1.5 等腰三角形 同步练习 2026-2027学年苏科版八年级数学上册

苏科版八年级数学上 1.5等腰三角形（同步练习） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．（25-26八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，点在边上，连接，，若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 2．（26-27九年级上·福建莆田·阶段检测）如图，将绕点C顺时针旋转得，若，则下列说法不一定正确的是（     ） A． B． C． D．与的夹角是 3．（25-26九年级上·陕西西安·期中）如图，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别是点，点在同一条直线上，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 4．（26-27八年级上·江苏南京·单元测试）如图，在中，是的垂直平分线，且，，则的度数为（ ） A． B． C． D． 5．（26-27九年级上·四川达州·开学考试）如图，在中，分别以点B和点C为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点M，N．作直线，交于点D，交于点E，连接．若，则(     ) A． B． C． D． 6．（25-26八年级上·辽宁大连·期末）将含角的直角三角尺和直尺按如图所示的方式放置，若，点A，B表示的刻度分别为，，则的长为（     ） A． B． C． D． 7．（25-26八年级上·辽宁铁岭·期末）如图，在中，，，直角的顶点P是的中点，两边，分别交于点E，F，连接交于点G，给出以下五个结论： ①； ②； ③； ④是等腰直角三角形； ⑤四边形的面积是面积的一半． 其中正确的结论是（     ） A．①②③④ B．①②③⑤ C．①②④⑤ D．①②③④⑤ 8．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，等腰三角形的底边的长为，面积为，腰的垂直平分线分别交，于点，若为底边的中点，为线段上一动点，则的周长的最小值为（   ）． A．6 B．8 C．10 D．12 二、填空题 9．（25-26八年级上·内蒙古鄂尔多斯·阶段检测）一等腰三角形的周长是，若其中一边长为，则其他两边长为_________． 10．（25-26九年级上·陕西咸阳·阶段检测）如图，已知方格纸中为4个相同的小正方形，则_____． 11．（26-27九年级上·湖南·阶段检测）如图，在中，点是斜边的中点，，则________． 12．（26-27八年级上·湖北·期中）如图，，，，，垂足分别为，若，则的长为_____． 13．（26-27八年级上·内蒙古·单元测试）如图，为的边上一点，且，平分，与相交于点，．若，，则的长为_________________． 14．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）如图，在中，，，点是边上的一点，过点作交的延长线于点，延长至点，使得，连接交于点，若，，则的面积为______． 15．（25-26八年级下·陕西咸阳·阶段检测）如图，在四边形中，，，，连接、相交于点，点在边上，连接交于点，．若，则的长为________． 16．（25-26七年级下·四川达州·期末）如图，中，，，的垂直平分线分别交，边于，点，若点为的中点，点为线段上一动点，当周长取得最小值为时，的面积为__________ ． 三、解答题 17．（26-27八年级上·广东汕头·阶段检测）如图，在中，于点，于点，，，与相交于点． (1)求证：； (2)求证：． 18．（26-27八年级上·湖南长沙·阶段检测）如图，在中，是高，点是边的中点，点在边的延长线上，的延长线交于点，且，若． (1)求证：是等边三角形； (2)若，求的长． 19．（25-26七年级下·辽宁鞍山·期末）如图，点C在线段上，． (1)找出一个与全等的三角形，并说明理由； (2)若，求的度数． 20．（25-26八年级上·广东汕头·期末）如图，点O是等边内一点，，，也是等边三角形． (1)求证：； (2)当时，试判断的形状，并说明理由； (3)探究：当为多少度时，是直角三角形？ 21．（25-26八年级上·山西吕梁·期末）综合与探究 问题情境：在等边三角形中，是折线上的动点，为射线上任意一点，且． (1)初步探究：如图①，当动点在边上时，连接，，求证：； (2)如图②，当动点是边的中点时，则________（选填“”，“”或“”）； (3)深入探究：如图③，当动点在边上时，求证：． (4)连接，若，是直角三角形，直接写出的长． 22．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期末）【问题背景】 如图1，在中，已知，，是的高，，，过点C的直线．动点D从点C开始沿射线方向以的速度运动，动点E也同时从点C开始在直线上以的速度向远离C点的方向运动，连接、，设运动时间为秒． 【思考尝试】 (1)请直接写出、的长度（用含有t的代数式表示）： ______________， ______________．当t为多少时，的面积为？ 【深入探究】 (2)①如图2，当点D在线段上，且时，是否与全等？说明理由：此时的值为多少？ ②请利用备用图探究，当点D在线段的延长线上，且时，与有什么数量关系？请说明理由． 23．（25-26八年级下·山东菏泽·期末）在中，，，把一块含角的三角尺的直角顶点放在的中点上（三角尺的短直角边为，长直角边为），将三角尺绕点按逆时针方向旋转． (1)在图①中，交于点，交于点． ①求证：； ②在这一过程中，三角尺与的重叠部分为四边形，请说明四边形的面积是否发生变化，若发生变化，请说明是如何变化的；若不发生变化，求出其面积． (2)将三角尺继续旋转至如图②的位置，延长交于点，延长交于点，是否仍然成立？若成立，请给出证明．若不成立，请说明理由． (3)继续旋转至如图③的位置，延长交于点，延长交于点，将三角尺绕点按逆时针方向任意旋转的过程中，连接， ①判断的形状是否发生变化，若不变化，直接写出它的形状； ②的面积是否存在最小值？若存在，直接写出面积的最小值． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 《苏科版八年级数学上 1.5等腰三角形（同步练习）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D A D C B C C B 1．D 【分析】利用“等角对等边”可得，与相加即可求出． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 2．A 【分析】由旋转的性质得出，，，与的夹角是．再由直角三角形两个锐角互余得出，进而可得出，即可得出答案． 【详解】解：由旋转的性质可知：，，，与的夹角是． ∵， ∴， ∴， ∴， 故选项B，C，D正确， ∵，的大小未知， ∴不一定等于． 3．D 【分析】先根据旋转的性质得，再根据等腰三角形的性质得出答案． 【详解】解：根据旋转的性质得， ∴． 4．C 【分析】设的度数为，根据垂直平分线性质得，则，根据三角形外角性质得，再根据得，然后根据得，最后由三角形内角和定理得，由此解出即可得出答案． 【详解】解：设的度数为， 是的垂直平分线， ， ． ． ， ． 又， ． 在中，由三角形内角和定理得：， ，解得， 的度数为． 5．B 【分析】根据题意中尺规作图可知是线段的垂直平分线，从而，再由三线合一与直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：由作图可得是线段的垂直平分线， ，， ，， ． 6．C 【分析】根据平行线的性质求出，得到，然后利用含30度角直角三角形的性质求出，进而求解即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 7．C 【分析】根据等腰直角三角形的性质得：，，，平分．所以可证；；．即证得．根据全等三角形性质判断结论是否正确，根据全等三角形的面积相等可得的面积等于的面积，然后求出四边形的面积等于的面积的一半． 【详解】解：∵，， ∴，故①正确； ∵直角的顶点P是的中点， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴是等腰直角三角形；故②④正确； ∵， ∴， ∴， 即四边形的面积是面积的一半，故⑤正确； ∵，的长度随E、F的位置变化，只有E、F为中点时才相等， ∴一般情况下，故③错误； 故正确的有①②④⑤，共4个． 8．B 【分析】连接，根据等腰三角形三线合一的性质得出，利用三角形面积公式求出的长，再根据线段垂直平分线的性质得出，将的周长转化为，利用两点之间线段最短可知当，，三点共线时周长最小，最小值为，由此求解． 【详解】解：连接，，如图， 是等腰三角形，点是底边的中点， ， ，且， ，解得， 是线段的垂直平分线，点在上， ， 的周长， 为定值， 要使的周长最小，只需最小， 根据两点之间线段最短，当，，三点共线时，取得最小值，最小值为的长， 的周长的最小值． 9． 或 【分析】题目中给出的边长可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需要分两种情况计算，再根据三角形三边关系验证能否构成三角形． 【详解】解：分两种情况进行计算： 情况1：当为腰长时，底边长为 ， 此时三角形三边长为 ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为， ； 情况2：当为底边长时，腰长为， 此时三角形三边长为，， ， ，符合三角形三边关系， 此时另两边长为 ； 综上，该等腰三角形的其他两边长为或． 10． /度 【分析】观察图形可知所在的三角形为等腰直角三角形，故；通过证明，得出与相等，结合直角三角形两锐角互余可得，从而求解 ． 【详解】 解：设小正方形的边长为1 如图， 在中，，， 是等腰直角三角形． ． 在和中， ， ． ． 在中，， ． ． 11． 【分析】根据直角三角形的斜边中线定理可得，，推出，即可求解． 【详解】解：在中，点是斜边的中点， ，， ， ． 12． 【分析】由，，可以得到，再根据，可以得到，从而求得，然后利用全等三角形的性质可以求得的长． 【详解】解：，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ，． ， ． 13．1 【分析】由等腰三角形的性质得，再由，可得，则，即可求解． 【详解】解：平分，， ∴， ∴， ， ， ∴， ∴． 14． 【分析】过点作于，根据直角三角形两锐角互余的性质得出，进而证明，得出，，，根据得出，进而证明，得出，进而得出，根据三角形面积公式即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作于， ∵，， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．2 【分析】首先根据、，可证是等边三角形，再证是线段的垂直平分线，根据等边三角形的三线合一定理可证，根据平行线的性质可证，从而可得，根据平行线的性质可证是等边三角形，根据等边三角形的性质可知． 【详解】解：∵、， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴是等边三角形， ∴． 16． 【分析】根据线段的垂直平分线的性质可知，，周长转化为，当，，三点共线时，周长取得最小值，从而解得，即可求解的面积． 【详解】解：连接，， ∵是的垂直平分线， ∴， ∵点为的中点， ∴， 周长， 当，，三点共线时，周长取得最小值， 此时，周长最小值， 解得， 的面积． 17．(1)证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即． 在和中， ， ∴； (2)证明：∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【分析】（1）由和可以证明，，即可求解． （2）由全等三角形的性质即可得到，再由即可求证． 【详解】（1）略 （2）略 18．(1)证明：∵，点是边的中点， ∴垂直平分， ∴， ∴是等腰三角形 ∵， ∴． ∵， ∴， ∴是等边三角形． (2) 【分析】（1）根据线段垂直平分线的判定与性质求出，根据直角三角形的性质求出，根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得解； （2）根据直角三角形的性质得出，再根据等边三角形的性质即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得，， ∴在中，． ∵， ∴． ∵点是边的中点， ∴， ∵是等边三角形， ∴． 19．(1)．理由如下： ∵， ∴， 在和中， ， ∴， (2) 【分析】（1）根据平行线的性质可得，即可求证； （2）根据全等三角形的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，的度数，即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）得：， ∴． ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 20．(1)证明：∵等边， ∴，， ∵等边， ∴，， ， ∵ ∴． (2)解：是等边三角形．理由如下： ∵， ∴， ∵等边， ∴， ， ， ， ， , 故是等边三角形． (3)或 【分析】（1）利用等边三角形的性质，结合原理，证明全等即可； （2）根据周角，等边三角形的判定和性质，四边形内角和，解答即可； （3）根据是直角三角形，结合三角形全等的性质，分三种情况求解即可． 【详解】（1）略． （2）略． （3）解：∵等边， ∴， 是直角三角形， 当时，根据题意，得， ， ， 故； 当时， ， 故； 当时，根据题意，得， ， ， ∵等边， ∴， ∵， ∴，， ， ， 矛盾， 故此情形不成立， 综上所述，当或时；是直角三角形． 21．(1)证明：是等边三角形， ． ， 为等边三角形， ， ，即． ， ， ． 在和中， ， ； (2) (3)证明：过点作，交于， 是等边三角形，， ∴， ∴，即①． ②，③， 由①②③知，， ． ， ． (4)的长为或 【分析】（1） 利用等边与推出两个等边三角形，得到边、角相等，通过证； （2） 结合中点、等边、等腰三角形角度推导，证； （3） 作平行线构造小等边三角形，用证全等，推导出； （4） 分、两类讨论，结合等边边长与等腰性质计算长度． 【详解】（1）略 （2）解：为等边三角形，是中点， ， ， ． ， ． ． 为AC中点，， ． （3）略 （4）解：已知，为直角三角形，分情况讨论： ①当时，如图， 是的中线， ， 由（1）知，， ； ②当时，如图， ． ， ， 由（3）知，， ； 综上，的长为或． 22．(1)；；或 (2)①，， 理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴， ∴； ②，理由如下， 如图，， ， ， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ， ， ． 【分析】（1）根据运动速度和已知条件表示出和，分两种情况：当点D在线段上时，当点D在CB延长线上时，根据三角形面积公式列出关于t的方程，解方程即可； （2）①根据“”证明三角形全等即可；根据全等三角形的性质得出，再根据线段间的数量关系进行求解即可； ②证明，得出，根据线段间数量关系，即可得出答案． 【详解】（1）解：由题意得，，， 当点D在线段上时，， ， ， ， 解得：； 当点D在延长线上时，， ， ∴， 解得：； 综上，当t为或时，的面积为； （2）解：①略 ②略 23．(1)①证明：连接． 是等腰直角三角形，，，为中点， ∴，，，， ∴， ∴ ． 在与中， ， ． ②四边形的面积不发生变化． 由①知． ， ． ∵，点D是的中点， ∴， 四边形的面积为． (2)解：仍然成立．证明如下： 连接． 由①知，，， ∴，即 ． (3) ①解：的形状不变，是等腰直角三角形，理由略 ②的面积存在最小值，最小值为 【分析】（1）①连接，根据等腰三角形的性质得到，，，根据同角的余角相等得到，即可证明，从而得证结论； ②由得到，因此，求出的面积，得出的面积，即可解答； （2）连接，同（1）证明即可； （3）①连接，根据对顶角相等得到，由（1）①得到，因此是等腰直角三角形； ②由得到当时取得最小值，此时的面积最小．根据的面积求出的最小值，即可解答． 【详解】（1）略 （2）略 （3）①的形状不变，是等腰直角三角形，理由如下： 连接， ∵， ∴， 由（1）①有， ∴， ∴是等腰直角三角形． ②解：∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴若，则取得最小值，此时的面积最小． 当时，， ∵，， ∴， ∴， ∴的最小值为1，的面积最小为． 答案第1页（共2页） 答案第1页（共2页） 学科网（北京）股份有限公司 $