第12章 函数与一次函数（举一反三讲义）数学新教材沪科版八年级上册

第12章 函数与一次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 函数的相关概念】 2 【题型2 求自变量的取值范围】 3 【题型3 求函数值或自变量的值】 4 【题型4 一次函数的概念】 5 【题型5 由解析式判断经过的象限】 7 【题型6 求一次函数与坐标轴交点】 8 【题型7 用待定系数法求解析式】 10 【题型8 判断一次函数的增减性】 12 【题型9 比较一次函数值的大小】 13 【题型10 一次函数图象的平移】 15 【题型11 列一次函数解析式并求值】 17 【题型12 一次函数与一元一次方程】 19 【题型13 一次函数与一元一次不等式(组)】 21 【题型14 一次函数与二元一次方程(组)综合】 23 【进阶拔高】 26 【题型15 已知经过象限求参数范围】 26 【题型16 根据增减性求参数】 28 【题型17 一次函数图象与对称问题】 30 【题型18 一次函数与几何面积综合】 32 【题型19 一次函数实际应用（行程类）】 35 【题型20 一次函数实际应用（方案类）】 41 【题型21 一次函数实际应用（利润类）】 47 【题型22 一次函数实际应用（梯度计价类）】 51 【题型23 从函数图象获取信息】 57 【题型24 一次函数的规律探究】 60 【创新思辨】 66 【题型25 一次函数中的定值问题】 66 【题型26 动点问题的函数图象】 74 【题型27 一次函数含参分类讨论】 78 【题型28 一次函数与角度计算综合】 82 【题型29 一次函数实际应用综合】 90 【题型30 一次函数与轴对称综合】 98 【题型31 多个一次函数图象综合】 104 【题型32 含绝对值的一次函数】 108 【题型33 一次函数与面积综合】 114 【夯实基础】 【题型1 函数的相关概念】 【例1】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数定义，利用垂线法判断图象与垂直于 轴的直线的交点个数. 【详解】解：根据函数的定义，对于 的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应， 选项 A、B、D 的图象中，任意作垂直于 轴的直线，与图象均只有一个交点， ∴ 选项 A、B、D 中 是 的函数， ∵ 选项 C 的图象中，存在垂直于 轴的直线与图象有两个交点， ∴ 选项 C 中 不是 的函数. 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 【答案】C 【详解】解：∵篱笆总长为， ∴，为常量； ∵长方形一边长为，则另一边得长为， ∴面积，可取不同数值，随的变化而变化，故变量为和． 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）李明到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购买矿泉水数量的变化而变化，则其中的常量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额和单价 D．金额和数量 【答案】B 【分析】常量是指在研究过程中，保持不变的量，根据题意进行判断即可． 【详解】解：∵付款金额随购物数量的变化而变化， ∴数量和金额是变量， 又∵矿泉水的单价固定不变， ∴单价是常量． 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：选项A中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项B中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数； 选项C中，，任取一个大于0的x值，例如，y对应和两个值，不满足y有唯一确定值和x对应的要求，不能表示y是x的函数； 选项D中，y有唯一确定值和x对应，能表示y是x的函数． 【题型2 求自变量的取值范围】 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【答案】C 【详解】解：要使函数有意义，需，即自变量的取值范围是的一切实数． 【变式2-1】（25-26八年级下·河北邢台·期末）在函数中，自变量的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据二次根式有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的不等式，求解不等式即可得到自变量的取值范围． 【详解】解：由题意，得 ， 移项得， 系数化为得． 【变式2-2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）函数的自变量的取值范围是________； 【答案】且 【分析】函数同时含有分式和二次根式，需满足分式分母不为0，二次根式的被开方数为非负数，列出不等式组即可求解自变量的取值范围． 【详解】解：∵函数， ∴， ∴自变量的取值范围是且． 【变式2-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）函数的定义域是_____． 【答案】 【详解】解：要使函数有意义，需满足二次根式被开方数为非负数，且分式的分母不为零. ∴可得不等式：， 解不等式得， ∴定义域为． 【题型3 求函数值或自变量的值】 【例3】（25-26七年级下·四川乐山·期末）在中，如果，那么________． 【答案】0.5 【分析】将代入给定的一次函数解析式，计算即可得到的值． 【详解】解：把代入，得． 【变式3-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，计算得到的y值若与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，否则不在． 【详解】解：A、当时，，∴点不在函数图象上； B、当时，，∴点不在函数图象上； C、当时，，∴点不在函数图象上； D、当时，，∴点在函数图象上． 【变式3-2】（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：将代入，得， 两边同时乘以，得， 移项，得， 开平方，得， ∵， ∴，解得． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】从表格上面一行找到所给的值，下面一行对应的数值即为答案． 【详解】解：由表格中日期与最高气温的对应关系可知，当时，． 【题型4 一次函数的概念】 【例4】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】形如（是常数）的函数叫做一次函数，据此解答即可； 【详解】解：①，③，⑤均为一次函数； ②中的次数为，不是一次函数；④中的最高次数为，不是一次函数；综上，一次函数共有3个； 【变式4-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知函数是正比例函数，则常数的值是_____． 【答案】2 【分析】根据正比例函数的定义，其常数项为0，据此列方程求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【答案】A 【分析】根据一次函数的定义，一次函数要求自变量的一次项系数不为，据此列不等式求解即可得到的取值范围． 【详解】解：函数是关于的一次函数 一次项系数满足 解得， 因此的取值范围是． 【变式4-3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了一次函数与正比例函数的定义，解题的关键是熟练掌握一次函数和正比例函数的解析式分别为，． （1）根据正比例函数的解析式为得到，即可求解； （2）根据一次函数的解析式为得到且，即可求解． 【详解】（1）解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴； （2）解：∵函数是一次函数， ∴且， 解得． 【题型5 由解析式判断经过的象限】 【例5】（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 【答案】二 【详解】解：一次函数的常数项为， ∴函数图象与轴交于负半轴， ∵一次函数且随的增大而增大， 函数图象经过一、三、四象限，不经过第二象限． 【变式5-1】（2026·江苏南通·中考真题）一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】根据一次函数的、符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 【变式5-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象不可能经过的点是______． 【答案】点 【分析】由条件可判断出直线所经过的象限，再进行判断即可． 【详解】解：∵在中，， ∴一次函数图象一定经过第一、二、四象限， ∴其图象不可能经过Q点． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，一次函数的图像与系数的关系，解题的关键是根据方程组解的情况求得的值，再根据一次函数的性质求解．由方程组无解，可得，解得，则直线为，根据一次函数图像与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵方程组无解， ∴， 解得， 将代入得， ∵， ∴直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限． 故答案为：二． 【题型6 求一次函数与坐标轴交点】 【例6】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出函数解析式，再将代入计算即可． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 解得， ∴直线表达式为， 令，得， 即直线与轴的交点坐标为． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】x轴上点的纵坐标为0，因此令求出对应x值即可得到交点坐标. 【详解】解：∵x轴上所有点的纵坐标为， ∴直线与轴交点的， 将代入解析式得， 解得， ∴直线与轴的交点坐标是. 【变式6-2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 【答案】8 【分析】先根据一次函数解析式求出点和点的坐标，得到直角三角形两条直角边和的长度，再利用三角形面积公式计算面积． 【详解】解：对于一次函数， 当时，可得，解得，即， 当时，可得，即， ∴， ∵点在轴上，点在轴上，为坐标原点，所以， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【答案】，直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为 【分析】本题考查了求一次函数的解析式，求一次函数与坐标轴的交点坐标，熟练掌握求一次函数的解析式及求一次函数与坐标轴的交点坐标是关键．将代入，求得；令，求得直线与x轴的交点坐标；令，可求得直线与y轴的交点坐标． 【详解】解：由图象可知，点在直线上， ， 解得：， 直线的解析式为， 令，得， ； 令，得， 直线与x轴的交点坐标为，与y轴的交点坐标为． 【题型7 用待定系数法求解析式】 【例7】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点和代入求解即可． 【详解】解：将点和代入，得： ， 解得：． 【变式7-1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】把坐标代入解析式即可求得的值． 【详解】解：∵点在正比例函数的图象上， ∴得， 解得． 【变式7-2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【答案】 【分析】一次函数图象互相平行，则一次项系数相等，设出解析式后代入已知点坐标即可求出常数项，得到函数解析式． 【详解】解：设所求一次函数的解析式为， 该一次函数的图象与直线平行， ∴． 该一次函数过点， ， 解得， 该一次函数的解析式为． 【变式7-3】（2026·江苏宿迁·二模）定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【答案】3 【分析】根据特征数的定义得到对应一次函数的解析式，再利用一次函数图象上点的坐标满足函数解析式，代入点的坐标计算得到的值． 【详解】解：由题意得，特征数对应的一次函数为， ∵点在该一次函数图象上， ∴将代入函数解析式得， 解得． 【题型8 判断一次函数的增减性】 【例8】（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知函数，随着的增大而___________； 【答案】 减小 【分析】根据一次函数一次项系数的符号即可判断随的变化趋势． 【详解】解：由，可得， ， 随着的增大而减小． 【变式8-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点，你写的函数表达式是 _____． 【答案】 【分析】设一次函数解析式为，根据一次函数的性质结合函数图象上点的坐标特征，即可得到满足条件的函数表达式，结果不唯一． 【详解】解：设一次函数解析式为， 随x的增大而增大， ， 取，可得， 函数图象过点， 将代入得， 解得， 函数表达式为． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数，当时，的最大值是__________． 【答案】 【分析】此题考查了一次函数求最值． 由于，函数值随的增大而减小，当时，时，取得最大值．据此进行解答即可． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴函数值随的增大而减小， ∴当时，在时，取得最大值． 代入 得 ， 即当时，的最大值是． 故答案为： 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质．解题时，利用了一次函数图象的性质．首先得到一次函数的增减性，然后结合自变量的取值范围得到函数值的取值范围即可． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随着的增大而增大， 当时，， 当时，， ∴函数值的取值范围为， 故答案为：． 【题型9 比较一次函数值的大小】 【例9】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，一次函数的增减性，在一次函数中，当时，随的增大而增大；当时，随的增大而减小． 根据一次函数的性质，当时，函数值随自变量的增大而减小即可判断． 【详解】解：∵直线中， ∴随的增大而减小． 又∵点的横坐标，点的横坐标，由于， 所以． 故答案为：． 【变式9-1】（25-26八年级下·广东潮州·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而增大. ∵点，在该函数图象上，且， ∴． 【变式9-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查一次函数的图像和性质．熟悉根据一次函数的斜率判断函数图像的变化情况，是解题的关键． 根据一次函数的性质，由于斜率 ，函数值 随自变量 的增大而减小．点 的纵坐标 大于点 的纵坐标 ，因此 小于 ． 【详解】解：∵ 一次函数 的系数 ， ∴ 随 的增大而减小， ∵ 点 和点 在函数图象上，且 ， ∴ ． 故答案为：． 【变式9-3】（25-26八年级下·广东·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用一次函数增减性比较函数值大小． 【详解】解： ， 随的增大而减小． ， ． 【题型10 一次函数图象的平移】 【例10】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】先求出的坐标，判断直线是怎样平移，再用的坐标推出坐标． 【详解】解：将代入， 得，即， 即先向左平移8个单位长度，再向上平移2个单位长度． 将代入， 得，即， 则． 【变式10-1】（25-26八年级下·广东汕头·期末）把的图象沿轴向上平移个单位后所得图象的关系式是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵一次函数图象沿轴向上平移个单位，遵循“上加下减”的规律，原函数解析式为， ∴平移后解析式为． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·期末）（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【答案】 【分析】（1）利用函数“左加右减”的平移规律计算即可得到结果； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征，横坐标不变，纵坐标变为原数的相反数，代入原解析式整理即可． 【详解】解：（1）根据一次函数图象平移“左加右减”的规律， 函数，向左平移2个单位，所得函数图象的解析式为，即； （2）函数图象关于轴对称时，对称后点的横坐标与原对应点相同，纵坐标互为相反数， 因此将原解析式中的替换为， 原解析式为，代入得， 整理得． 【变式10-3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用待定系数法，将和分别代入，得到方程组，再解方程组即可； （2）根据平移规律，得到关于、的等式，化简即可求解． 【详解】（1）解：由图象可知，直线经过点和点， 将和分别代入， 得， 解得，， 这个一次函数的解析式为． （2）解：根据题意可得，， 化简得，． ∴、之间的等式关系为． 【题型11 列一次函数解析式并求值】 【例11】（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了从实际数据中识别规律并建立代数模型的能力，以及求一次函数解析式；解题的关键是观察表格中脚长与鞋码的对应关系，发现两者呈线性变化，并通过代入已知点求解线性表达式；取两点，用待定系数法，求解析式，即可得解． 【详解】解：设脚长为，鞋码为；取点， 设， 解得 故 当脚长为时，鞋码为． 故答案为． 【变式11-1】（25-26八年级下·天津静海·期中）某工厂共有煤80吨，每天燃烧的煤量为5吨，请写出剩余煤量吨与烧煤天数天函数解析式______，自变量的取值范围______，当时时，______． 【答案】 / 【分析】根据剩余煤量等于原有煤量减去燃烧的煤量，可得与的函数解析式，根据煤量不低于0吨，不高于80吨即可求出自变量的取值范围，最后将代入与的函数解析式求值即可． 【详解】解：∵剩余煤量等于原有煤量减去燃烧的煤量， ∴； ∵， ∴， 解得：， 即自变量的取值范围是； 当时， 故答案是：①，②，③． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据题意找出等量关系从而列出函数解析式是解题的关键． 【变式11-2】（25-26六年级下·山东济南·期末）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（） 水费（元） 3 5 7.5 4 9 27 根据题意可知：____________；设某户该月用水量为，应交水费为（元），写出与之间的关系式____________． 【答案】 【分析】根据3月份用水量与水费的关系可得的值，根据4月分用水量和水费的关系即可求得的值，根据题意写出与之间的关系式即可 【详解】解：3月份的用水量为 ，水费为7.5元，未超过6， 则 解得 4月份的用水量为 ，水费为27元，超过6 ∴ 解得 设某户该月用水量为，应交水费为 即 故答案为：， 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列一次函数关系式是解题的关键． 【变式11-3】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的应用，利用图像中的数据，通过待定系数法求出销量和售价之间的函数关系式，将代入求出对应的销量，最后根据“总利润（售价进价）销量”即可． 【详解】解：设销量和售价之间的函数关系式为， 将和代入得：， 解得：， 则函数关系式为， 将代入，得， 则总利润（元）． 【题型12 一次函数与一元一次方程】 【例12】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】一元一次方程的解是一次函数的图象与轴交点的横坐标，即当时对应的自变量的值． 【详解】解：直线经过点， 当时，， 方程的解是． 【变式12-1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 【答案】2 【详解】解：∵一次函数的图象与x轴的交点坐标为， ∴关于x的方程的解为． 【变式12-2】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得：， 系数化为1得：． 【变式12-3】（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将所求方程变形，得到其对应一次函数的函数值为，再从表格中找到时对应的的值，即可得到方程的解． 【详解】解：方程可变形为， 从表格可知，当时，， ∴方程的解为． 【题型13 一次函数与一元一次不等式(组)】 【例13】（2026·江苏宿迁·中考真题）一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由图象可知当时，，可知不等式的解集是． 【详解】解：∵一次函数的图象与轴的交点坐标 为， ∴当时，， ∴ 关于x的不等式的解集为． 【变式13-1】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先求出点P的横坐标为，然后结合图象求解即可． 【详解】解：将代入得， 解得， ∴点P的横坐标为， 由图象得，当时，直线的图象在直线的图象下方， ∴关于的不等式的解集是． 【变式13-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【答案】 【详解】解：当时，， 根据函数图象可得的解集为；的解集为， ∴关于x的不等式组的解集是． 【变式13-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 【答案】 【分析】先把代入得到，再把点坐标代入求出，接着计算出直线与轴的交点坐标，然后找出直线在轴上方且在直线的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：将代入得， ，解得， ∴， 将代入得， ，解得， ∴， 当时，， 则直线与轴的交点坐标为， ∴不等式的解集是． 【题型14 一次函数与二元一次方程(组)综合】 【例14】（北京市丰台区2025～2026学年度第二学期期末练习八年级数学）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 【答案】 【分析】先求出，再结合直线与直线相交于点，即可得出结果． 【详解】解：将代入直线得，即， ∴， ∵直线与直线相交于点， ∴关于，的方程组的解是． 【变式14-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【答案】D 【分析】两直线的交点坐标为两直线解析式所组成的方程组的解． 【详解】解：∵直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P（20，25）， ∴方程x+5＝ax+b的解为x＝20． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是掌握一元一次方程与一次函数的关系，从图象上看，一元一次方程的解，相当于已知两条直线交点的横坐标的值． 【变式14-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先根据图象判定交点坐标，然后代入方程组即可. 【详解】由图象，得直线、的交点坐标是（2,3），将其代入，得 A选项，满足方程组，符合题意； B选项，不满足方程组，不符合题意； C选项，不满足方程组，不符合题意； D选项，不满足方程组，不符合题意； 故选：A. 【点睛】此题主要考查一次函数图象和二元一次方程组的综合应用，熟练掌握，即可解题. 【变式14-3】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）已知函数的图象如图所示， (1)用“两点法”在平面直角坐标系中画出的图象； (2)直接写出方程组的解． 【答案】(1)解：列表： 描点、连线画出的图象如下： (2) 【分析】（1）根据“两点法”，结合函数图象作图步骤画出的图象即可； （2）根据图象的交点坐标即可得出结论． 解题的关键在于熟练掌握一次函数的图象与性质，以及数形结合思想． 【详解】（1）略 （2）解：由（1）中图象可知，函数与的交点坐标为， 方程组的解为． 【进阶拔高】 【题型15 已知经过象限求参数范围】 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【答案】 【分析】直线不经过第一象限，说明一次项系数小于等于0，常数项小于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵直线不经过第一象限， ∴， 解得． 【变式15-1】（25-26八年级下·河北承德·期末）将直线（为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据一次函数平移的“上加下减”规律得到平移后直线的解析式，再根据一次函数图象的性质得到b的取值范围，最后结合选项选出正确结果. 【详解】解：根据一次函数图象平移的“上加下减”规律，将直线向上平移个单位长度后，得到新直线的解析式为， ∵平移后的直线经过第一、第二、第四象限， 这里， ∴， 解得， A选项，不符合； B选项，符合要求； C选项，平移后直线为，仅过第二，第四象限，不符合； D选项，不符合. 【变式15-2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先将代入得到，然后得到，根据题意得到，，求出，进而求解即可． 【详解】解：把代入，得， ∴， ∴， ∵直线不经过第四象限， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即． 【变式15-3】（25-26八年级下·江西赣州·期末）已知关于的一次函数． (1)若函数的图象平行于直线，求的值； (2)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（）平行直线斜率相等，列方程求出； （）结合函数过一二三象限的符号要求，解不等式组得取值范围． 【详解】（1）解：函数的图象平行于直线， ， ； （2）函数图象经过第一、二、三象限， 且， ， 的取值范围是． 【题型16 根据增减性求参数】 【例16】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若关于的一次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是______． 【答案】 【分析】根据两点的坐标中，当值增大时，值反而减小，可得一次函数的一次项系数小于，列不等式即可求解的范围． 【详解】解：∵关于的一次函数的图象经过点和，，且， ∴一次函数中，随的增大而减小， ∴一次项系数满足， 解得． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象看出：随的增大而减小，由此可以确定，然后即可法求出的取值范围． 【详解】解：观察图象可得，随的增大而减小， 则有，即． 【变式16-2】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而减小，则点P坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的性质，随增大而减小可得，将各选项点坐标代入求出的值，选出的选项即可． 【详解】解：∵一次函数中，随的增大而减小， ∴； A .把代入得：， 解得，符合题意； B. 把代入得：， 解得，不符合题意； C. 把代入得：， 解得，不符合题意； D. 把代入得：， 解得，不符合题意． 【变式16-3】（25-26八年级下·青海西宁·期末）一次函数，当时，的最大值为，则的值为__________． 【答案】或 【分析】根据一次函数的增减性，分和两种情况讨论，确定区间内取最大值时对应的值，列方程求解即可． 【详解】解：∵ 是一次函数， ∴ 分两种情况讨论： 当时，随的增大而增大， ∴ 当时，时取得最大值， 代入得 ， 解得 ，符合条件， 当时，随的增大而减小， ∴当时，时取得最大值， 代入得 ， 解得 ，符合条件， 综上，的值为或． 【题型17 一次函数图象与对称问题】 【例17】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【答案】B 【分析】本题考查一次函数图象的对称性，关于轴对称的图象对应函数值互为相反数． 由得到，即可判断一次函数和的图象关于轴对称． 【详解】解：∵， ∴， ∴一次函数和的图象关于轴对称， 故选：B． 【变式17-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数以及轴对称等知识，取原直线上两点，求其关于y轴的对称点，再利用待定系数法求对称直线的解析式． 【详解】解：在直线上取两点和，则关于y轴对称后得到点和 ． 设对称直线的解析式为， 代入点得， 解得， 故对称直线解析式为． 故答案为：． 【变式17-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期中）在平面直角坐标系中，将直线关于平行于轴的一条直线对称后得到直线，若直线恰好过点，则直线的表达式为______． 【答案】/ 【分析】设平行于y轴的直线为，直线 与x轴的交点为C，与直线的交点为D，则，点C关于直线的对称点坐标为，再根据点D和点在直线上求出直线的解析式，再代入点进行求解即可． 【详解】解：设平行于y轴的直线为，直线 与x轴的交点为C，与直线的交点为D， ∴， ∴点C关于直线的对称点坐标为， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， 解得（舍去，此时C、D重合了）或， ∴直线的解析式为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，坐标与图形变化—轴对称，解一元二次方程，正确理解题意用含a的式子表示出的解析式是解题的关键． 【变式17-3】（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【答案】A 【分析】由题意易得直线与x轴、y轴的交点坐标为，然后可得点关于直线的对称点坐标分别为，进而问题可求解． 【详解】解：当时，则有，解得：，当时，则有， ∴直线与x轴、y轴的交点坐标为， ∴点关于直线的对称点坐标分别为， ∵直线与直线关于直线对称， ∴把点代入得： ， 解得：． 【题型18 一次函数与几何面积综合】 【例18】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出直线与坐标轴交点的坐标，再求出中点坐标，利用待定系数法求出直线的解析式即可． 【详解】解：一次函数， 令，得，； 令，得，； 直线过原点且将分割为面积相等的两个三角形， 直线必经过线段的中点． 设的中点为，则点的坐标为，即． 设直线的解析式为． 将代入，得，解得． 直线的解析式为． 【变式18-1】（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 【答案】 4或 【分析】先求出一次函数与轴的交点，再根据三角形面积公式列出关于的方程，求解即可得到结果. 【详解】解：当时，，即一次函数图象与轴交点为， 已知一次函数图象过点，即与轴交点为， 根据三角形面积公式得：， 化简得， 解得或 【变式18-2】（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)的面积． 【答案】(1) (2) (3)3 【分析】（1）利用待定系数法代入求解即可； （2）利用待定系数法代入求解即可； （3）根据题意得出，；；，然后结合图形求面积即可． 【详解】（1）解：∵直线，交于点，， ∴， 解得：； （2）由（1）得，直线经过点， ∴， 解得：， ∴； （3）当时，， 解得：， ∴， ∴； 当时，， 解得：， ∴； ∴， ∴， ∵， ∴的面积为：． 【变式18-3】（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P； (1)求直线的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）联立两直线解析式，解方程组即可得到答案； （3）求出的面积，则可得到的面积，再求出点D的坐标，得到的长，根据三角形的面积公式求出点E的横坐标，进而可求出点E的坐标． 【详解】（1）解：设直线的表达式为， 由题意得，， ∴， ∴直线的表达式为； （2）解：联立得，解得， ∴点P的坐标为； （3）解：由（2）得点P的坐标为， ∵， ∴， ∴， ∵的面积是的面积的4倍， ∴； 在中，当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，当时，，当时，， ∴点E的坐标为或． 【题型19 一次函数实际应用（行程类）】 【例19】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）五一假期期间，小明和爸爸从西安路出发，沿黄河路匀速步行到中山公园后，锻炼，然后再沿黄河路匀速步行到人民广场游玩．小明距中山公园的路程（单位：）与出发时间（单位：）的图象如图所示． (1)求小明从西安路步行到中山公园的速度； (2)求小明从中山公园步行到人民广场的路程与出发时间的函数表达式； (3)求小明从西安路出发，经过多长时间距中山公园的路程为． 【答案】(1)小明从西安路步行到中山公园的速度为 (2) (3)小明从西安路出发，经过或时，距中山公园的路程为 【分析】（1）从函数图象中读取西安路到中山公园的路程为，对应的步行用时为，根据“速度=路程÷时间”，代入数值计算即可得出小明步行的速度； （2）先用到达中山公园的加上锻炼的，算出从中山公园重新出发的时间为，得到该段函数的起点坐标，再结合终点坐标，设一次函数解析式为，将两点坐标代入组成方程组求解，得到和的值后写出函数表达式，并标注出自变量的取值范围； （3）分两种情况讨论，第一种是前往中山公园的阶段，先利用点和求出该段的一次函数解析式，令解出对应的值；第二种是离开中山公园的阶段，直接代入第二问的函数解析式，令解出对应的值，最终得到两个符合条件的出发时间． 【详解】（1）解：由图象可知，小明从西安路到中山公园的路程为，用时， 小明的速度为：， 答：小明从西安路步行到中山公园的速度为； （2）解：由题意可知，小明在中山公园锻炼，所以锻炼结束的时间为， 即小明从中山公园出发的时刻为， 此时， 设小明从中山公园步行到人民广场的路程与出发时间的函数表达式为， 由图象可知，该函数图象经过点和， 将这两点坐标代入解析式，得 ， 解得， ∴小明从中山公园步行到人民广场的路程与出发时间的函数表达式为； （3）解：当时，分两种情况讨论： ①当小明从西安路步行到中山公园时， 设该段函数表达式为， 图象经过点和，代入得 ， 解得， ∴， 令，得 ， 解得； ②当小明从中山公园步行到人民广场时 ， 由(2)知， 令 得 ， 解得； 答：小明从西安路出发，经过或时，距中山公园的路程为． 【变式19-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图1）．图2中分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分钟）之间的关系． (1)求对应的函数解析式． (2)当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？并说明详细理由． 【答案】(1)的解析式为；的解析式为． (2)能在逃入公海前将其拦截 【分析】（1）根据函数图像中的数据用待定系数法即可求出的函数关系式； （2）根据（1）中的函数关系式求其函数图像交点坐标，从而确定追上的路程，再与12比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意，设． ∵在此函数图像上， ∴，解得， ∴的解析式为； 由题意，设． ∵，在此函数图像上， ∴．解得， ∴的解析式为． （2）解：能在逃入公海前将其拦截． 由题意可得，解得． ∵追上的路程， ∴能在逃入公海前将其拦截． 【变式19-2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 【答案】(1)20；14 (2)4米/秒 (3)2.5秒；19秒；29秒 【分析】由图可知，甲起飞后上升到20米的高度保持不变，故该高度为甲在空中的停留高度，甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． 无人机在上升过程中匀速飞行，则甲上升到20米处，用时5秒，根据“速度=路程÷时间”求出的速度，就是甲的上升速度． 满足两架无人机所在高度相差10米的值共分为3种情况： ，此时用10米除以甲的速度，即可求出值，为秒； ，此时用甲的上升高度减去乙的上升高度，可得到式子，解得秒，故总时间秒； ， 秒处，甲乙的上升高度相同，此后用乙的上升高度减去甲的上升高度，可得到式子，解得秒，故秒． 【详解】（1）解：由图可知，甲在空中的停留高度为20米， 甲起飞后到乙起飞之间间隔14秒，所以乙在甲起飞14秒后开始起飞． （2）解：甲上升到20米处，用时5秒，则速度为： （米/秒）． （3）解：满足条件的值有3个： 秒， 秒， 秒． 【变式19-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶后，快车才开始行驶，快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时，两车都到达乙地停止计时．设时间为，两车之间的距离为，如图是y与x之间的函数关系的部分图象． 请解答下列问题： (1)a的值为________，b的值为________，慢车在降速前的速度为________； (2)从两车相遇到快车到达乙地时，求y与x的函数关系式； (3)请在图中补全y与x之间的函数图象． 【答案】(1)40，80，80； (2)； (3)． 【分析】（1）由题意即可得出，设慢车在降速前的速度为，根据题意列出关于的一元一次方程，计算即可得出结果； （2）利用待定系数法计算即可得出结果； （3）求出当快车到达乙地后，慢车到达乙地还需要，待定系数法求出当快车到达乙地后，y与x的函数表达式，补全图象即可． 【详解】（1）解：∵慢车先行驶后，快车才开始行驶， ∴由题意可得， 设慢车在降速前的速度为， 由题意可得， 解得， ∴慢车的速度为， ∵， ∴， （2）解：设从两车相遇到快车到达乙地时，y与x的函数表达式． 将，代入得， 解得， ∴从两车相遇到快车到达乙地时，y与x的函数表达式为； （3）解：当快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地，此时两车相距， ∴当快车到达乙地后，慢车到达乙地还需要， ∴， 设当快车到达乙地后，y与x的函数表达式为， 将，代入解析式得， 解得， ∴当快车到达乙地后，y与x的函数表达式为， 图略． 【题型20 一次函数实际应用（方案类）】 【例20】（25-26八年级下·云南德宏·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 德宏是我国咖啡的重要产区之一，独特的气候和土壤条件，使得德宏咖啡以其浓郁的香气和醇厚的口感闻名遐迩． 素材一 某公司计划购买德宏咖啡和其他地区的茶叶作为活动奖品．已知购买2盒德宏咖啡和3盒茶叶，需要480元；购买4盒德宏咖啡和1盒茶叶，需要440元． 素材二 该公司计划购买德宏咖啡和茶叶共计80盒，咖啡和茶叶均需购买，且购买德宏咖啡的数量不超过茶叶数量的．     请完成下列任务 (1)每盒德宏咖啡和每盒茶叶的价格分别为多少元； (2)给出最节省费用的购买方案，并求出最低购买费用． 【答案】(1)每盒德宏咖啡的价格为84元，每盒茶叶的价格为104元 (2)最省钱的购买方案为：购买德宏咖啡20盒，购买茶叶60盒，最低购买费用为7920元 【分析】（1）设每盒德宏咖啡的价格为元，每盒茶叶的价格为元，根据题意列二元一次方程组，据此求解即可； （2）设购买德宏咖啡a盒，则购买茶叶盒，购买费用为元，根据题意得到w关于a的一次函数，再根据购买的德宏咖啡的数量不超过茶叶数量的，求得，利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：任务一，设每盒德宏咖啡的价格为元，每盒茶叶的价格为元， 根据题意列方程组：， 解方程组得：， 答：每盒德宏咖啡的价格为84元，每盒茶叶的价格为104元； （2）解：任务二，设购买德宏咖啡a盒，则购买茶叶盒，购买费用为元， ∴， ∵购买的德宏咖啡的数量不超过茶叶数量的， ∴， ∴， ∵德宏咖啡和茶叶两种商品均需购买， ∴， ∴， ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当时，有最小值， ∴， ∴购买茶叶的数量为：（盒）， 答：最省钱的购买方案为：购买德宏咖啡20盒，购买茶叶60盒，最低购买费用为7920元． 【变式20-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 【答案】(1)每个大号瓦猫的价格为60元，每个中号瓦猫的价格为50元． (2)最节省费用的购买方案为：购买大号瓦猫34个，中号瓦猫66个，最低费用为5340元． 【分析】（1）设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题目情境列出方程组，解出即可得每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格． （2）设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意列出不等式组，解出即可得的取值范围，设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，即可列出与的函数关系式，根据一次函数的性质即可得中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 【详解】（1）解：设每个中号瓦猫的价格为元，每个大号瓦猫的价格为元，根据题意得： ，解得：， ∴每个大号瓦猫的价格为元，每个中号瓦猫的价格为元． （2）解：设大号瓦猫购买个，则中号瓦猫购买个，根据题意得： ，解得：， 设购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个的费用为，则： ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当最小时，取最小值， ∵且为正整数， ∴， ∴当时，（元），此时，中号瓦猫购买：（个）， ∴中号瓦猫购买66个，大号瓦猫购买34个时，最节省费用，最低费用为5340元． 【变式20-2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）寓意美好且外观可爱的冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬季残奥会吉祥物“雪容融”深受广大群众的喜爱，掀起一股网购热潮．一家商店欲抓住商机，计划购进两种吉祥物礼盒共20盒，已知冰墩墩每盒进价250元，售价300元；雪容融每盒进价160元，售价200元．设该商店购进雪容融盒，售完两种礼盒共获得利润为y． (1)请写出全部售出后利润与雪容融数量之间的函数关系式； (2)若该商店采购两种礼盒总费用不超过3920元，全部售出所得利润不低于850元，请帮该商店判断共有几种采购方案，并求出使得该商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 【答案】(1)（，且为整数）. (2)方案一：购进雪容融12盒，冰墩墩8盒，方案二：购进雪容融13盒，冰墩墩7盒，方案三：购进雪容融14盒，冰墩墩6盒，方案四：购进雪容融15盒，冰墩墩5盒，四种；当购进雪容融12盒、冰墩墩8盒时，商店获得最大利润，最大利润为880元. 【分析】（1）根据利润=单件的利润乘以数量，解答即可； （2）根据题意，得，求不等式组的整数解，结合函数的性质，求解即可． 【详解】（1）解：根据题意，购进两种吉祥物礼盒共20盒，已知冰墩墩每盒进价250元，售价300元；雪容融每盒进价160元，售价200元．设该商店购进雪容融盒，售完两种礼盒共获得利润为y， 故 ，其中，，且为整数． （2）解：根据题意，得， 解得， 其中，，且为整数， 故， 故有四种购买方案， 方案一：购进雪容融12盒，冰墩墩8盒， 方案二：购进雪容融13盒，冰墩墩7盒， 方案三：购进雪容融14盒，冰墩墩6盒， 方案四：购进雪容融15盒，冰墩墩5盒， ， 随x的增大而减小， 故时，y取最大值，且最大值为， 故当购进雪容融12盒、冰墩墩8盒时，商店获得最大利润，最大利润为880元． 【变式20-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 活动主题 图书购买方案的选择 活动背景 阅读是提升素养的重要途径，图书采购的性价比直接影响阅读资源的获取成本．某校综合实践小组以“图书购买方案选择”为主题开展项目学习，探究不同书店的购书费用与购买数量之间的函数关系，为班级图书角建设提供最优采购建议． 活动任务 探究甲、乙两个书店销售同一系列图书的费用（元）与购买数量（本）之间的函数关系． 研究步骤 ．采集数据：调研区域内甲、乙两个书店该系列图书的销售规则； ．描述数据：对收集的信息进行整理描述； ．信息分析：形成结论． 采集数据 信息（甲书店）：该系列图书售价为元/本，无论购买多少均无折扣． 信息（乙书店）：该系列图书的基础售价为元/本，但购买量超过本时，超出部分打折销售． 信息（乙书店小票统计）：部分购书记录如下表（验证计费规则合理性）： 购买量/本 … 付款金额/元 … 描述数据   根据信息表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图像，可以确定自变量在和的范围内都是的一次函数关系． 问题解决： (1)分别写出在甲、乙两个书店购买该系列图书的付款金额（元）与购买数量（本）（且为整数）之间的函数关系式； (2)若班级计划购买一批该系列图书（购买数量为正整数），请通过计算说明：如何选择书店更省钱？ 【答案】(1)甲书店：（且为整数）；乙书店：（且为整数） (2)当时，，选择甲书店更省钱， 当时， 由得， ，选择甲书店更省钱， 由得，， ，选择甲书店和乙书店的书钱一样多， 由得，， ，选择乙书店更省钱， 综上所述，当时，选择甲书店更省钱；当时，选择甲书店和乙书店的书钱一样多；当时，选择乙书店更省钱． 【分析】（1）甲书店：根据“无折扣，单价元/本”，直接由“总价单价数量”，写出一次函数关系式（且为整数）；乙书店：当时，按基础单价元/本，写出；当时，用待定系数法求出解析式，再合并写成分段函数； （2）分情况比较两家书店费用大小：当时，直接比较与，得甲书店更省钱；当时，通过比较与的大小，分别解不等式、等式、不等式，得出、、时对应的省钱方案，最后综合所有情况得出结论． 【详解】（1）解：由题意可知，甲书店：（且为整数）； 乙书店：当时，， 当时，设此函数的表达式为， 将，代入，得 ， 解得， 乙书店：（且为整数）； （2）略 【题型21 一次函数实际应用（利润类）】 【例21】（2026·山东济南·中考真题）为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【答案】(1)甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元 (2)购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元 【分析】（1）设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元，根据题意列出方程组计算即可； （2）设购买甲型视力训练仪台，根据题意列出不等式组，求出m的取值范围，再根据总价=单价×数量，结合折扣情况列出一次函数，根据一次函数的性质解题即可． 【详解】（1）解：设甲型视力训练仪的单价为元，乙型视力训练仪的单价为元， 根据题意，得， 解得， 所以甲型视力训练仪的单价为200元，乙型视力训练仪的单价为150元； （2）设购买甲型视力训练仪台，则购买乙型视力训练仪台，购买甲型和乙型视力训练仪共花费元， 根据题意，得， 解得， ， ， ， ， ， 的值随值的增大而增大， 当时，取得最小值， 此时（元）， 所以购买甲型视力训练仪40台时花费最少，最少花费为10200元． 【变式21-1】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． (1)请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； (2)根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元 【分析】（1）设购进A配件x件，则购进B配件件，再根据销售获得的利润售出全部A配件的利润售出全部B配件的利润，即可求解； （2）根据题意列出关于x的不等式，再利用一次函数的性质即可解答． 【详解】（1）解：根据题意，得：； （2）解：根据题意，得：， 解得， 由（1）得，， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最大值，最大值为（元）， 此时（件）， 答：购进A配件100件，B配件200件时本次销售利润最大，最大利润为8000元． 【变式21-2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：每个蛋黄粽的进价比肉粽的进价贵元；购进个肉粽和个蛋黄粽时，总费用为元． (1)求每个肉粽和蛋黄粽的进价； (2)超市将肉粽的售价定为元/个，蛋黄粽的售价定为元/个．超市计划购进这两种粽子共个，根据市场需求，在不超过元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个肉粽的进价为元，每个蛋黄粽的进价为元 (2)购进肉粽个、蛋黄粽个时，售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润为元 【分析】（1）设未知数，根据总价条件列出二元一次方程组求解． （2）先求出单个粽子利润，设购进肉粽数量，写出利润函数；结合总费用限制求出自变量取值范围，利用一次函数增减性求最大利润． 【详解】（1）解：设每个肉粽进价为元，每个蛋黄粽进价为元．根据题意，得 ， 解得， 答：每个肉粽进价元，每个蛋黄粽进价元． （2）解：单个肉粽利润：（元）； 单个蛋黄粽利润：（元）． 设购进肉粽个，则蛋黄粽个，总利润为元． ， 由总费用不超过元列不等式： ， 解得， 又， 所以自变量范围：． 在中，，随增大而减小． 因此当时，取得最大值． 此时蛋黄粽数量：（个）， 最大利润：， 答：购进肉粽个、蛋黄粽个时利润最大，最大利润为元． 【变式21-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践 项目背景 塞上老街是呼和浩特大召旁知名文旅街区，沿街多家门店售卖长短款改良蒙古袍，游客选购需求量大．老街一家民族服饰店从本地手工作坊购进短款日常蒙古袍、长款节庆蒙古袍对外销售． 项目素材 素材1 该服饰店第一次花费4400元购进长款、短款蒙古袍共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款日常蒙古袍 长款节庆蒙古袍 进货价（元/件） 80 120 销售价（元/件） 100 150 第一批蒙古袍全部售罄后，店铺计划二次采购长、短款蒙古袍合计200件（进货价、售价保持不变），且本次总进货成本不高于18000元． 项目任务： (1)任务1：求第一次采购时，短款、长款蒙古袍分别购进多少件． (2)任务2：该服饰店如何规划进货方案，能实现本次销售利润最大化？并计算最大利润． 【答案】(1)第一次采购短款蒙古袍40件，长款蒙古袍10件. (2)购进短款蒙古袍150件、长款蒙古袍50件时销售利润最大，最大利润为4500元. 【分析】（1）根据“进货总费用短款蒙古袍的总进货费用长款蒙古袍的总进货费用”列式求解即可； （2）根据“短款蒙古袍的总进货费用长款蒙古袍的总进货费用总进货成本”列出不等式，求出的取值范围，再根据“销售总利润短款蒙古袍的销售利润长款蒙古袍的销售利润”列出一次函数，根据一次函数的增减性求解即可． 【详解】（1）解：设第一次短款蒙古袍购进件，长款蒙古袍购进件， 由题意列式，得， 解得， ∴第一次采购短款蒙古袍40件，长款蒙古袍10件． （2）解：设店铺计划第二次采购长款蒙古袍件，短款蒙古袍件，销售利润为元， 则， 解得， 则利润为， 化简，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，（元）． 【题型22 一次函数实际应用（梯度计价类）】 【例22】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间满足函数关系式． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若该公园需要铺设广场砖的面积为，则选择哪个工程队花费更少？ 【答案】(1) (2)选择甲工程队花费更少 【分析】（1）观察图象，当时，的图象是一条直线，且经过两点，因此先设函数解析式，将两个已知点代入解析式联立方程，求出k、b的值，即可得到关于的函数解析式． （2）分别计算甲、乙两工程队的费用，因为，所以使用时，关于的函数解析式为计算，乙工程队费用根据计算，然后将两工程队的费用进行比较，得出花费更少的即可． 【详解】（1）解：当时，设关于的函数解析式为， 由图像可知，该函数图像经过点和， 将这两点坐标代入解析式，得： ， 解得， 所以，当时，关于的函数解析式为． （2） 当时， 甲工程队的费用为：（元）， 乙工程队的费用为：（元）． ∵， ∴选择甲工程队花费更少． 【变式22-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据A户去年的户年用水量为小于进行计算即可； （2）分情况讨论进行求解即可； （3）先算出B户去年的户年用水量大于，据此计算即可． 【详解】（1）解：∵A户去年的户年用水量为， ∴，解得； （2）解：当时， 关于的函数解析式为， 当时，关于的函数解析式为， 关于的函数解析式为； （3）解：当时，， 户去年的户年用水量大于， 将代入，得， 解得． 答：B户去年的户年用水量为． 【变式22-2】（25-26八年级下·山东临沂·期末）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再额外收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟时不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． (1)请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 ______________ 170 方式二收费/元 50 ______________ (2)设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为（元），（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用（元）、（元）的函数关系式； (3)请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 【答案】(1)80；130； (2)，； (3)当或时方式一省钱；当时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 【分析】（1）根据计费方式计算即可； （2）根据计费方式列函数关系式即可； （3）分情况列不等式计算即可． 【详解】（1）解：主叫400分钟，方式一：超过限定时间分钟，总费用元； 主叫700分钟，方式二：超过限定时间分钟，总费用元； （2）解：由题意可得： 当时，当时； 当时，当时； 综上：，； （3）解：①当时，，方式一更省钱； ②当时， 当时，解得：，∴当时，方式二省钱； 当时，解得：，∴当时，两种方式费用相同； 当时，解得：，∴当时，方式一省钱； ③当时， 当时，解得：，∴当时，方式二省钱； 当时，解得：，∴当时，两种方式费用相同； 当时，解得：，∴当时，方式一省钱； 综上：当或时方式一省钱；当时，方式二省钱，当为300分钟、1100分钟时，两种方式费用相同． 【变式22-3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）“618”期间，某商场举行促销活动，活动方案如下：（注：一人只能选择一种方案） 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同（裤子单价高于200元）． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为____________． (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元（）的服装，请直接写出当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【答案】(1)①元； ②选择方案三，理由如下： 方案一的花费为：元， 方案二先买上衣再买裤子或先买裤子再买上衣都能获得200元购物券，总的花费为：元， 方案三衣服一起满500元减元，总的花费为：元， ， ∴应选择方案三； (2) (3) 【分析】（1）①设裤子的标价为元，按方案一购买这两种服装的花费是元；按方案二先买上衣花费290元，赠200元购物券，再买裤子的花费是元，根据题意列方程并求解即可； ②根据①，分别计算方案一、方案二先买上衣再买裤子及先买裤子再买上衣、方案三的花费并比较大小即可； （2）根据方案三，当时，减0元；当时，减50元；当时，减100元；当时，减150元解答即可； （3）分别求出当、时方案三的费用小于方案一的费用对应的取值范围即可． 【详解】（1）解：①设裤子的标价为元， 根据题意得，， 解得， 答：裤子的标价为元； ②略 （2）解：当时，关于的函数表达式为， 当 时，关于的函数表达式为， 当时，关于的函数表达式为， 当 时，关于的函数表达式为； 故答案为：； （3）解：当时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ， ∴用方案一购买更合算； 当 时，方案一购买需花费元，方案三需花费元， ∵用方案三购买更合算， ∴ 解得， 当时，两种方案购买花费一样多； 综上，当时，用方案三购买更合算． 【题型23 从函数图象获取信息】 【例23】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图，图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象，下列结论不正确的是（     ） A．体育场离该同学家2.5千米． B．该同学在体育场锻炼了15分钟． C．该同学跑步的平均速度是步行的平均速度的2倍． D．若该同学骑行的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 【答案】C 【分析】根据函数图象横纵坐标表示的意义，结合行程问题的数量关系，逐条分析各选项即可． 【详解】解：A、由函数图象可知，体育场离该同学家千米，原说法正确，不符合题意； B、由函数图象可知，该同学在体育场锻炼了分钟，原说法正确，不符合题意； C、由函数图象可知该同学跑步的平均速度为，步行的平均速度为， ∵， ∴该同学跑步的平均速度不是步行的平均速度的2倍，原说法错误，符合题意； D、若该同学骑行的平均速度是跑步平均速度的1.5倍，则，原说法正确，不符合题意． 【变式23-1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 【答案】C 【分析】观察函数图象，获取两人出发时间、到达时间及总路程，再结合速度公式逐项判断，即可解题． 【详解】解：由图象可知，小明从时出发，小斌从时出发， ∴小斌比小明晚走小时，故A正确，不符合题意； 小明的速度为（千米/时），小斌的速度为（千米/时）， 又∵， ∴小斌的速度是小明速度的倍，故B正确，不符合题意； 当小斌到达目的地时，，此时小明行驶的路程为（千米）， ∴小明距离目的地还有（千米），故C错误，符合题意； 小斌走了一半的路程即千米，用时小时，此时时刻为时， 小明行驶路程为（千米）， ∴两人相遇，即小斌走了一半的路程时追上小明，故D正确，不符合题意． 【变式23-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 【答案】 5 4 【分析】根据a秒时的面积可求a的值，由秒时，点P与点D重合，利用路程速度时间，即可求出k的值，由时间路程速度即可求出b的值； 【详解】解：根据图像可得：a秒时的面积为12，即， ， 解得：， ， 秒时，点P与点D重合，秒， ； 点P从点D运动到点B的速度为每秒， ， 长方形中，， ， 则，， 【变式23-3】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【答案】①②③④ 【分析】由函数图像即可判断①③，再根据函数图像可知出发小时，小汽车到达A地，即可求出小汽车和货车的速度，即可判断②④． 【详解】解：由函数图象可得：A、B两地相距120千米，出发1小时，货车与小汽车相遇，故①③正确； 由图象可知，出发小时，小汽车到达A地， ∴小汽车的速度为（千米/小时）， ∵两车相遇时，速度之和为120千米/小时， ∴货车的速度为（千米/小时）， ∴出发1.5小时，小汽车比货车多行驶了（千米），故②正确； ∵小汽车的速度为80千米/小时，货车的速度为40千米/小时， ∴小汽车的速度是货车速度的2倍，故④正确． 综上，正确的有①②③④． 【题型24 一次函数的规律探究】 【例24】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等腰直角三角形性质得，且．利用点的横坐标递推关系，结合点在直线 上，可依次求出，发现，面积，即可求出． 【详解】解：由题意，过点 作轴于点，如图所示， ∵ 都是等腰直角三角形， ∴ ∵点的坐标为， ∴； 设点的坐标为，则点的坐标为． 点在直线上， ， ， ， 点的坐标为，即． 点在直线 上， ， ， ； ， ， ． 【变式24-1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一、三象限角平分线于点，交第二、四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……以此类推，按照图中的规律，则第2025个正方形的边长为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象上的点的特征，规律型问题，解题的关键是学会探究规律的方法，属于中考常考题型．根据线段的和即可得出第一个正方形的边长为2，再根据正方形的性质及线段的和即可求出第二个正方形的边长为6，依次得出第三个正方形的边长为18，以此类推，可以得到，的坐标，再将代入，即可求得答案． 【详解】解：∵，轴， ∴的横坐标为1，， ∵第一象限角平分线为，第三象限角平分线为， ∴， ∴， ∴正方形的边长为：2； ∴， ∴， ∴的横坐标为3，则，， ∴，， ∴，， ∴， 即第三个正方形的边长为18， ∴，， 以此类推，，， ∴，， ∴， 故答案为：． 【变式24-2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图像上的坐标特征及直角三角形的性质，解决问题的关键是通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可．先根据两条直线的解析式求出A、B两点坐标，然后求出长度，由可求出点C坐标，又因为始终经过点且与y轴平行，通过计算找出、变化的规律，然后用三角形面积公式计算即可． 【详解】解：∵直线：与y轴交于点A， ∴， 直线：与y轴交于点B， ∴， ，， ∵， ∴， 又∵过点C作分别交直线与于点、， ， ， 又∵过点作分别交直线与于点，， ， ， 以此类推， ， ， … ， ， 则， 故答案为：． 【变式24-3】（25-26八年级下·全国·期中）已知一次函数y＝2x与y＝﹣x如图所示，点（1，2）在直线y＝2x上，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，过点作平行于y轴交直线y＝2x于点，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，以此类推，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】依次求出，，，，，的坐标，找出规律解答． 【详解】解：由题意知，与的纵坐标相同，与的横坐标相同，… 将y=2代入y＝﹣x得，x=－4， ∴(－4，2)； 将x=－4代入y＝2x得，y=－8， ∴ (－4，－8)； 将y=－8代入y＝﹣x得，x=16， ∴ (16，－8)； 将x=16代入y＝2x得，y=32， ∴ (16，32)； 将y=32代入y＝﹣x得，x=－64， ∴ (－64，32)； …； 由图形可知，交点所在直线的位置4次一个循环，2021÷4=505…1， ∴点在第一象限，点在第二象限，即线段A2021A2022在x轴的上方，且与x轴平行， ∵（1，2），(－4，2)， (16，32) ， (－64，32)， 即（，），(，)， (，) ， (，)， ∴第一象限内(，)，第二象限内(，)， ∴(，)，(，)， ∴=－（）=． 故选C． 【点睛】本题考查了求一次函数的值或变量的值，以及坐标与图形的变化－规律型，通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 【创新思辨】 【题型25 一次函数中的定值问题】 【例25】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A、B两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解；直线与轴，轴分别交于C、D两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线a与b交于点E．              图1                                图2 (1)点A的坐标为 ，点D的坐标为 ． (2)图1中，连接，求的面积． (3)如图2，将线段平移到，连接，点是线段 (不包括端点)上一动点，作直线，交直线于点，连接．当P点在线段上滑动时，是否为定值？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)是定值，理由见解析 【分析】（1）根据一次函数图象上点的坐标特征求出点A的坐标和点D的坐标； （2）求出两条直线的交点E的坐标，根据的面积=四边形的面积的面积的面积进行计算即可； （3）作交于G，根据平行线的性质求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线a上所有点的坐标都是二元一次方程的解， ∴当时，， ∴点A的坐标为：， ∵直线b上所有点的坐标都是二元一次方程的解， ∴当时，， ∴点D的坐标为：； （2）解：连接，作轴于H， ，解得 ∴点E的坐标为， ∴， ∴的面积=四边形的面积的面积的面积； （3）解：是定值，理由如下： 如图2，作交于G， ∴ ∵直线b， ∴， ∴， 由平移的性质可知，，又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵两直线的解析式是确定的， ∴两直线的夹角是确定的，不变， ∴的值不变. 【点睛】本题考查的是平移的性质、一次函数图象上点的坐标特征、两条直线的交点的求法以及平行线的判定与性质，正确作出辅助线、灵活运用数形结合思想是解题的关键． 【变式25-1】（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 【答案】(1)， (2)①4； ②证明：当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 设所在直线表达式为 ∴ 解得 ∴所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 当点的对应点为点时，点的对应点为点，如图 ∴平移方式为向左平移2个单位，向下平移个单位 ∴点Q的坐标为 同理可得，所在直线表达式为 ∴当时， ∴ ∴， ∴； 综上所述，为定值1． 【分析】（1）根据算术平方根的非负性求出，然后求出，即可求解； （2）①首先得到，然后得到平移方式，然后求出点Q的坐标为，然后利用三角形面积公式求解； ②根据题分两种情况讨论，分别求出所在直线表达式，然后求出点M的坐标，然后表示出，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴， ∴， ∴ ∴ ∴，； （2）证明：①若， ∴ ∵点的对应点为点 ∴平移方式为向右平移2个单位，向下平移1个单位 ∴点Q的坐标为 ∴的面积； ②略 【变式25-2】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足随的增大而增大，那么称这个函数为“双赢函数”． (1)已知“双赢函数”的图象经过点和，求该“双赢函数”的表达式． (2)若关于的函数是“双赢函数”（为整数且），其图象与直线（为常数）有两个交点，且点间的距离为定值，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查一次函数图象的性质，掌握待定系数法，两直线交点的计算，增减性是解题的关键． （1）根据“双赢函数”的定义，函数增减性进行计算即可求解； （2）根据“双赢函数”的定义得到，分类讨论：当时；当时；结合图形，联立方程组得到两直线交点，得到两点之间距离，由此列式求解即可． 【详解】（1）解：“双赢函数”的图象经过点和， ，， ，， “双赢函数”的表达式为． （2）解：是“双赢函数”， ， 为整数， ， ， ①当时，的图象如图1所示， 直线与图象只有一个交点，不合题意，舍去． ②当时，的图象如图2所示， 联立， 解得 ， 联立， 解得， 交点坐标分别为，， ， ， 又， ， ， ． 【变式25-3】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． (1)求D，C两点的坐标； (2)连接与轴交于点，求点的坐标； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)是定值；3 【分析】本题考查了实数的非负性，平移的性质，待定系数法求解析式，解析式求与坐标轴的交点，分割法求面积，熟练掌握待定系数法，平移性质是解题的关键． （1）根据，确定A，B两点的坐标，根据三角形的面积，确定点D的坐标，继而确定平移方式，解得点C的坐标即可； （2）待定系数法求得的解析式，根据解析式与坐标轴的交点问题解答即可； （3）利用分类思想，结合图形的面积分割法表示，建立等式解答即可． 【详解】（1）解：， ， 解得：， ， ， 点D的坐标为， 由平移性质可知，， 点C的坐标为； （2）解：设直线的解析式为， ∵， ∴， 解得， 故直线的解析式为， ∴． （3）解：结论：S的值是定值3，理由如下： ①如图，当点在线段上时，连接． 设运动时间为t秒， 由题意：， ， ， ， ， ； ②如图，当点在上时，连接． 由①可知， ， 综上所述，S的值是定值3． 【题型26 动点问题的函数图象】 【例26】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意将行程分为去程、参观、返程三个阶段，分别分析离学校的距离y随时间x的变化情况即可得到答案． 【详解】解：第一阶段：从学校出发匀速行驶，离学校的距离y随时间x的增大而增大，图象为从原点出发的上升线段； 第二阶段：参观博物馆，离学校的距离y保持不变，图象为平行于x轴的水平线段； 第三阶段：按原路匀速返程，离学校的距离y随时间x的增大而减小，直至回到学校，图象为下降线段； ∴符合题意的图象是先上升，再水平，最后下降， ∴只有B选项中的函数图象符合题意． 【变式26-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，连接，设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意分三种情况：当点P在线段上时，当点P在线段上时，当点P在线段上时，分别找到y关于x的函数关系式，并根据一次函数的性质在规定的取值范围内逐一判断即可得出符合要求的函数图象． 【详解】解：根据题意分三种情况： ①如图1，当点P在线段上时，过C作于E， ∴， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，， ∴， ∵点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， ∴， ∴； ∵， ∴当时，随的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为； ②如图2，当点P在线段上时，过A作交的延长线于F， ∴， ∵，即， ∴， ∴； ∵， ∴当时，随的增大而减小； ③如图3，当点P在线段上时，过C作于E， ∴， ∴； ∵， ∴当时，随的增大而增大； 综上，选项B符合题意，故选B． 【变式26-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】逐段分析变化趋势即可解答． 【详解】解：由题意得： 当蚂蚁从点O出发，在段，S随t的增大而增大； 在段，S随t的增大逐步变小；蚂蚁在中点时最小，然后逐步变大；其变化为曲线变化． 在段，即蚂蚁在圆弧上时，S不随t的变化而变化； 在段，S随t的增大逐步变小，最后S为0． 综上，选项B符合题意． 【变式26-3】（25-26八年级下·青海西宁·期末）周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】如图：应根据每个时间段小明离家的距离变化情况，进行思考．其中段表示小明离家的距离保持不变，据此即可解答． 【详解】解：根据图像得到，段S随时间t的增大而增大，因而到家的距离增大；段距离不变，说明这段所走的路线到家的距离不变，即路线是以家为圆心的圆；段S随时间t的增大而减小，因而到家的距离减小，即选项A符合题意． 【题型27 一次函数含参分类讨论】 【例27】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 【变式27-1】（25-26八年级下·山东德州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 【答案】 【分析】先把代入正比例函数及一次函数的解析式，求出的值，再根据当时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值列出关于的不等式，求出的取值范围即可． 【详解】当时，正比例函数的函数值为，一次函数的函数值为， ∵时，对于的每一个值，正比例函数的值都小于一次函数的值， ∴， ∴， 当时，正比例函数和一次函数平行，符合题意； 当时，正比例函数和一次函数交点横坐标为， 由题意可得， ， 综上所述，． 【变式27-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________． 【答案】或或 【分析】分别利用当直线过点时，k值最小，当直线过点时，k值最大，即可求出线段与直线有交点时，k的取值范围，据此即可求解． 【详解】解：当直线过点时，k值最小， 则，解得， 当直线过点时，k值最大， 则，解得， 故线段与直线有交点时，k的取值范围为， 故线段与直线没有交点时，k的取值范围为或或， 故答案为：或或． 【点睛】本题考查了直线相交或平行问题，熟练掌握直线相交或平行问题的特点是解题的关键． 【变式27-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则的取值范围为_____． 【答案】或 【分析】根据垂线性质得、的横坐标均为，代入直线方程得到纵坐标，推导的长度表达式，分和两种情况，结合随长度增大而增大的条件求解的范围． 【详解】解：∵过点作轴的垂线，交两条直线于， ∴， 将代入，得，即， 将代入，得，即， ∴， 设的长为，则，， ∵点从运动到， ∴的取值范围是， 分情况讨论： ①当时，，， 代入得， ∵的长随的长的增大而增大， ∴需要在范围内，随增大而增大， 即在上恒成立， ∴当取最小值时，， 解得； ②当时，，，代入得 ， ∵， ∴， 又， ∴， ， ∵的系数为， 随增大而增大恒成立，符合条件； 综上，的取值范围为或． 【题型28 一次函数与角度计算综合】 【例28】（25-26七年级下·四川泸州·期末）在直角坐标系中，已知点，，，且是的立方根；方程是关于、的二元一次方程，是的整数部分． (1)求出点，，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数． (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)点，点，点 (2) (3)存在，点的坐标为或 【分析】（1）根据题干信息推导即可； （2）根据平行线定理、角平分线性质和三角形内角和定理分析即可； （3）把△ABP分成两个三角形，根据直线AB的解析式求出点F点坐标，结合题意求出P点坐标即可． 【详解】（1）解：由题意可知，，，，， ∴，，， ∴点，点，点； （2）解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∴， 由题意可知，，， 在中，， ， ∴； （3）解：由（1）可知，，， 设直线的解析式为， ，解得，， 直线的解析式为， ∴点点坐标为，， ∴，即， ∵点可能在轴的正负半轴， ∴点的坐标为或． 【点睛】本题为三角形综合题，综合考查平行线性质、角平分线性质、三角形内角和定理和三角形面积，第一问考查立方根求解，二元一次方程定义和无理数的大小，综合性较强． 【变式28-1】（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在y轴和x轴上，直线分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且． (1)如图1，若G是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点P． ①若，则的度数为______； ②求的度数． (2)如图2，点A、B、D的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围． 【答案】(1)①；② (2)当时，；当， 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得，根据角平分线的性质可得，根据平行线的性质可得，三角形内角和定理可得，根据邻补角的定义可得，根据角平分线的性质即可求解； ②根据邻补角的定义可得，根据①中结论和四边形内角和即可求解； （2）待定系数法求得直线的解析式为，由题意可知点在的直线上，设直线与轴交于点，直线与交于点，求得，，分两种情况讨论；当点在之间时，即时，过点作，根据平行线的性质可推得，当点在左侧时，即，过点作，根据平行线的性质可推得． 【详解】（1）解：①∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 故答案为：． ②∵， ∴， ∴． （2）解：设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为； ∵， ∴点在的直线上， 设直线与轴交于点， ∴， 设直线与交于点， 故将代入， 解得， ∴， 连接， 当点在之间时，即时， 过点作，如图：      ∵， ∴， ∴，， ∴； 当点在左侧时，即， 点作，如图：      ∵， ∴， ∴，， ∴； 综上所述：当时，；当，． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理，角平分线的性质，平行线的性质，四边形内角和，求一次函数的解析式，一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行线的性质是解题的关键． 【变式28-2】（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(b，0)，C(3，2)，且，满足． （1）求三角形的面积； （2）过点作的平行线交轴于点，与的平分线交于点，求的度数； （3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）三角形ABC的面积为；（2）∠E= 45°；（3）点P的坐标为(0，)或(0，)． 【分析】（1）利用非负数的性质求得a，b的值，得到点A，B的坐标，利用三角形的面积公式即可求解； （2）利用平行线的性质得到∠ADO+∠CBA=90°，再根据角平分线的定义即可求解； （3）设点P的坐标为(0，c)，求得直线AC的解析式为，得到点G (0，)，再利用三角形面积公式列方程求解即可． 【详解】解：∵(a+2)2+=0， ∴a+2=0，， 解得：a=-2，b=4， ∴点A(-2，0)，B(4，0)，C(3，2)， ∴三角形ABC的面积=； （2）如图，连接BD， 则∠OBD+∠ODB=90°， ∵BC∥AD， ∴∠BAD=∠CBA， ∵∠ADO+∠BAD=90°， ∴∠ADO+∠CBA=90°， ∵∠ADO与∠CBA的平分线交于点E， ∴∠EDO+∠EBO=(∠ADO+∠CBA)=45°， ∴∠E=180°-(∠EDO+∠EBO)-(∠OBD+∠ODB)= 45°； （3）存在，理由如下： 设点P的坐标为(0，c)，AC与y轴交于点G， ∵点A(-2，0)，C(3，2)， 设直线AC的解析式为， ∴，解得， ∴直线AC的解析式为， 令x=0，则， ∴点G (0，)， ∴三角形ACP的面积=， 即， 解得：或． ∴点P的坐标为(0，)或(0，)． 【点睛】本题考查了非负数的性质，坐标与图形的性质，平行线的性质，三角形的面积，待定系数法求函数解析等知识，根据点的坐标确定线段的长度是解题的关键． 【变式28-3】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一次函数图象的性质，分两种情况考虑：①C点在x轴正半轴；②C点在x轴负半轴．分别计算出度数，两个角的和差即为所求度数． 【详解】解：与轴的交点坐标为， ． 又点是轴上的一点，且， 点的坐标是或． 如图： ①当点的坐标是时，， ． ， ， ， ， ②当点的坐标是时，， ， ， ． 故答案为：或． 【题型29 一次函数实际应用综合】 【例29】（25-26八年级下·广东广州·期末）某综合与实践小组为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，开展了以下研究． 【问题背景】 如图，某饮水机内有两个大小不同的长方体水箱，两水箱各配有一条注水速度相同的智能水管．当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱（此时乙箱水满）．当甲乙两箱的水位相同时，2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作（注水期间饮水机不对外出水）． 【问题分析】 该小组根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图所示． 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)函数图象①描述的是水箱 （填“甲”或“乙”）的水位变化情况； (2)求出图中的值； (3)直接写出函数图象②的解析式； (4)为节约能源，设定两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，已知加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟各耗电度，求图15整个注水过程中饮水机所消耗的电量． 【答案】(1)甲 (2) (3) (4)整个注水过程中饮水机所消耗的电量为0.35度 【分析】（1）根据甲箱至最低水位时1号管启动，可得函数图象①描述的是水箱甲的水位变化情况； （2）根据甲水箱在8分钟内水面上升了，可得甲水箱水面上升的速度，计算出当时，甲水箱水面上升的高度，加上原来的，即为a的值； （3）利用待定系数法分段进行求解即可； （4）分三种情况算出甲、乙两水箱水位差恰好是的时间．计算出时间差即为需要加热的时间．用电量加热的时间 两根水管工作的8分钟的用电量即可求出答案． 【详解】（1）解：∵甲箱至最低水位时1号管启动， ∴函数图象①描述的是水箱甲的水位变化情况． （2）解：由题意得：甲水箱在8分钟内水面上升了， ∴甲水箱水面上升的速度为：． 当时，水面上升， ∴． （3）解：当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：； 当时，设乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． ∵经过点， ∴． 解得：． ∴当时，乙水箱的水位h关于时间t的函数解析式为：． 综上可知，函数图象②的解析式为： （4）解：当时，若，则，解得； 当时，若，则，解得；     当时，若，则，解得． 当，时，饮水机启动加热． 整个注水过程中饮水机所消耗的电量为： 答：整个注水过程中饮水机所消耗的电量为0.35度． 【变式29-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【答案】(1) (2)（，且x为整数） (3)总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【分析】（1）由题意可知，B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆，依次算出型冷柜车的数量，判断是否满足题意即可； （2）根据（1）所求结合总费用的计算公式列式求解即可； （3）根据（2）所求利用一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵两种车型都租用，B型车辆最多不超过5辆， ∴B型车辆可以为1辆，2辆，3辆，4辆，5辆， ∵要求把40吨荔枝全部运完，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨， ∴当B型车辆为5辆时，，那么型冷柜车需要4辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为4辆时，，那么型冷柜车需要5辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为3辆时，，那么型冷柜车需要6辆，符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，此时共需9辆冷柜车； 当B型车辆为2辆时，，那么型冷柜车需要7辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 当B型车辆为1辆时，，那么型冷柜车需要8辆，不符合A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍； 综上，共需9辆货柜车； （2）解：由题意得， （，且x为整数）； （3）解：∵在中，， ∴y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值，最小值为，此时， 答：总费用最低的租车方案为租用A型冷柜车4辆，B型冷柜车5辆，最低费用是14800元． 【变式29-2】（25-26九年级下·山东聊城·期中）项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； (2)当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ (3)由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度(即按 (1)中函数关系读数)．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 【答案】(1) 描点如图所示： (2)7斤 (3)物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 【分析】（1）利用描点法画出图形即可判断错误的数据，设函数解析式为，使用待定系数法求解即可； （2）将代入函数关系式求解即可； （3）先建立新秤的实际重量与秤砣位置的函数关系式，再根据新的函数关系式求解即可． 【详解】（1）解：由图可知，是错误的， 设函数关系式为， 将点与代入函数关系式， 即，解得， ∴函数关系式为； （2）解：当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时， 即，， 答：当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是7斤； （3）解：设物体实际重量为m斤，秤砣距离绳纽的水平位置为n， 当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡， 即时，； 当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处． 即时，， ∵实际重量与秤砣到3厘米的距离成正比，设关系式为， 将，代入函数关系式可得，，解得， ∴， 当秤砣放在距离绳纽10厘米处时，即时， 则有斤； 由（1）得到的原函数关系式为，当时， 则有斤， 答：物体的实际重量为2.8斤，按原来刻度读出的示数为6斤． 【变式29-3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 【答案】（1）1.25，1.9；（2）；；（3）2.7千米；（4）符合约定 【分析】（1）根据函数图象可得获取信息即可； （2）先求出运输车所行路程直线的表达式是，得到点C的坐标是．再由点、点在直线上，求出的表达式． （3）求出，得到无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）求出当时，当时，（千米）米米；当时，时，（千米）米米；按图象所表示的走法符合约定． 【详解】解：（1）根据函数图象可得，运输车比无人机晚出发1.25分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了分钟； （2）设运输车所行路程直线的表达式为， ∵点，点均在直线上， ∴， 解得， ∴运输车所行路程直线的表达式是． ∵点C在直线上，且点C的横坐标为6， ∴点C的纵坐标为， ∴点C的坐标是． 设直线的解析式为， ∵点、点在直线上， ∴， 解得， ∴无人机在接收完指令后（即时段）的表达式． （3）∵B点在直线上且点B的横坐标为4.9，代入y得， ∴无人机在排除故障时，距出发点的路程是2.7千米． （4）符合约定； 方法一：由图象可知：无人机和运输车第一次相遇后在B和D相距最远． 在点B处有千米220米250米； 在点D有千米200米250米， ∴按图象所表示的走法符合约定． 方法二：设两设备之间的距离为h千米， 当时，， ∵，∴h随着x的增大而减小， ∴当时，（千米）220米250米； 当时，， ∵，∴h随着x的增大而增大， ∴当时，（千米）200米250米； ∴按图象所表示的走法符合约定． 【题型30 一次函数与轴对称综合】 【例30】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，﹣1）和B（0，2）两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将（1）中的一次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的函数图象． ①请画出新函数图象； ②求新函数图象与直线y＝x+的交点坐标； （3）点C（0，t）为y轴上一动点，过点C作直线l垂直于y轴．直线l与新函数图象交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线y＝x+交于点N（x3，y3），如果x1＜x3＜x2，请结合函数图象，求出x1+x2+x3的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x+2；（2）①见解析；②（1，1）和（5，3）；（3）5＜x1+x2+x3＜9． 【分析】（1）利用待定系数法，即可得到一次函数的表达式； （2）解方程组即可得到新图象与y＝x+的交点坐标为（1，1）和（5，3）； （3）依据，可得点N在P，Q之间，进而由图可得，t的取值范围为：1＜t＜3，把t＝1和t＝3分别代入解析式求得、、的值，即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）由题意得， 解得， ∴一次函数的表达式为y＝﹣x+2； （2）①画出新函数图象如图： ②当x≤2时，， 解得：， 即C（1，1）， 当x＞2时，， 解得：， 即D（5，3） ∴新图象与的交点坐标为（1，1）和（5，3）； （3）由（2）可得新图象与的交点坐标为（1，1）和（5，3）； ∵， ∴点N在P，Q之间， ∴由图可得，如图所示： ∴t的取值范围为：1＜t＜3， 把y＝1分别代入y＝﹣x+2，y＝x﹣2，得：， ∴； 把y＝3分别代入y＝﹣x+2，y＝x﹣2，得，， ∴； ∴的取值范围是． 【点睛】本题主要考查一次函数的综合，熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 【变式30-1】（2025·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的图象与不等式的结合，熟练运用数形结合是解题的关键．画出大致图象，由函数的解析式求得最低点为，点关于直线的对称点为，由题意可知，解不等式即可． 【详解】解：函数的图象如图， 可知函数的最低点为， 点关于直线的对称点为， 当直线与图象有四个交点时，可得， 解得， 故选：B． 【变式30-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是______． 【答案】/ 【分析】本题考查一函数的性质，一次函数解析，对称的性质，根据题意画出函数图象，求出函数G的解析式为，结合函数图象，分三种情况讨论，当；当；当；分别列出不等式求解即可． 【详解】解：如图， 当时，，当时，， ， 一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折， ， 设x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 则，解得， x轴下方的图象沿x轴翻折后的函数解析式为， 函数G的解析式为， 如图，当时， 显然，，不符合题意； 如图，当时， 此时，点P，Q都在的函数图象上， ， ； 如图，当时， 此时，点P在的函数图象上，点Q在的函数图象上， ， ， ， ； 综上，当时，都有， 故答案为：． 【变式30-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知直线，若点满足，且，则称点A，B关于直线对称． (1)点关于直线对称点的坐标为______． (2)若点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线l经过点，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握新定义，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）根据新定义，进行求解即可； （2）根据新定义，求出点的坐标，进而求出一次函数的解析式，再求出函数与坐标轴的交点，利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）设 由题意，，即， 整理得 又，整理得 ∴，解得 代入得， 故． 故答案为：； （2）同（1）法可得， ∵点在直线上， ∴对称点与C重合，坐标为． 设直线的解析式为，则：， 解得， ∴， 当时，，当时，， ∴直线与两个坐标轴的交点为， ∴三角形面积 故答案为：． 【题型31 多个一次函数图象综合】 【例31】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由正比例函数图象过原点得到各选项中的正比例函数图象，进而由图象性质得出的符号，再由的符号验证一次函数图象是否正确即可． 【详解】解：A、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象符合要求； B、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； C、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是下降的、且与轴交于负半轴上，则选项中函数的图象不符合要求； D、由正比例函数图象过原点可知，选项中过原点的图象对应的， 对于一次函数，，即该函数图象从左到右看是上升的、且与轴交于正半轴上，则选项中函数的图象不符合要求． 【变式31-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：、∵一次函数经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过一、三象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意； 、∵一次函数经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形正确，符合题意； 、∵一次函数经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∴正比例函数经过二、四象限，该选项图形错误，不符合题意． 【变式31-2】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一次函数图象与系数的关系，分析一次项系数与常数项判断一次函数的大致图象是解题的关键． 首先通过分析一次项系数与常数项的符号，再逐一验证选项是否符合图象特征即可． 【详解】解：对于A：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故A错误； 对于B：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于正半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应下降，且与y轴交于负半轴，∴与图象相符合，故B正确； 对于C：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故C错误； 对于D：的图象从左到右上升，∴，与y轴交于负半轴，∴，即；此时的斜率，，图象应上升，且与y轴交于负半轴，∴与图象不符，故D错误； 故选：B． 【变式31-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数图像，理解一次函数图像、正比例函数图像与参数的关系是解题的关键． 根据，且，可知，或；由可判断A、B选项，再分和两种情况可判定B、D选项． 【详解】解：∵，且， ∴，或， ∵， ∴函数的图像过二、四象限，故A、B选项不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的负半轴，即B、D选项都不符合题意； 当，一次函数的函数值y随x的增大而增大，且与y轴的交点在y轴的正半轴，即D选项都符合题意． 故选：D． 【题型32 含绝对值的一次函数】 【例32】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 __________________． 【答案】或或 【分析】本题考查一次函数的综合应用，先去绝对值，画出的图象，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当，即：时，， 当时，， ∴， 当时，， ∴图象过点； ∵， ∴当时，， ∴过定点， ∴当过点时，，解得：， 当与平行时，， 当与平行时，， 如图：直线绕点旋转， 由图可知：当或或时，的图象与函数的图象只有一个交点， 故答案为：或或． 【变式32-1】（25-26九年级下·湖南娄底·期中）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为 _____． 【答案】8 【分析】设B点的坐标为(x,y)，由「B」=4且在第一象限，可得y=−x+4(x>0,y>0)．于是得到所有点B与坐标轴围成的图形为等腰直角三角形，进而即可求解． 【详解】设B(x,y)，由「B」=4且在第一象限知，x+y=4(x>0,y>0) 即：y=−x+4(x>0,y>0) 故所有点B与坐标轴围成的图形如图所示的三角形， 故其面积为×4×4=8 故答案为8． 【点睛】本题考查了坐标与图形的性质，一次函数的图像，正确理解勾股值的定义以及画出一次函数的图像是解题的关键． 【变式32-2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 2 0 0 根据表格中的信息可得____________． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 (3)写出函数的一条性质____________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为____________． (5)若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析 (3)当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大（答案不唯一） (4) (5) 【分析】（1）直接代入求值即可； （2）通过描点，连线，画图即可； （3）由函数图象，写出对应的增减性即可； （4）求出两个函数的交点坐标，结合函数图象即可得到答案； （5）根据（4）所画函数图象即可得到答案． 【详解】（1）解：把代入得，， ． （2）解：如图所示即为所求；    （3）解：由函数图象可得，在中，当时，y随x增大而减小，当时，随x增大而增大； （4）解：在中，当时，，当时，， 联立， 解得； 联立， 解得； 如图 ∴由函数图象可得，不等式的解集为：； （5）解：由函数图象可知， 当时，函数与函数有两个交点，且两个交点分别在y轴的左右两侧， 即此时关于x的方程有且只有一个正数解和一个负数解， m的取值范围为． 【变式32-3】（24-25八年级下·北京·期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【答案】(1)全体实数， (2)①；②；③ (3)函数向下平移个单位长度得，函数向左平移个单位长度得； (4) 【分析】（1）根据函数图象进行解答即可； （2）根据函数图象进行解答即可； （3）根据函数图象进行解答即可； （4）先推导出函数，当时，随的增大而减小，得到当时，，进而推导出函数当时，，需满足对称轴，解得，即可解答． 【详解】（1）解：由图象，可知，函数的自变量的取值范围全体实数； 对于函数，当时，． （2）解：由图像，可知 ①图象与图象的交点坐标为； ②图象关于对称 ③对于函数，当时，的取值范围． （3）解：由图象，可知 函数向下平移个单位长度得， 函数向左平移个单位长度得； （4）解：如图， 函数， 当时，随的增大而减小， 即当时，， 函数的对称轴为， 且当时，， ∴函数需满足对称轴， 解得． 【题型33 一次函数与面积综合】 【例33】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在直线上，点在直线上，点与点的横坐标都是（为常数），直线与直线交于点．当点与点不重合时，连结，以为边在的右侧作正方形． (1)点的坐标为________； (2)当时， ①当正方形的周长为12时，求的值； ②证明：的面积是正方形面积的； (3)连结、、、，当的面积是面积的3倍时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)①， ②∵，， ．                          的面积为，    正方形的面积为    即的面积是正方形面积的． (3)或或 【分析】（1）令，解方程即可得到； （2）①由题可得边长，进而得到点的纵坐标为，再求出点横坐标即可； ②根据题意，，，分别计算出的面积和正方形的面积，再判断即可； （3）先计算可得，再分、两种情况进行求解． 【详解】（1）解：令，解得，则； （2）①当正方形的周长为12时，则边长为，即， 又， 所以点在点的上方，则点的纵坐标为， 令，解得，即， 故； ②略 （3）解：， ， ①时，， ， 整理得， 解得或， ②时，， ， 整理得， 解得或（舍去）， 综上，的值为或或． 【变式33-1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 【答案】 【分析】连接点与点并延长，交轴于点，即可得到点的“盲区”．利用待定系数法求出直线的解析式，进而得到点的坐标，最后使用割补法求出点的“盲区”的面积． 【详解】解：如图，阴影部分即为点的“盲区”， 设直线的解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入，得， ∴点的坐标为， ∴． 【变式33-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，均是等腰直角三角形，其直角顶点，在直线上，点，在轴上，且． （1）点的坐标是_______； （2）的面积是_______． 【答案】 【分析】本题考查了等腰直角三角形性质，直角三角形的性质，待定系数法求坐标的知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）过作轴于，根据等腰的性质和直角三角形的性质可得，即可求得点的坐标． （2）过作轴于，待定系数法可得直线解析式为，根据等腰的性质和直角三角形的性质可设，则，代入中，可得的值，即可得，，利用三角形面积公式即可求解． 【详解】解：（1）过作轴于，如图： ∵是等腰直角三角形， ∴． ∴， 故答案为：． （2）过作轴于，如图： 把代入，得， ∴． ∴直线解析式为， ∵是等腰直角三角形， ∴， 设，则 把代入，则， 解得：， ∴， ∴， ∴的面积是， 故答案为：． 【变式33-3】（25-26八年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，原点，点在直线上，矩形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边，边，边，边向终点运动．若点在直线上，且轴．设点运动的时间为． 当时，，两点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积的最大值为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先确定点P的坐标，再求出和面积，再逐项判断即可． 【详解】解：①当时，点 从 出发，沿 运动1秒，则 ， ∵ 轴，且 在直线 上，则 ， ∴ ，①错误； ②当 时， ∵点在直线上， ∴ ，分三段讨论： 当P在上时即 ： ，， ， 面积为 ，最大值在 时为4； 当P在上时，即 ， ，， 面积为 ，最大值在 时为7； 当P在上时，即 ， ，，， 面积为 ，最大值趋近于7（但不包含7）； 最大值7在 时取得②正确； 当P在上时，即 ， ，面积为 ， ③由②可知使得 的面积为1， 则在 区间， ，无解； 在 区间， ，令其等于1得 ，不符合题意； ③错误； ∴其中，正确结论只有1个． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第12章 函数与一次函数（举一反三讲义）全章题型归纳 【新教材沪科版】 题型归纳 【夯实基础】 2 【题型1 函数的相关概念】 2 【题型2 求自变量的取值范围】 2 【题型3 求函数值或自变量的值】 3 【题型4 一次函数的概念】 3 【题型5 由解析式判断经过的象限】 4 【题型6 求一次函数与坐标轴交点】 4 【题型7 用待定系数法求解析式】 5 【题型8 判断一次函数的增减性】 5 【题型9 比较一次函数值的大小】 5 【题型10 一次函数图象的平移】 6 【题型11 列一次函数解析式并求值】 7 【题型12 一次函数与一元一次方程】 8 【题型13 一次函数与一元一次不等式(组)】 8 【题型14 一次函数与二元一次方程(组)综合】 9 【进阶拔高】 11 【题型15 已知经过象限求参数范围】 11 【题型16 根据增减性求参数】 11 【题型17 一次函数图象与对称问题】 12 【题型18 一次函数与几何面积综合】 12 【题型19 一次函数实际应用（行程类）】 14 【题型20 一次函数实际应用（方案类）】 15 【题型21 一次函数实际应用（利润类）】 18 【题型22 一次函数实际应用（梯度计价类）】 19 【题型23 从函数图象获取信息】 21 【题型24 一次函数的规律探究】 23 【创新思辨】 25 【题型25 一次函数中的定值问题】 25 【题型26 动点问题的函数图象】 27 【题型27 一次函数含参分类讨论】 28 【题型28 一次函数与角度计算综合】 29 【题型29 一次函数实际应用综合】 31 【题型30 一次函数与轴对称综合】 34 【题型31 多个一次函数图象综合】 35 【题型32 含绝对值的一次函数】 37 【题型33 一次函数与面积综合】 39 【夯实基础】 【题型1 函数的相关概念】 【例1】（26-27九年级上·广东惠州·开学考试）下列图象中，y不是x的函数的是（     ） A． B． C． D． 【变式1-1】（26-27九年级上·黑龙江绥化·开学考试）用长为的篱笆围成一个长方形场地，设这个长方形场地的一边长为，周长为，面积为．则其中的变量是（   ） A．a，L B．L，S C．a，S D．a，L，S 【变式1-2】（25-26八年级下·河北唐山·期末）李明到超市购买矿泉水，如图是收银机打印的购物小票部分内容，在购物过程中，他发现付款金额随购买矿泉水数量的变化而变化，则其中的常量是（    ） A．数量 B．单价 C．金额和单价 D．金额和数量 【变式1-3】（25-26八年级下·贵州铜仁·阶段检测）下列各式，不能表示y是x的函数的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求自变量的取值范围】 【例2】（26-27九年级上·全国·课后作业）函数中，自变量x的取值范围是（     ） A． B． C．的一切实数 D．x取任意实数 【变式2-1】（25-26八年级下·河北邢台·期末）在函数中，自变量的取值范围是______． 【变式2-2】（2026·西藏拉萨·模拟预测）函数的自变量的取值范围是________； 【变式2-3】（26-27九年级·上海·暑假作业）函数的定义域是_____． 【题型3 求函数值或自变量的值】 【例3】（25-26七年级下·四川乐山·期末）在中，如果，那么________． 【变式3-1】（25-26八年级下·贵州遵义·期中）下列各点中，在函数的图象上的是（     ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2026·甘肃兰州·中考真题）一辆汽车的行驶距离关于行驶时间的函数关系式是．若汽车行驶，则行驶时间是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26八年级上·河南南阳·期末）下表表示的是2026年6月安阳市最高气温与日期的函数关系． 日期 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 最高气温（℃） 31 31 31 31 31 32 32 32 31 31 33 33 由表可知，当时，的函数值为（     ） A． B． C． D． 【题型4 一次函数的概念】 【例4】（25-26八年级下·河南新乡·阶段检测）下列函数关系式：①；②；③；④；⑤，一次函数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式4-1】（25-26八年级上·河南南阳·期末）已知函数是正比例函数，则常数的值是_____． 【变式4-2】（24-25八年级下·上海·阶段检测）函数是关于的一次函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D．且 【变式4-3】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）（1）若函数是正比例函数，求m的值； （2）若函数是一次函数，求m的值． 【题型5 由解析式判断经过的象限】 【例5】（25-26八年级下·山东聊城·期末）已知一次函数且随的增大而增大，那么它的图象不经过第_______象限． 【变式5-1】（2026·江苏南通·中考真题）一次函数的图像不经过的象限是（     ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式5-2】（25-26八年级下·北京·期中）如图，在点M，N，P，Q中，一次函数的图象不可能经过的点是______． 【变式5-3】（25-26八年级上·江西景德镇·期末）如果方程组无解，那么直线不经过第_________象限． 【题型6 求一次函数与坐标轴交点】 【例6】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）一条直线与x轴交于点，则该直线与y轴的交点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）直线与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）已知一次函数的图像与轴、轴分别交于、两点，坐标原点为，则为__________． 【变式6-3】（25-26八年级下·全国·单元复习）如图，已知直线经过点M，求k的值和此直线与x轴，y轴的交点坐标． 【题型7 用待定系数法求解析式】 【例7】（25-26八年级下·云南曲靖·期末）已知一次函数的图象经过点和，则 k、b 的值分别为（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】（25-26八年级下·贵州安顺·期末）已知点在正比例函数的图象上，则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式7-2】（25-26八年级下·辽宁抚顺·期末）已知一次函数的图像与直线平行，且过点，那么此一次函数的解析式为____________． 【变式7-3】（2026·江苏宿迁·二模）定义为一次函数的特征数，若点在特征数是的一次函数上，则的值是_________． 【题型8 判断一次函数的增减性】 【例8】（24-25八年级下·上海·阶段检测）已知函数，随着的增大而___________； 【变式8-1】（25-26九年级上·河南郑州·期末）请写出一个函数表达式，使此函数满足：①y随x的增大而增大，②函数图象过点，你写的函数表达式是 _____． 【变式8-2】（25-26八年级上·江苏宿迁·期末）已知一次函数，当时，的最大值是__________． 【变式8-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）一次函数的自变量的取值范围是，相应函数值的取值范围是______． 【题型9 比较一次函数值的大小】 【例9】（25-26八年级上·四川达州·阶段检测）已知，是直线上的两个点，则，的大小关系是______． 【变式9-1】（25-26八年级下·广东潮州·期末）若点，在一次函数的图象上，则，的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【变式9-2】（25-26八年级上·陕西渭南·期末）若点，在一次函数（为常数）的图像上，则和的大小关系是___________．（填“”，“”或“”） 【变式9-3】（25-26八年级下·广东·期末）已知点，，都在直线上，则，，的值的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【题型10 一次函数图象的平移】 【例10】（2026·陕西西安·模拟预测）如图，已知直线经过点和点，其中点在轴上，点的横坐标为10，若将线段平移至，点的对应点的坐标为，则点的纵坐标是（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式10-1】（25-26八年级下·广东汕头·期末）把的图象沿轴向上平移个单位后所得图象的关系式是（     ） A． B． C． D． 【变式10-2】（25-26八年级上·全国·期末）（1）将一次函数的图象向左平移2个单位，所得函数图象的解析式是___________； （2）将一次函数的图象作关于x轴对称的变换，所得函数图象的解析式是______________． 【变式10-3】（25-26八年级下·江西南昌·期末）一次函数的图象，如图所示． (1)求这个一次函数的解析式； (2)如果这个一次函数的图象向上平移m个单位得到的图象恰与它向右平移n个单位得到的图象完全相同，求、之间的等式关系． 【题型11 列一次函数解析式并求值】 【例11】（25-26七年级上·山西晋城·阶段检测）鞋码代表鞋子的大小，中国鞋码与脚长之间呈现一定的规律．在网购时，人们可以根据自己的脚长对照中国鞋码，从而选择合脚的鞋子．脚长（单位：）与中国鞋码的部分对照如下表： 脚长 … 23 23.5 24 24.5 … 中国鞋码 … 36 37 38 39 … 小陈的脚长为，则他在网购时选择的中国鞋码为________（用含的代数式表示）． 【变式11-1】（25-26八年级下·天津静海·期中）某工厂共有煤80吨，每天燃烧的煤量为5吨，请写出剩余煤量吨与烧煤天数天函数解析式______，自变量的取值范围______，当时时，______． 【变式11-2】（25-26六年级下·山东济南·期末）为了加强公民的节水和用水意识，合理利用水资源，各地采用价格调控等手段达到节约用水的目的．某市规定如下用水收费标准：每户每月的用水不超过时，水费按每立方米元收费；超过时，不超过的部分每立方米仍按元收费，超过的部分每立方米按元收费．该市某户今年3、4月份的用水量和水费如下表所示： 月份 用水量（） 水费（元） 3 5 7.5 4 9 27 根据题意可知：____________；设某户该月用水量为，应交水费为（元），写出与之间的关系式____________． 【变式11-3】（2026·安徽阜阳·一模）某超市以10元／千克的价格购进种水果，已知该超市零售这种水果的质量与售价之间的关系如图所示，则该超市以12元／千克零售这种水果所获得的利润为（   ） A．1800元 B．2400元 C．3600元 D．4800元 【题型12 一次函数与一元一次方程】 【例12】（25-26八年级下·湖北武汉·期末）直线经过点和点，则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式12-1】（25-26八年级下·云南昆明·期末）如图，已知一次函数的图象是一条直线，则关于x的方程的解为________． 【变式12-2】（25-26八年级下·云南曲靖·阶段检测）方程的解可以看作一次函数的图象与x轴交点的横坐标．则方程的解是（     ） A． B． C． D． 【变式12-3】（25-26八年级下·北京·期中）已知一次函数（k、b是常数，且），x与y的部分对应值如下表所示，那么方程的解是（    ） 2 3 A． B． C． D． 【题型13 一次函数与一元一次不等式(组)】 【例13】（2026·江苏宿迁·中考真题）一次函数的图象如图所示，则关于x的不等式的解集为（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】（25-26八年级下·江西萍乡·期末）如图，直线与相交于点，点的纵坐标为，则关于的不等式的解集是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，直线与的交点的横坐标为5，则关于x的不等式组的解集是________． 【变式13-3】（25-26八年级下·山东烟台·期末）如图，函数和的图象相交于，则关于的不等式的解集是________． 【题型14 一次函数与二元一次方程(组)综合】 【例14】（北京市丰台区2025～2026学年度第二学期期末练习八年级数学）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点，则关于，的方程组的解是_____． 【变式14-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）如图，直线y＝x+5和直线y＝ax+b相交于点P，观察其图象可知方程x+5＝ax+b的解（　　） A．x＝15 B．x＝25 C．x＝10 D．x＝20 【变式14-2】（25-26八年级上·河南郑州·期末）如图，直线、的交点坐标可以看做下列方程组（  ）的解． A． B． C． D． 【变式14-3】（25-26八年级下·贵州黔东南·阶段检测）已知函数的图象如图所示， (1)用“两点法”在平面直角坐标系中画出的图象； (2)直接写出方程组的解． 【进阶拔高】 【题型15 已知经过象限求参数范围】 【例15】（25-26八年级下·山东菏泽·期末）当直线不经过第一象限，则的取值范围是____________． 【变式15-1】（25-26八年级下·河北承德·期末）将直线（为常数）向上平移2个单位长度，若平移后的直线经过第一、第二、第四象限，则的值可以是（     ） A． B． C． D． 【变式15-2】（25-26八年级下·湖北武汉·阶段检测）已知过点的直线不经过第四象限，设，则S的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式15-3】（25-26八年级下·江西赣州·期末）已知关于的一次函数． (1)若函数的图象平行于直线，求的值； (2)若函数的图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【题型16 根据增减性求参数】 【例16】（25-26八年级下·湖南长沙·期末）若关于的一次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是______． 【变式16-1】（25-26八年级上·全国·期末）已知一次函数的图象如图所示，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式16-2】（25-26八年级下·山东聊城·阶段检测）一次函数的图象经过点P，且y随x的增大而减小，则点P坐标可以为（     ） A． B． C． D． 【变式16-3】（25-26八年级下·青海西宁·期末）一次函数，当时，的最大值为，则的值为__________． 【题型17 一次函数图象与对称问题】 【例17】（25-26七年级上·山东淄博·期末）关于一次函数的图象，下列说法正确的是（   ） A．关于直线对称 B．关于轴对称 C．关于轴对称 D．关于直线对称 【变式17-1】（25-26八年级上·浙江宁波·期末）直线关于轴的对称直线解析式是___________． 【变式17-2】（25-26八年级下·重庆渝中·期中）在平面直角坐标系中，将直线关于平行于轴的一条直线对称后得到直线，若直线恰好过点，则直线的表达式为______． 【变式17-3】（2026·广东东莞·三模）若直线与直线关于直线对称，则k、b值分别为（     ） A． B． C．， D．， 【题型18 一次函数与几何面积综合】 【例18】（25-26八年级下·重庆合川·期末）如图，一次函数的图象与坐标轴分别交于，两点，若过原点的直线将分割为面积相等的两个三角形，则直线的解析式为（     ） A． B． C． D． 【变式18-1】（25-26八年级下·北京·期中）一次函数的图象过点(2，0)，且与两坐标轴围成的三角形的面积是4，则的值是_____． 【变式18-2】（25-26八年级下·广西河池·阶段检测）如图，直线与x轴交于点D，直线与x轴交于点A，且经过点B，直线，交于点． (1)求m的值； (2)求直线的解析式； (3)的面积． 【变式18-3】（25-26八年级下·山东聊城·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点C，交y轴于点D，点A，B的坐标分别为，，直线与直线相交于点P； (1)求直线的表达式； (2)求点P的坐标； (3)若直线上存在一点E，使得的面积是的面积的4倍，求出点E的坐标． 【题型19 一次函数实际应用（行程类）】 【例19】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）五一假期期间，小明和爸爸从西安路出发，沿黄河路匀速步行到中山公园后，锻炼，然后再沿黄河路匀速步行到人民广场游玩．小明距中山公园的路程（单位：）与出发时间（单位：）的图象如图所示． (1)求小明从西安路步行到中山公园的速度； (2)求小明从中山公园步行到人民广场的路程与出发时间的函数表达式； (3)求小明从西安路出发，经过多长时间距中山公园的路程为． 【变式19-1】（24-25八年级下·上海·阶段检测）某边防局接到情报，近海处有一可疑船只正向公海方向行驶，边防局迅速派出快艇B追赶（如图1）．图2中分别表示两船相对于海岸的距离（海里）与追赶时间（分钟）之间的关系． (1)求对应的函数解析式． (2)当逃到离海岸12海里的公海时，将无法对其进行检查．照此速度，能否在逃入公海前将其拦截？并说明详细理由． 【变式19-2】（25-26七年级下·辽宁辽阳·期末）学校举行大型活动，用甲、乙两架无人机进行航拍．若无人机在上升过程中匀速飞行，甲先从地面起飞，在空中停留一会儿后继续上升，此时乙从地面起飞．无人机所在高度（米）与甲起飞时间（秒）之间的关系如图所示，根据图像回答下列问题： (1)甲在空中停留时的高度是__________米，甲起飞__________秒后，乙开始起飞； (2)求甲无人机的上升速度是多少米/秒？ (3)若两架无人机所在的高度相差10米，请直接写出的值． 【变式19-3】（25-26七年级下·山东烟台·期末）甲、乙两地相距，一列快车和一列慢车都从甲地驶往乙地，慢车先行驶后，快车才开始行驶，快车到达乙地后，慢车降速以的速度行驶至乙地．已知快车的速度是，以快车开始行驶时开始计时，两车都到达乙地停止计时．设时间为，两车之间的距离为，如图是y与x之间的函数关系的部分图象． 请解答下列问题： (1)a的值为________，b的值为________，慢车在降速前的速度为________； (2)从两车相遇到快车到达乙地时，求y与x的函数关系式； (3)请在图中补全y与x之间的函数图象． 【题型20 一次函数实际应用（方案类）】 【例20】（25-26八年级下·云南德宏·期末）请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 德宏是我国咖啡的重要产区之一，独特的气候和土壤条件，使得德宏咖啡以其浓郁的香气和醇厚的口感闻名遐迩． 素材一 某公司计划购买德宏咖啡和其他地区的茶叶作为活动奖品．已知购买2盒德宏咖啡和3盒茶叶，需要480元；购买4盒德宏咖啡和1盒茶叶，需要440元． 素材二 该公司计划购买德宏咖啡和茶叶共计80盒，咖啡和茶叶均需购买，且购买德宏咖啡的数量不超过茶叶数量的．     请完成下列任务 (1)每盒德宏咖啡和每盒茶叶的价格分别为多少元； (2)给出最节省费用的购买方案，并求出最低购买费用． 【变式20-1】（25-26九年级上·云南昆明·期末）非物质文化遗产是中华优秀传统文化的瑰宝，云南非遗瓦猫既是建筑装饰艺术的结晶，也承载着云南少数民族的精神信仰与文化记忆．请根据下列素材，完成有关任务： 背景 某文创店为推广云南非遗文化，需采购三种规格的瓦猫文创品，已知小号瓦猫单价为30元/个． 素材一 购买5个大号瓦猫与购买6个中号瓦猫花费相同； 素材二 购买2个中号瓦猫的价格比购买一个大号瓦猫多花费40元； 素材三 小号瓦猫、中号瓦猫、大号瓦猫各买一个的价格为140元； 素材四 若该文创店要购买大号瓦猫和中号瓦猫共100个，且中号瓦猫的个数不低于大号瓦猫的个数，又不超过大号瓦猫个数的2倍． 请完成下列任务： (1)任务一：每个大号瓦猫，每个中号瓦猫的价格分别是多少元？ (2)任务二：给出最节省费用的购买方案并求出最低费用． 【变式20-2】（25-26九年级下·云南曲靖·期中）寓意美好且外观可爱的冬奥会吉祥物“冰墩墩”，冬季残奥会吉祥物“雪容融”深受广大群众的喜爱，掀起一股网购热潮．一家商店欲抓住商机，计划购进两种吉祥物礼盒共20盒，已知冰墩墩每盒进价250元，售价300元；雪容融每盒进价160元，售价200元．设该商店购进雪容融盒，售完两种礼盒共获得利润为y． (1)请写出全部售出后利润与雪容融数量之间的函数关系式； (2)若该商店采购两种礼盒总费用不超过3920元，全部售出所得利润不低于850元，请帮该商店判断共有几种采购方案，并求出使得该商店获得最大利润的采购方案及最大利润． 【变式20-3】（25-26八年级下·辽宁大连·期末）综合与实践 活动主题 图书购买方案的选择 活动背景 阅读是提升素养的重要途径，图书采购的性价比直接影响阅读资源的获取成本．某校综合实践小组以“图书购买方案选择”为主题开展项目学习，探究不同书店的购书费用与购买数量之间的函数关系，为班级图书角建设提供最优采购建议． 活动任务 探究甲、乙两个书店销售同一系列图书的费用（元）与购买数量（本）之间的函数关系． 研究步骤 ．采集数据：调研区域内甲、乙两个书店该系列图书的销售规则； ．描述数据：对收集的信息进行整理描述； ．信息分析：形成结论． 采集数据 信息（甲书店）：该系列图书售价为元/本，无论购买多少均无折扣． 信息（乙书店）：该系列图书的基础售价为元/本，但购买量超过本时，超出部分打折销售． 信息（乙书店小票统计）：部分购书记录如下表（验证计费规则合理性）： 购买量/本 … 付款金额/元 … 描述数据   根据信息表中的数值描点，并用平滑曲线连接这些点，分析数据和图像，可以确定自变量在和的范围内都是的一次函数关系． 问题解决： (1)分别写出在甲、乙两个书店购买该系列图书的付款金额（元）与购买数量（本）（且为整数）之间的函数关系式； (2)若班级计划购买一批该系列图书（购买数量为正整数），请通过计算说明：如何选择书店更省钱？ 【题型21 一次函数实际应用（利润类）】 【例21】（2026·山东济南·中考真题）为改善学生视力状况，某学校将课间时间延长至15分钟，倡导学生主动放松眼睛，还准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪．已知购买2台甲型视力训练仪和3台乙型视力训练仪共需花费850元，购买3台甲型视力训练仪和4台乙型视力训练仪共需花费1200元． (1)求甲、乙两种型号视力训练仪的单价分别是多少元？ (2)学校准备购买甲、乙两种型号的视力训练仪共60台，购买甲型视力训练仪的数量不少于乙型视力训练仪数量的2倍，且商家给出了甲型视力训练仪打九折的优惠，请问购买甲型号的视力训练仪多少台时花费最少？最少花费是多少元？ 【变式21-1】（25-26八年级下·山西吕梁·期末）某无人机配件公司销售A，B两种配件，其进价和售价如下表． A配件 B配件 进价/（元/件） 260 80 售价/（元/件） 300 100 若该公司某次购进A配件和B配件共300件，并全部售出，本次销售获得的利润为y元，设购进A配件x件． (1)请直接写出y与x之间的函数解析式（不必写出自变量取值范围）； (2)根据市场分析，A配件的销售量不超过B配件的，问怎样购进配件可使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【变式21-2】（25-26八年级下·福建厦门·期末）今年中考遇端午，愿你一举高“粽”．吃粽子是端午节的传统习俗，市面上最受欢迎的两种粽子是肉粽和蛋黄粽．某超市购进粽子的相关信息如下：每个蛋黄粽的进价比肉粽的进价贵元；购进个肉粽和个蛋黄粽时，总费用为元． (1)求每个肉粽和蛋黄粽的进价； (2)超市将肉粽的售价定为元/个，蛋黄粽的售价定为元/个．超市计划购进这两种粽子共个，根据市场需求，在不超过元总费用的情况下，怎样进货才能使售完两种粽子后获得的利润最大，最大利润是多少元？ 【变式21-3】（25-26八年级下·内蒙古呼和浩特·期末）综合与实践 项目背景 塞上老街是呼和浩特大召旁知名文旅街区，沿街多家门店售卖长短款改良蒙古袍，游客选购需求量大．老街一家民族服饰店从本地手工作坊购进短款日常蒙古袍、长款节庆蒙古袍对外销售． 项目素材 素材1 该服饰店第一次花费4400元购进长款、短款蒙古袍共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款日常蒙古袍 长款节庆蒙古袍 进货价（元/件） 80 120 销售价（元/件） 100 150 第一批蒙古袍全部售罄后，店铺计划二次采购长、短款蒙古袍合计200件（进货价、售价保持不变），且本次总进货成本不高于18000元． 项目任务： (1)任务1：求第一次采购时，短款、长款蒙古袍分别购进多少件． (2)任务2：该服饰店如何规划进货方案，能实现本次销售利润最大化？并计算最大利润． 【题型22 一次函数实际应用（梯度计价类）】 【例22】（25-26八年级下·陕西汉中·期末）某公园计划在健身区铺设广场砖．现有甲、乙两个工程队参加竞标，甲工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间的函数关系如图所示；乙工程队铺设广场砖的费用（元）与铺设面积之间满足函数关系式． (1)当时，求关于的函数解析式； (2)若该公园需要铺设广场砖的面积为，则选择哪个工程队花费更少？ 【变式22-1】（25-26八年级下·陕西榆林·期末）为了鼓励市民节约用水，某地区采用分档计费的方式计算水费．下表是根据户年用水量进行分档计费的标准： 户年用水量（） 水费单价（元/） 不超过的部分 超过的部分 已知A户去年的户年用水量为，去年整年的水费是元，设户年用水量为（），整年的水费为（元）． (1)的值为________； (2)求关于的函数解析式； (3)已知B户去年整年的水费是元，求B户去年的户年用水量． 【变式22-2】（25-26八年级下·山东临沂·期末）某移动通信公司推出了如下两种移动电话计费方式． 月使用费/元 主叫限定时间/分钟 主叫超时费（元/分钟） 方式一 20 200 0.3 方式二 50 500 0.4 说明：月使用费固定收取，主叫不超过限定时间不再额外收费，超过部分加收超时费．例如，方式一每月固定交费20元，当主叫计时不超过200分钟时不再额外收费，超过200分钟时，超过部分每分钟加收0.3元（不足1分钟按1分钟计算）． (1)请根据题意完成如表的填空： 月主叫时间400分钟 月主叫时间700分钟 方式一收费/元 ______________ 170 方式二收费/元 50 ______________ (2)设某月主叫时间为x（分钟），方式一、方式二两种计费方式的费用分别为（元），（元），分别写出两种计费方式中主叫时间x（分钟）与费用（元）、（元）的函数关系式； (3)请计算说明选择哪种计费方式更省钱． 【变式22-3】（25-26八年级下·北京·阶段检测）“618”期间，某商场举行促销活动，活动方案如下：（注：一人只能选择一种方案） 方案 促销方案 方案一 所有服装全场六折 方案二 “满100送100”（如：购买199元服装，赠100元购物券；购买200元服装，赠200元购物券） 方案三 “满100减50”（如：购买199元服装，只需付149元；购买200元服装，只需付100元） (1)小明想买一件上衣和一件裤子，已知上衣的标价为290元，小明通过计算发现，若按方案一购买这两种服装与用方案二先买上衣再买裤子的花费相同（裤子单价高于200元）． ①求裤子的标价； ②请你帮小明设计此次购买应选择哪种方案，并说明理由； (2)小明研究了该商场的活动方案三，发现实际售价（元）可以看成标价（元）的函数，请你写出，当时，关于的函数表达式为____________． (3)小明准备用方案一或方案三购买一件标价为元（）的服装，请直接写出当的取值范围是多少时，用方案三购买更合算？ 【题型23 从函数图象获取信息】 【例23】（25-26七年级下·四川成都·期末）已知某同学家、体育场、图书馆在同一条直线上．如图，图象反映的过程是：该同学从家跑步去体育场，在那里锻炼了一阵后又步行回家吃早餐，饭后骑自行车到图书馆．图中用x表示时间，y表示该同学离家的距离．结合图象，下列结论不正确的是（     ） A．体育场离该同学家2.5千米． B．该同学在体育场锻炼了15分钟． C．该同学跑步的平均速度是步行的平均速度的2倍． D．若该同学骑行的平均速度是跑步的平均速度的1.5倍，则a的值是3.75． 【变式23-1】（25-26八年级下·甘肃平凉·期末）小明和小斌到郊外旅游，小明骑自行车，小斌骑电动车，沿相同路线前往．如图，，分别表示小明和小斌前往目的地所走的路程/千米与所用的时间/时的关系，下列说法错误的是（    ） A．小斌比小明晚走2小时 B．小斌的速度是小明速度的2倍 C．小斌到达目的地时，小明距离目的地还有10千米 D．小斌走了一半的路程时追上小明 【变式23-2】（25-26八年级下·河南郑州·期末）如图，在矩形中，，点P从点B出发，沿方向运动，经过D，C两点到点B停止，点P的速度为，时点P改变速度，速度变为．点P运动过程中的面积S（单位：）与运动时间t（单位：s）的关系图像如图②所示． __________，__________，__________． 【变式23-3】（25-26八年级下·辽宁铁岭·期末）一辆货车从地开往地，同时一辆小汽车从地开往地，两车均匀速行驶，各自到达终点后停止．设货车、小汽车之间的距离为（千米），货车行驶的时间为（小时），与之间的函数关系如图所示． 下列说法中正确的有__________．（用序号填写） ①，两地相距120千米； ②出发小时，小汽车比货车多行驶了60千米； ③出发1小时，货车与小汽车相遇； ④小汽车的速度是货车速度的2倍． 【题型24 一次函数的规律探究】 【例24】（25-26八年级下·河北邢台·阶段检测）如图，在平面直角坐标系中，，，，都是等腰直角三角形，其直角顶点，，，均在直线上．设，，，的面积分别为，，，，依据图形所反映的规律，（     ） A． B． C． D． 【变式24-1】（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在第一三象限角平分线上，过点作y轴的平行线，交第二四象限角平分线于点，以线段为边在右侧作正方形；所在的直线交第一、三象限角平分线于点，交第二、四象限角平分线于点，再以线段为边在右侧作正方形……以此类推，按照图中的规律，则第2025个正方形的边长为______． 【变式24-2】（2025·山东东营·一模）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线分别交轴于点．以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足，过点作分别交直线与于点；以为直角边在其左侧作，且另一直角边满足照此规律进行下去，则的面积为_______． 【变式24-3】（25-26八年级下·全国·期中）已知一次函数y＝2x与y＝﹣x如图所示，点（1，2）在直线y＝2x上，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，过点作平行于y轴交直线y＝2x于点，过点作平行于x轴交直线y＝﹣x与点，以此类推，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【创新思辨】 【题型25 一次函数中的定值问题】 【例25】（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于A、B两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解；直线与轴，轴分别交于C、D两点，且直线上所有点的坐标都是二元一次方程的解，直线a与b交于点E．              图1                                图2 (1)点A的坐标为 ，点D的坐标为 ． (2)图1中，连接，求的面积． (3)如图2，将线段平移到，连接，点是线段 (不包括端点)上一动点，作直线，交直线于点，连接．当P点在线段上滑动时，是否为定值？并说明理由． 【变式25-1】（25-26七年级下·福建福州·期中）在平面直角坐标系中，已知，，且． (1)求点、的坐标； (2)如图，点，平移线段所得的线段的一个端点为点，且点在线段上，对应线段记为； ①若，点的对应点为点，求的面积； ②若，直线交轴于点，求证：为定值． 【变式25-2】（24-25八年级下·湖南益阳·期末）如果一个函数的图象由两分支组成，且每分支都满足随的增大而增大，那么称这个函数为“双赢函数”． (1)已知“双赢函数”的图象经过点和，求该“双赢函数”的表达式． (2)若关于的函数是“双赢函数”（为整数且），其图象与直线（为常数）有两个交点，且点间的距离为定值，求的取值范围． 【变式25-3】（24-25七年级下·湖北孝感·期末）如图，已经为轴上的两点，且满足，将线段平移得到线段，其中点的对应点恰好落在轴正半轴上，三角形的面积为4． (1)求D，C两点的坐标； (2)连接与轴交于点，求点的坐标； (3)若点从点出发，以每秒1个单位长度的速度向上平移运动，同时点从点出发，以每秒2个单位的速度向左平移运动，当点到达点后两点停止运动，若射线交轴于点，设三角形与三角形的面积差为，问：是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由． 【题型26 动点问题的函数图象】 【例26】（25-26七年级下·陕西咸阳·期末）七（1）班同学去兴平茂陵博物馆研学．研学队伍从学校出发，乘坐大巴匀速行驶35分钟后抵达博物馆，参观博物馆历时50分钟．参观结束后，师生换乘车辆按原路匀速返程，因返程高峰，行驶时间比去程多了20分钟．设师生队伍离学校的距离为y米，离校的时间为x分钟，则下列图象能大致反映y与x关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式26-1】（25-26八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）在中，，，，点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线运动，连接，设的面积为，运动时间为秒，则下列图象中大致反映与之间的函数关系的是（     ） A． B． C． D． 【变式26-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）如图是由一个等腰三角形和一段圆弧组成的图形，其中，，点O恰为圆弧所在圆的圆心，一只蚂蚁从点O出发，沿匀速回到点O，运动过程中蚂蚁距离出发点O的距离S随时间t的变化大致可以用图像（     ）来表示． A． B． C． D． 【变式26-3】（25-26八年级下·青海西宁·期末）周末，小明从家出发晨练，他不间断地匀速跑了后回家．小明在整个晨练过程中，离家的距离与晨练时间之间的函数图像如图所示．下列图形中，可大致表示小明晨练的路线的是（     ）． A． B． C． D． 【题型27 一次函数含参分类讨论】 【例27】（24-25八年级下·四川南充·期中）已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【变式27-1】（25-26八年级下·山东德州·期末）当时，对于x的每一个值，函数（）的值都小于函数的值，则k的取值范围是_________． 【变式27-2】（25-26八年级上·浙江绍兴·期末）如图，在平面直角坐标系中，点，B的坐标分别为，，直线的函数表达式为．若线段与直线没有交点，则的取值范围是___________． 【变式27-3】（26-27九年级上·四川成都·开学考试）在平面直角坐标系中，过点作轴的垂线，交直线于点，交直线于点，已知在点从点运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，则的取值范围为_____． 【题型28 一次函数与角度计算综合】 【例28】（25-26七年级下·四川泸州·期末）在直角坐标系中，已知点，，，且是的立方根；方程是关于、的二元一次方程，是的整数部分． (1)求出点，，的坐标； (2)如图2，若，，且，分别平分，，求的度数． (3)如图3，在轴上是否存在一点，使得的面积和的面积相等？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由． 【变式28-1】（25-26七年级下·福建厦门·期末）在平面直角坐标系中，线段的两个端点分别在y轴和x轴上，直线分别交x轴正半轴、y轴负半轴于点C、D，且． (1)如图1，若G是线段延长线上一点，分别作的角平分线与邻补角的角平分线，两线所在直线交于点P． ①若，则的度数为______； ②求的度数． (2)如图2，点A、B、D的坐标分别为、、，是第三象限内一动点，试探究、与之间的数量关系，并求出相应的m的取值范围． 【变式28-2】（25-26七年级下·湖北荆门·期中）如图，在平面直角坐标系中，点A(a，0)，B(b，0)，C(3，2)，且，满足． （1）求三角形的面积； （2）过点作的平行线交轴于点，与的平分线交于点，求的度数； （3）在轴上是否存在点，使得三角形的面积等于三角形的面积？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式28-3】（25-26八年级上·江苏·期末）如图，已知直线：交轴负半轴于点，交轴于点，，点是轴上的一点，且，则的度数为______． 【题型29 一次函数实际应用综合】 【例29】（25-26八年级下·广东广州·期末）某综合与实践小组为了解某款饮水机的工作原理与用电情况，开展了以下研究． 【问题背景】 如图，某饮水机内有两个大小不同的长方体水箱，两水箱各配有一条注水速度相同的智能水管．当甲箱的水位为时1号管启动，将乙箱中的水匀速注入甲箱（此时乙箱水满）．当甲乙两箱的水位相同时，2号管启动，将外部自来水匀速注入乙箱，两水箱分别注满后其对应的水管停止工作（注水期间饮水机不对外出水）． 【问题分析】 该小组根据研究过程分别绘制了甲、乙水箱的水位关于时间的函数图象，如图所示． 【问题解决】 根据以上信息，回答下列问题： (1)函数图象①描述的是水箱 （填“甲”或“乙”）的水位变化情况； (2)求出图中的值； (3)直接写出函数图象②的解析式； (4)为节约能源，设定两水箱的水位差不超过时甲水箱启动加热，已知加热时每分钟耗电度，另外每根水管工作1分钟各耗电度，求图15整个注水过程中饮水机所消耗的电量． 【变式29-1】（25-26八年级下·广东广州·期末）综合与实践：荔枝是广东特产水果之一，以其甜美的口感和独特的风味而闻名．请阅读以下材料，完成学习任务： 材料一：广州市内某批发市场计划运输40吨荔枝到距离本地500千米的甲地出售，为保证荔枝新鲜需用带冷柜的货车运输．现有A，B两种型号的冷柜车，已知A型车的平均速度为60千米/小时，B型车的平均速度为80千米/小时． 材料二：计划两种车型都租用，并要求把所有荔枝全部运完，B型车辆最多不超过5辆，且A型车辆的数量不超过B型车辆数的2倍，已知租用A型车每辆可运5吨，B型车每辆可运4吨． 材料三：冷柜车运输的相关收费如下表所示： 路费单价 冷柜使用单价 2元/千米·辆 A型冷柜车 B型冷柜车 84元/（小时·辆） 96元/（小时·辆） 参考公式：冷柜使用费冷柜使用单价使用时间车辆数目； 总费用路费冷柜使用费 (1)求该市场需要租用 辆冷柜车进行运输； (2)设租用A型冷柜车x辆，总费用为y元，请写出y与x的函数解析式，并求出自变量的取值范围； (3)请帮助该市场设计总费用最低的租车方案，并求出最低费用． 【变式29-2】（25-26九年级下·山东聊城·期中）项目学习：认识杆秤 知识背景：我国古代人民利用杠杆原理制作出了杆秤(如图1)，杆秤也是中华民族称重的基本量具之一． 材料：如图1，可以用秤砣到绳纽的水平距离，来得出秤钩上所挂物体的质量．称重时，若秤杆上秤砣到绳纽的水平距离为x(厘米)时，秤钩所挂物重为y(斤)，则y是关于x的一次函数．下表为使用一个重1斤的秤砣时，若干次称重所记录的数据． x（厘米） 1 2 4 7 8 10 y（斤） 1.5 2 3 4 5 6 根据以上素材，解决下面问题： (1)表格中有一对数据记录错误．在图2中，通过描点的方法，观察判断哪一对是错误的，并求出正确的一次函数关系式； (2)当秤砣到绳纽的水平距离为12厘米时，求秤钩所挂物重是多少斤？ (3)由于使用磨损，原重1斤的秤砣变轻了，换用了一个重0.8斤的新秤砣，但商家没有重新标定刻度，仍然使用原来的刻度(即按 (1)中函数关系读数)．经检测发现：用新秤砣称重时，当秤钩上不挂物体，秤砣需要放在距离绳纽3厘米处才能平衡；当秤钩上挂2斤物体时，秤砣需要放在距离绳纽8厘米处．现用新秤砣称一个物体秤砣放在距离绳纽10厘米处时秤杆平衡．求这个物体的实际重量，以及按原来刻度读出的示数． 【变式29-3】（25-26八年级上·山西晋中·期末）项目式学习 项目主题：为智慧农场设计无人机与运输车协同作业方案． 项目背景：在现代智慧农业中，为大型农田喷洒农药常采用无人机与运输车协同作业的模式．运输车承载农药和操作人员，无人机进行快速喷洒．为确保作业效率与通信稳定，两种设备需保持合理距离．某农场计划对一块长条形标准化农田（长度4.8千米）进行喷洒作业，数学实践小组受邀通过建立函数模型，为此次协同作业设计最优方案． 数据搜集：小组根据设备性能参数，模拟绘制了无人机与运输车从起点出发，驶向农田另一端（4.8千米处）的作业过程．下图中，折线表示无人机行程，线段表示运输车行程，它们分别表示无人机、运输车所走路程（千米）、（千米）与时间x（分钟）之间的函数关系对应的图象．运输车因装载农药，比无人机晚出发；无人机在途中因临时指令停留，随后提速飞往终点． 请结合图象信息，完成下列任务： 分析作业过程：（1）运输车比无人机晚出发______分钟，无人机在途中因接收临时指令停留了______分钟； 建立行程模型：（2）分别求出无人机在接收完指令后（即时段）所走路程，和运输车所走路程，与时间x之间的函数关系式； （3）无人机在接收完指令后，立即提速飞往终点．请问无人机在接收指令时，距离起点多少公里？ 评估协同方案：（4）为保证作业指令实时传输及安全，无人机在接受指令后提速飞行过程中，与运输车之间的路程不超过250米．请通过计算判断：按图象所示的走法，两设备的距离是否符合上述约定？ 【题型30 一次函数与轴对称综合】 【例30】已知一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象经过A（3，﹣1）和B（0，2）两点． （1）求这个一次函数的表达式； （2）将（1）中的一次函数图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的函数图象． ①请画出新函数图象； ②求新函数图象与直线y＝x+的交点坐标； （3）点C（0，t）为y轴上一动点，过点C作直线l垂直于y轴．直线l与新函数图象交于点P（x1，y1），Q（x2，y2），与直线y＝x+交于点N（x3，y3），如果x1＜x3＜x2，请结合函数图象，求出x1+x2+x3的取值范围． 【变式30-1】（2025·浙江台州·三模）把函数的图象在直线下方的部分沿直线翻折后，再把翻折前后的图象中在直线上方部分叫做新函数图象T．当直线与图象T有四个交点时，n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式30-2】（25-26八年级下·四川成都·期末）如图，在平面直角坐标系中，将一次函数在x轴下方的图象沿x轴翻折，x轴上方的图象保持不变，所得的图象对应的新函数记为函数G．若，是函数G的图象上两点，其中，已知t为实数，且当时，都有，则t的取值范围是______． 【变式30-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期末）已知直线，若点满足，且，则称点A，B关于直线对称． (1)点关于直线对称点的坐标为______． (2)若点关于直线的对称点为，点关于直线的对称点为，直线l经过点，则直线l与坐标轴围成的三角形面积为______． 【题型31 多个一次函数图象综合】 【例31】（25-26八年级下·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，正比例函数和一次函数（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式31-1】（26-27九年级·全国·暑假作业）一次函数和 ，在同一平面直角坐标系中的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【变式31-2】（25-26八年级上·全国·期末）一次函数与（m，n常数，且）是在同一平面直角坐标系中的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【变式31-3】（25-26八年级上·安徽合肥·期中）已知，且，则一次函数和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【题型32 含绝对值的一次函数】 【例32】（25-26八年级上·江苏盐城·期中）某数学兴趣小组遇到这样一个问题：探究函数的图象与性质．组员小东根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究，结合绝对值的性质以及函数图象，解决问题：若一次函数的图象与函数的图象只有一个交点，则实数a的取值范围是 __________________． 【变式32-1】（25-26九年级下·湖南娄底·期中）平面直角坐标系中，P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P（x，y）的勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为 _____． 【变式32-2】（25-26八年级下·宁夏银川·期中）在函数学习中，我们经历了“确定函数的解析式——利用函数图象研究其性质——运用函数解决问题”的学习过程．同时，我们也学习了绝对值的意义： 【尝试】探究函数的图象与性质． 此函数是我们未曾学过的函数，于是小明尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是小明的探究过程，请你补充完整． (1)列表： 0 1 2 3 4 2 0 0 根据表格中的信息可得____________． (2)请在给出的平面直角坐标系中，画出这个函数的图象． 【探索】 (3)写出函数的一条性质____________． 【解决问题】结合画出的函数图象，解决问题： (4)关于的不等式的解集为____________． (5)若关于的方程有且只有一个正数解和一个负数解，请直接写出满足条件的的取值范围． 【变式32-3】（24-25八年级下·北京·期末）函数图象在探索函数的性质中有非常重要的作用，下面我们就一类特殊的函数展开探索．画函数的图象，经历分析解析式、列表、描点、连线过程得到函数图象如图所示； -3 -2 -1 0 1 2 3 … 6 4 2 0 2 4 6 … 经历同样的过程画函数和的图象． (1)函数的自变量的取值范围____________． 对于函数，当_________时，． (2)观察发现：三个函数的图象都是由两条射线组成的轴对称图形；三个函数解析式中绝对值前面的系数相同，则图象的开口方向和形状完全相同，只有最低点和对称轴发生了变化． ①图象与图象的交点坐标为___________ ②图象关于__________对称 ③对于函数，当时，的取值范围_____________． (3)探索思考：平移函数的图象可以得到函数和的图象，分别写出平移的方向和距离． (4)拓展应用：，是函数的图象上的任意两点，且满足时，，则的取值范围是_____________． 【题型33 一次函数与面积综合】 【例33】（25-26八年级下·吉林长春·期末）如图，在平面直角坐标系中，点是坐标原点，点在直线上，点在直线上，点与点的横坐标都是（为常数），直线与直线交于点．当点与点不重合时，连结，以为边在的右侧作正方形． (1)点的坐标为________； (2)当时， ①当正方形的周长为12时，求的值； ②证明：的面积是正方形面积的； (3)连结、、、，当的面积是面积的3倍时，直接写出的值． 【变式33-1】（25-26八年级下·河北唐山·期末）如图，在平面直角坐标系中，边长为的正方形由块边长为的小正方形拼成，图中阴影矩形记为区域（包含边界）对于正方形边上的一点，若点在正方形内部且线段与区域有公共点，则称点是点的“盲点”．点的所有“盲点”组成的区域称为点的“盲区”，其面积记为．若点在线段上，且，则点的“盲区”的面积________（用含的代数式表示）． 【变式33-2】（25-26八年级上·安徽池州·期末）如图，在平面直角坐标系中，，均是等腰直角三角形，其直角顶点，在直线上，点，在轴上，且． （1）点的坐标是_______； （2）的面积是_______． 【变式33-3】（25-26八年级下·天津南开·期末）平面直角坐标系中，原点，点在直线上，矩形的顶点坐标分别为，，，．动点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边，边，边，边向终点运动．若点在直线上，且轴．设点运动的时间为． 当时，，两点的位置如图所示．有下列结论： ①当时，； ②当时，的面积的最大值为； ③有两个不同的值满足的面积为．其中，正确结论的个数是（     ） A． B． C． D． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $