 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 40 [解析] （1）是常数列且是有穷数列； （2）是无穷摆动数列； （3）是无穷递增数列（因为 ）； （4）是无穷递减数列； （5）是无穷摆动数列. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 41 8.已知数列的通项公式为，则____；若 ， 则 ____. 12 [解析] ，. 由 ，得， 解得或 （舍去）． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 42 9.（13分）观察下列数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数， 并写出每个数列的一个通项公式. （1）1，3，7，____，31，____，127， ； 解：观察数列得第项加1后是2的 次幂，故应填15，63，且一个通 项公式为 . （2）2，5，____，17，26，____，50， ； 解：观察数列得第项减1后是 的平方，故应填10，37，且一个通项 公式为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 43 9.（13分）观察下列数列的特点，在每个空白处填入一个适当的数， 并写出每个数列的一个通项公式. （3），，____，，，____，， ； 解：观察数列得第项的分子为1，分母为 ，且奇数项为正、偶数 项为负，故应填，，且一个通项公式为 . （4）1，，____，2，，____，， . 解：观察数列得各项都化为二次根式后，第项为 的正的平方根， 故应填，，且一个通项公式为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 44 10.已知数列的通项公式是 ，那么这个数列是( ) A.递增数列 B.递减数列 C.摆动数列 D.常数列 [解析] ， ，， 数列 是递增数列. √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 45 11.（多选题）[2025·盐城高二检测] 若数列 的通项公式为 ，则( ) A.该数列仅有6项为正数 B.该数列有无限多项为负数 C.该数列的最大项就是函数 的最大值 D. 是该数列中的一项 √ √ √ 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 46 [解析] 对于选项A，B，令，解得 ，又 ，所以数列 的前6项为正数，从第7项开始后面的项均为 负数，故A，B正确； 对于C，，当 时，数列 的项取到最大 值，函数，当时，函数 取到最大值，故C错误； 对于D，令，解得 或（舍去）， 故是该数列的第10项，故D正确.故选 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 47 12.若数列的最大项为第项，则 ______. 5或6 [解析] 数列的最大项为第 项， 解得， 又 是正整数， 或6. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 48 13.已知数列满足，，且 是递增数 列，则实数 的取值范围是________. [解析] 是递增数列，且对于任意的 ，都有 成立， 对于任意的， ， ，得 ， 又当时，取得最大值， ． 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 49 14.（15分）根据数列 的通项公式，写出数列的前5项，并用图象 表示出来. （1） ； ① 解：， ， ，， . 图象如图①所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 50 14.（15分）根据数列 的通项公式，写出数列的前5项，并用图象 表示出来. （2） . ② 解： ， ， ， ， . 图象如图②所示. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 51 15.大衍数列来源于《乾坤谱》中对《易传》“大衍之数五十”的推论， 主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理.数列中的每一项都代 表太极衍生过程中曾经经历过的两仪数量总和.该数列从第一项起依 次是 ，则该数列的第19项为_____，该数 列的一个通项公式为 _ _______________. 180 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 52 [解析] 该数列的前10项依次是 ，则数列中 的奇数项依次为 ，偶数项依次为 ，所以第19项为 ， 该数列的一个通项公式为 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 53 16.（15分）已知数列的通项公式为，试判断数列 的单调性，并判断该数列是否有最大项与最小项. 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 54 解： ， 当时，，即 ， 当时，，即 ， 当时，，即 ， 所以当时，为递增数列，当 时， 为递减数列，所以数列的最大项为 . 又，当时， ， 所以数列的最小项为 . 课 后 习 题 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 55 $