精品解析：山东聊城第二中学2025-2026学年高三上学期第二次月考数学试题

聊城二中2023级高三上学期第二次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 4 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 4. （ ） A. B. C. D. 0 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 6. 当时，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 由于我国政府在新冠疫情方面控制的较好，各行各业都陆续复工复产，商丘豫东综合物流产业集聚区复工也在进行时.某公司要在此物流园区租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A. 5千米处 B. 4千米处 C. 3千米处 D. 2千米处 8. 已知等边三角形的边长为6，点满足，则（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知，，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 11. 已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值______________． 13. 函数的定义域是______. 14. 已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为______． 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）在上图直角坐标系中画出的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结果）. ①的单调增区间； ②若方程有三个不等实根，实数的取值范围． 16. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元．根据市场调查，经销商一次订购量不会超过件． （1）设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本） 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 19. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 聊城二中2023级高三上学期第二次月考数学试题 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若复数满足，则的虚部为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】利用复数除法计算出，从而得到虚部. 【详解】因为， 所以， 所以的虚部为3． 故选：B． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先用列举法表示集合A，根据交集的定义即得解 【详解】由题意，， 根据交集的定义， 故选：A 3. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用存在量词命题的否定方法判断作答. 【详解】命题“，”为存在量词命题，其否定是全称量词命题， 所以命题“，”的否定为：，． 故选：D 4. （ ） A. B. C. D. 0 【答案】C 【解析】 【分析】由两角差的正弦公式即特殊角的三角函数即可计算得解； 【详解】， 故选：C. 5. 已知，，若，则实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量平行的坐标表示可构造方程求得结果. 【详解】由，得：， ，，解得：. 故选：C. 6. 当时，，则下列大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出导函数，可得数在内单调递增，根据函数的单调性可判断出函数值的大小. 【详解】根据得到，因为， 当时，，从而可得，所以函数在内单调递增， 所以， 而，所以有. 故选：D. 7. 由于我国政府在新冠疫情方面控制的较好，各行各业都陆续复工复产，商丘豫东综合物流产业集聚区复工也在进行时.某公司要在此物流园区租地建仓库，每月土地占用费与仓库到车站的距离成反比，而每月库存货物的运费与仓库到车站的距离成正比，如果在距离车站10千米处建仓库，这两项费用和分别为2万元和8万元，那么，要使这两项费用之和最小，仓库应建在离车站( ) A. 5千米处 B. 4千米处 C. 3千米处 D. 2千米处 【答案】A 【解析】 【分析】结合已知条件分别求出、与仓库到车站的距离的关系式，然后利用均值不等式求解即可. 【详解】不妨设仓库到车站的距离为千米， 根据题意可设，，， 又因为时，，，所以，， 从而， 当且仅当时，即时，不等式取等号，即两项费用之和最小， 故仓库赢建在离车站5千米处. 故选：A. 8. 已知等边三角形的边长为6，点满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】判断出点的位置，解直角三角形求得. 【详解】依题意，， 设是中点，连接， 由于三角形是等边三角形，所以，， 由于，所以， 所以四边形是矩形， 所以， 中，， 即 故选：C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【分析】利用余弦二倍角公式化简，可得判断AB，利用正切的二倍角公式化简可判断C，利用特殊角的函数值化简可判断D. 【详解】对于A：，故A正确； 对于B：，故B错误； 对于C：因为， 所以， 解得或（舍去）， 所以，故C错误； 对于D：，故D正确； 故选:AD． 10. 已知，，则下列结论正确的是（     ） A. B. C. 与的夹角为 D. 在方向上的投影向量是 【答案】AC 【解析】 【分析】A.利用平面向量的数量积运算求解判断；B.利用平面向量的模公式求解判断；C.利用平面向量夹角公式求解判断；D.利用平面向量的投影向量的定义求解判断. 【详解】解：因为，， 所以，则，所以，故A正确； ，所以，故B错误； ，因为，所以，故C正确； 在方向上的投影向量是，故D错误； 故选：AC 11. 已知函数的定义域为，，且函数为偶函数，则下面说法一定成立的是（ ） A. 是奇函数 B. C. 的图象关于对称 D. 【答案】AC 【解析】 【分析】选项C，由于函数为偶函数，得到，进而替换变量得到，判断即可；选项A，由于，变量替换后得到，结合已知，即可判断奇偶性；选项B，已知，得到，变量替换后得到，得到函数的周期性，进而求得结果；选项D，已知，得到，，同样利用函数的周期性得到，即可求得结果. 【详解】对于选项C，是偶函数，得：， 将替换为，得：， 所以函数关于直线对称，选项C正确； 对于选项A，因为，将替换为，得：， 又因为，即， ，是奇函数，选项A正确； 对于选项B，，将替换为， 得：，所以4为函数的周期， 又因为是奇函数，且函数的定义域为，， ，选项B错误. 对于选项D，由已知， 分别代入，得：，， ， 同时4为的周期，，选项D错误. 故选：AC. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 求值______________． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用正弦的倍角公式进行求值即可得解. 【详解】. 故答案为： 13. 函数的定义域是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据给定函数有意义直接列出不等式组，解不等式组可得答案. 【详解】要使有意义，只需，解得， 故函数的定义域为， 故答案为： 14. 已知点G是的重心，过点G作直线分别与两边相交于点M，N两点（点M，N与点B，C不重合），设，，则的最小值为______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据三角形重心及加法、数乘运算得到，由向量共线的推论得，再应用基本不等式“1”的代换求目标式的最小值，注意等号成立条件. 【详解】由题设， 又共线，如下图，则，即，故， 而，则， 所以， 仅当，即时等号成立， 所以目标式最小值为4. 故答案为：4 四、解答题：本题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知函数是定义在上的奇函数，且当时，. （1）当时，求的解析式； （2）在上图直角坐标系中画出的图像，并且根据图像回答下列问题（直接写出结果）. ①的单调增区间； ②若方程有三个不等实根，实数的取值范围． 【答案】（1）当时，；（2）①的单调增区间；②的取值范围. 【解析】 【分析】（1）当时，，，即可得解； （2）根据二次函数作图方式作图，结合图象可得单调增区间和实数的取值范围 【详解】（1）函数是定义在上的奇函数，且当时，， 当时，，， 所以当时，； （2）如图所示： ①的单调增区间； ②若方程有三个不等实根，实数的取值范围. 【点睛】此题考查根据函数的奇偶性求解函数解析式，作函数图象并根据图象得单调区间，根据根的个数求参数取值范围. 16. 某服装厂生产一种服装，每件服装的成本为元，出厂单价定为元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过件时，每多订购一件，订购的全部服装的出厂单价就降低元．根据市场调查，经销商一次订购量不会超过件． （1）设一次订购量为件，服装的实际出厂单价为元，写出函数的表达式； （2）当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润是多少元？（服装厂售出一件服装的利润=实际出厂单价-成本） 【答案】（1） （2）元 【解析】 【分析】（1）服装的实际出厂单价为，应按和两类分别计算，分别求出函数解析式； （2）由（1）可求出销售商一次订购了件服装时的出厂价，即为所求；也可列出当销售商一次订购件服装时，该服装厂获得的利润函数，再求时的函数值． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 所以. 【小问2详解】 解：设销售商的一次订购量为件时，工厂获得的利润为元， 则， 当时（元）， 因此，当销售商一次订购了件服装时，该厂获利的利润是元． 17. 在中，角所对的边分别为，已知. （1）若，求角的大小； （2）若，求边上的高. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理求得，再判断角的范围,即可求得角； （2）先由余弦定理求出角，再借助于直角三角形中三角函数的定义计算即得. 【小问1详解】 由正弦定理，，即， 因，故,即是锐角，故； 【小问2详解】 如图，由余弦定理，， 知角是锐角，则， 作于点，在中，, 即边上的高是. 18. 已知函数. （1）求函数的最小正周期及单调增区间； （2）若，求函数的值域． 【答案】（1）；增区间， （2） 【解析】 【分析】（1）利用三角恒等变换，化简得 ，再根据正弦函数的周期性及单调性求解即可； （2）由 得 ，利用正弦函数的单调性与最值可求函数 的值域. 【小问1详解】 因为 ， 所以 的最小正周期 ； 令 ， ，得 ，， 故增区间为，. 【小问2详解】 由 ，得 ，所以 故 ， 所以值域为 . 19. 定义：若一个函数存在极大值，且该极大值为负数，则称这个函数为“函数”． （1）判断函数是否为“函数”，并说明理由； （2）若函数是“函数”，求实数的取值范围； （3）已知，，、，求证：当，且时，函数是“函数”． 【答案】（1）是“函数”，理由见解析；（2）；（3）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）利用导数求出函数的极大值，结合题中定义判断即可； （2）分和两种情况讨论，利用导数分析函数的单调性，利用题中定义得出关于的不等式，进而可解得实数的取值范围； （3）求出函数的导数，利用导数分析函数的单调性，设函数的极值点分别为、，可知、是方程的两根，进而可列出韦达定理，结合韦达定理证明出函数的极大值为负数，由此可证得结论. 【详解】（1）函数是“函数”，理由如下： 因为，则， 当时，；当时，， 所以函数的极大值，故函数是“函数”； （2）函数的定义域为，. 当时，，函数单调递增，无极大值，不满足题意； 当时，当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 所以函数的极大值为， 易知，解得， 因此，实数的取值范围是； （3） ，因为，，则， 所以有两个不等实根，设为、， 因为，所以，，不妨设， 当时，，则函数单调递增； 当时，，则函数单调递减. 所以函数的极大值为， 由得， 因为，， 所以 ． 所以函数是“函数”． 【点睛】本题考查函数的新定义“函数”的应用，考查利用导数求函数的极值、利用极值求参数，同时也考查了利用导数证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，属于中等题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $