202026-2027学年北师大版九年级数学上册 第一次月考重难点常考题型综合训练卷

2026年第一次月考重难点常考题型综合训练卷北师大版2026—2027学年九年级数学上册 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，填写在答题卡上对应题目的标号内.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.测试范围:北师大版九年级上册第一章、第二章,考试时间:120分钟 试卷满分:120分 一、选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，满分30分） 1．下列方程中，属于一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．已知四边形，，如果添加一个条件即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是（     ） A． B． C． D． 3．若是关于x的方程的解，则a的值为（   ） A． B． C． D． 4．下列说法中不正确的是（    ） A．对角线垂直的平行四边形是菱形 B．对角线相等的平行四边形是矩形 C．菱形的面积等于对角线乘积的一半 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 5．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的值可能是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 6．如图，菱形的对角线，相交于点，过点作于点，连接．若，菱形的面积为48，则的长为（ ） A．3 B．2 C． D． 7．如图，在中，点E、D、F分别在边上，且，．下列四个判断中，不正确的是（   ） A．四边形是平行四边形 B．如果，那么四边形是矩形 C．如果AD平分，那么四边形是菱形 D．如果且，那么四边形是正方形 8．已知一元二次方程的两根分别是，，则一元二次方程的根为（    ） A． B． C． D． 9．若方程中，a，b，c满足和，则方程的根是（    ） A．0，4 B．0， C．，4 D．1，4 10．如图，正方形的对角线上的两个动点M、N，满足，点P是的中点，连接、，若，则的最小值为（    ） A．4 B． C．6 D． 二．填空题（每小题5分，满分20分） 11．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______________． 12．一个三角形的两条边长分别是方程的两根，三角形的周长是12，则该三角形的面积是__________ 13．关于x的方程的解是，（均为常数，），则方程的解是__． 14．若关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0，则a为_____． 15．如图，、为正方形对角线上两点，，，，则的长为________． 16．如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接．若正方形的边长为8，则的最小值为________． 三、解答题:（17、18、19、20、21题每题8分，22、23每题10分，24题12分，共计72分，解答题要有必要的文字说明） 17．解方程： (1)； (2)． 18．在中，，D是的中点，E是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：； (2)证明四边形是菱形． 19．某学校在做参加最美校园评选的准备工作，校园园艺师计划在校园的一块矩形空地上建造一个花坛，要求花坛的面积是矩形面积的一半，其余部分进行智能化改造．九年级八班的同学们负责设计方案，同学们分成了2个大组来进行研究，具体分工与作法如下： ①好学小组测得矩形空地的长是16米，宽是12米． ②创新小组的设计如图所示．在矩形内部设计两条宽度相等的道路用来建造花坛，四周的四个小矩形用来进行智能改造． 请聪明的你用所学的数学知识，帮助创新小组进行计算，当道路的宽是多少时，这样的设计符合要求？ 20．如图，在矩形中，对角线与相交于点O，在的延长线上取一点E，使，连接交于点F，若． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求的长． 21．“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2021年起逐月增加．据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆． (1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？ (2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备再购进A，B两种型号的自行车共50辆，但投入的资金不超过3万元，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？ 22．已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程有两个实数根； (2)若为整数，该方程的两个实数根是否可以都为正整数？请说明理由． 23．定义：如果关于的一元二次方程（，，均为常数，）有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，则称这样的方程为“邻根方程”． (1)下列方程中，按上述定义 （填序号）是“邻根方程”． ①；②；③． (2)若是“邻根方程”，求的值． (3)若一元二次方程（，，均为常数，）为“邻根方程”，求出，，应满足的数量关系． 24．【问题提出】 （1）如图1，正方形的边长为6，M是对角线上的一个动点，是边的中点，连接，，则在点M的运动过程中，的最小值为______． 【问题探究】 （2）如图2，四边形是菱形，，M，N是对角线上的动点，的长度为4且始终保持不变，连接，，求的最小值．    【问题解决】 （3） 某国防教育基地在操场训练军体拳，要求训练方阵为正方形，如图3．为了效果更好，站在边处的学生队伍要平分，其中，教学生军体拳的主教官站在点D处，另外两位教官分别在边上的点M处和边上的点N处指导纠正学生的动作，即M，N分别为边，上的动点．通过记录并计算，得到的最小值为，请你计算学生训练方阵正方形的边长． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A D A A D D C D 11．且/且 【详解】解：∵该方程是关于x的一元二次方程， ∴， ∵方程有两个不相等的实数根， ∴根的判别式计算得， ∴， 解得， 综上，m的取值范围是且． 12．6 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得或， ∴该三角形的两条边的长分别3、4， ∵该三角形的周长是12， ∴该三角形的第三边长为， ∵， ∴该三角形为直角三角形， ∴该三角形的面积， 故答案为：6． 13． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的方程的解是， ∴或 ∴方程的解是 故答案为： 14．2． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程（a+2）x2+x+a2﹣4=0的一个根是0， ∴a2﹣4=0且a+2≠0， 解得 a=2， 故答案为：2． 15． 【详解】解：如图所示，在正方形中，将绕点顺时针旋转，得到，连接， ∴，， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， 由勾股定理得，， ∴的长为， 故答案为：． 16． 17．【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； （2）解： ∴或 ∴，． 18．(1)证明：， 是的中点， 在与中， (2)证明：由（1）可知，， 是的中点， 四边形是平行四边形， 又为直角三角形，D是的中点， 四边形是菱形． 19．【详解】解：设道路的宽为x米时符合设计要求，则 ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴道路的宽为4米时符合设计要求． 20．(1)证明：∵矩形， ∴，， ∵， ∴，， ∴四边形是平行四边形； （2）解：的长为4． 21．【详解】（1）解：设该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率为x，根据题意得： ， ∴， ∵， ∴， 解得， 故该商城4月份卖出自行车数量为：（辆）． （2）解：设A型车购进a辆，B型车购进辆时，总利润为y元， 根据题意得：， ∵，解得， 又因为，y随a的增大而减小， 所以，当a取最小值40时，y有最大值． ∴A型车购进40辆，B型车购进10辆时，该商城利润最大． 22．(1)证明：∵该方程是关于的一元二次方程， ∴ ∴该方程有两个不相等的实数根，即有两个实数根； (2)解：可以，理由如下： 由求根公式得， ∴， ∵为整数，且方程的两个实数根都为正整数， ∴为正整数 ∴为整数，且 ∵为整数， ∴的可能取值为， 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，两根为和，均为正整数； 当时，，不符合要求； 当时，，不符合要求 ∴该方程的两个实数根可以都为正整数． 23．【详解】（1）解：①解方程得，， ， 方程是“邻根方程”； ②解方程得， ， 方程不是“邻根方程”； ③解方程得，， ， 方程是“邻根方程”． 综上可知，“邻根方程”为：①③． （2）解：解方程得：，， 该方程是“邻根方程”， 或， 解得：或． （3）解：一元二次方程为“邻根方程”， ∴， 设方程的两个根为、，则，，， ∴， ∴， ∴． 24．【详解】解：（1）如图1，连接，，    ∵正方形的边长为6，是边的中点， ∴，，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为， 故答案为：． （2）如图2和图3，过点作，且使得，连接，与交于点，    ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， ∴， 在图2和图3中，都有，， ∴四边形是平行四边形，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 即的最小值为． （3）如图4，在上取一点，使得，连接，与交于点，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，最小值为， ∵的最小值为， ∴， ∴， 即学生训练方阵正方形的边长为16． 学科网（北京）股份有限公司 $