27.3实际问题与反比例函数（分层作业，9大题型）数学新教材人教版九年级上册

分层作业 27.3 实际问题与反比例函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 基础概念应用类 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 几何图形类 题型05 反比例函数的其它实际应用 B组 能力进阶 题型01 销售问题 题型02 反比例函数跨学科的实际应用问题 题型03 分段函数问题 C组 思维拔高 题型 选择函数模型解决实际问题 基础概念应用类题型01 1．试举出两个实际生活中运用到反比例函数的例子． 【答案】示例1：路程一定时，物体运动的速度与行驶时间满足反比例函数关系 示例2：矩形面积一定时，矩形的长与宽满足反比例函数关系（答案不唯一） 【详解】略. 2．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．   （1）底边为的三角形的面积随底边上的高的变化而变化； （2）一艘轮船从相距的甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间的关系； （3）在检修长的管道时，每天能完成，剩下的未检修的管道长为随检修天数的变化而变化． 【答案】（1）是；（2）是；（3）不是. 【分析】根据题意先对每一问题列出函数关系式，再根据反比例函数的定义判断变量间是否为反比例函数关系． 【详解】解：（1）两个变量之间的函数表达式为：，是反比例函数； （2）两个变量之间的函数表达式为：，是反比例函数； （3）两个变量之间的函数表达式为：，不是反比例函数． 【点睛】本题考查了反比例函数的定义，重点是掌握反比例函数解析式的一般式y=（k≠0）． 3．【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 【答案】(1)3 (2)函数的“最优值”为3； (3) ①证明：∵ ， ∵， ∴， ∴， ∴无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②的值为或； ③的值为． 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质，二次函数的图象和性质． （1）根据题干中的“纵横值”的值定义和“最优值”的定义计算即可； （2）根据“最优值”的定义计算即可； （3）①根据“最优值”的定义可知，求得，推出无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值，定值为5； ②可知当时，有最大值5，所以可得不在之内，所以或，分两种情况求的值； ③先求得和，由点与点到直线的距离相等，得到点与点关于直线对称或，据此列式计算即可求解． 【详解】（1）解：点的“纵横值”为． （2）解：函数的“纵横值”为， 时，的最大值为， 函数的“最优值”为3； （3）解：①略 ②∵， ∴当时，有最大值5， 当时，， 解得或（舍）； 当时，， 解得（舍）或； 综上，的值为或； ③∵， ∴， ∵，抛物线开口向下，对称轴为， ∴当时，取得最大值， ∵当时，， ∴， ∵点与点到直线的距离相等， ∴点与点关于直线对称或， 当点与点关于直线对称时，，即， 解得； 当时，， 解得，不符合题意，舍去； 综上，的值为． 行程问题题型02 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度与（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据的实际意义解答即可． 【详解】解：∵汽车的速度（千米/小时）与行驶时间（小时）之间的函数关系为， ∴自变量的取值范围是． 故选：A． 2．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t与v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数的图象．根据实际意义，写出函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：根据题意有：， 所以， 故与之间是反比例函数，其图象在第一象限． 故选：D． 3．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为___________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的实际应用，根据函数解析式可得路程，进而根据路程除以速度，即可求解． 【详解】解：设平均速度与行驶时间的关系式为，将代入得，， ∵小禾的爸爸安全行驶的平均速度为， ∴他们通过此测速区间的时间为， 故答案为：． 4．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式； (2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 【答案】（1）s= （2）该轿车可以行驶875千米 【分析】（1）将a=0.1，S=700代入到函数的关系中即可求得k的值，从而确定解析式； （2）将a=0.08代入求得的函数的解析式即可求得S的值． 【详解】（1）由题意得：a=0.1，S=700， 代入反比例函数关系中， 解得：k=Sa=70， 所以函数关系式为：； （2）将a=0.08代入得：S==875千米， 故该矫车可以行驶875千米． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是利用反比例函数图象上的坐标特征求出k值． 5．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 【答案】(1)平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为 (2) 解：∵（小时）， ∴（千米/小时）， ∵汽车行时速度不超过千米/小时，， ∴不能． 【分析】（1）根据表格中数据，可知是的反比例函数，设，利用待定系数法即可求解； （2）上午出发，到上午之前，可知时间为小时，根据（1）中的函数关系，即可求解． 【详解】（1）解：∵，，即每一对与的对应值乘积为一定值，在减小，在增大， ∴与成反比关系，设， 把，代入反比例函数得，， ∴与的表达式为， ∵汽车行时速度不超过千米/小时， ∴， ∴， ∴平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系是反比例函数，表达式为． （2）略 【点睛】本题主要考查反比例函数的实际运用，理解和掌握反比例函数的定义，待定系数法求反比例函数是解题的关键． 工程问题题型03 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据工作量相同，建立等式解答即可． 本题考查了反比例函数的意义，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵一个人完成需10天， ∴一人一天的工作量为， ∵m个人共同完成需n天， ∴一人一天的工作量为， ∵每人每天完成的工作量相同， ∴． ∴， ∴n是m的反比例函数， ∴选取数对，在坐标系中进行描点，则正确的是C． 故选：C． 2．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 【答案】(1) (2)平均每天至少要回填30吨土 【分析】本题考查反比例函数的应用，根据题意列出反比例函数解析式是解题关键. （1）首先根据题意可知总工作量为吨不变，故回填速度v与回填天数t之间为反比例关系，即，变形即可得出v关于t的函数关系式； （2）由得出，再将代入，即可求出v的取值范围． 【详解】（1）设总工作量为k吨，根据已知条件得， ∴v关于t的函数表达式为； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 那么平均每天至少要回填30吨土． 几何图形类题型04 1．某长方体的体积为100cm3，长方体的高h(单位：cm)与底面积S的函数关系式为(       ) A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝100 【答案】B 【分析】根据等量关系“长方体的高=长方体的体积÷底面积”即可列出关系式． 【详解】由题意得：长方体的高h（单位：cm）与底面积S的函数关系式为h=． 故选B． 【点睛】本题考查了反比例函数在实际生活中的应用，解题的关键是找出题中的等量关系． 2．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形的面积公式列出与的函数关系式，再根据的取值范围确定图象所在的象限及形状． 【详解】解：的面积为，一边长为，这边上的高为， ， ， 表示三角形的边长， ， 该函数图象是位于第一象限的双曲线的一支， 观察选项，只有C选项符合． 3．小琪家计划利用一堵长为8m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场．如图，设的长为，的长为，则y关于x的函数关系式为（    ）（包括自变量x的取值范围） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是反比例函数的应用．设的长为，的长为，利用矩形的面积即可求解． 【详解】解：设的长为，的长为， ∴，且，即， ∴， 故选：A． 4．（25-26八年级下·河南南阳·学情诊断）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 【答案】（） 【详解】由三角形的面积公式底高，得，即（）． 5．如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为7米．以点О为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x． (1)请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式； (2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离； (3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围． 【答案】(1)y=-（x-5）2+2； (2)滑行者距滑道起点的水平距离为（+）米； (3)OD长度的取值范围为7≤OD≤12． 【分析】（1）B点既在双曲线上，又在抛物线上，根据题中数据可求出B点坐标．又因为点B为抛物线的顶点，且B点到地面的距离为2米，当甲同学滑到C点时，距地面的距离为1米，距点B的水平距离CF为2米．据此可求出解析式； （2）依据前面的解析式求出A、C的横坐标，它们的差距即为所经过的水平距离； （3）先判断OD的最小值，再根据已知求出OD最大值即可． 【详解】（1）解：B在双曲线y=上，且根据题意yB=2， ∴B（5，2）， ∵B为抛物线BCD的最高点， 则设抛物线BCD的解析式为y=a（x-5）2+2顶点式， 根据题意得此时D （7，0），代入解析式得a（7-5）2+2=0， 解得：a=-， ∴滑道BCD段y与x之间函数关系式为y=-（x-5）2+2； （2）解：令y=1时，则-（x-5）2+2=1， 解得x1=5+，x2=5-（舍去）， ∴C（5+，1）， 将y=6代入y=中得x=， ∴A（，6）， ∴5+-=+， 此时滑行者距滑道起点的水平距离为（+）米； （3）解：根据上面所得B （5，2），D （7，0）时，此时∠BDO=45°， 则D点不可往左，可往右，则OD最小值为7， 又∵， ∴OD≤2OP=12， ∴7≤OD≤12． ∴OD长度的取值范围为7≤OD≤12． 【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，其中涉及点的坐标的求法及二次函数的实际应用，借助二次函数解决实际问题，体现了数学建模思想． 反比例函数的其它实际应用题型05 1．某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量与人口数y的函数关系图象是(    ) A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用．直接根据题意判断即可． 【详解】根据题意可得：Q为一定值，所以该地人均资源享有量 与人口数y与之间是反比例函数关系，函数图象是双曲线，因应大于0，其图象在第一象限， 故选B． 2．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，设y与x的函数关系式为，把代入求解即可． 【详解】解：设y与x的函数关系式为． 将代入上式， 解得：， ∴． 故答案为：． 3．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，关于这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数有以下三种说法：①甲优秀的人数最多；②丙优秀的人数最多；③乙比丁优秀的人数多．其中说法正确的是______．（填写序号）    【答案】② 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，根据乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，得到乙、丁两所学校优秀的人数相同，丙在双曲线的上方，得到的值最大，进而得到丙优秀的人数最多，即可． 【详解】解：由题意：的值即为学校优秀人数的个数， ∵乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上， ∴乙、丁两所学校优秀的人数相同，故③错误； ∵甲在双曲线的下方，丙在双曲线的上方，故丙的的值最大，即丙优秀的人数最多，故①错误，②正确； 故答案为：②． 4．你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示． （1）请写出点P的实际意义； （2）求出y与x的函数关系式； （3）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度． 【答案】（1）当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m；（2）y=（x＞0）；（3）80m． 【分析】（1）根据函数图象可得点P的实际意义； （2）根据反比例函数图象经过点（4，32），利用待定系数法即可求出y与x的函数关系式； （3）把x=1.6代入函数解析式，计算即可求出总长度y的值． 【详解】（1）由图象知，点P的实际意义是：当面条的横截面积是4mm2时，面条的总长度是32m； （2）设y与x的函数关系式为， ∵反比例函数图象经过点（4，32）， ∴，解得， ∴y与x的函数关系式是（x＞0）； （3）当时，y==80． 答：面条的总长度是80m． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求函数解析式，根据图象找出函数图象经过的点的坐标是解题的关键，难度不大． 5．某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价万元，首次付款后每个月应还的钱数y（元）与还钱月数t的关系如图所示．    (1)根据图像写出y与t的函数关系式； (2)求出首次付款的钱数； (3)如果要求每月支付的钱数不多于400元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？ 【答案】(1) (2)1000元 (3)15 【分析】（1）函数图象经过点，根据待定系数法即可求得函数解析式； （2）首付的钱数就是电脑的价值与剩余钱数的差； （3）求出钱数是400元时的月份，根据函数图象的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设函数的解析式是， 把代入得到：， 解得：， ∴函数的解析式是； （2）解：万元元， （元）； 答：首付的钱数为1000元． （3）解：把代入得：， 解得． 答：至少15个月才能将所有的钱全部还清． 【点睛】本题主要考查了反比例函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求出反比例函数解析式． 销售问题题型01 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，根据题意可得每个点的横纵坐标的乘积表示总价，根据四件商品的位置可得甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k，乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k，丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k，据此可得答案． 【详解】解：∵横坐标表示单价，纵坐标表示数量， ∴每个点的横纵坐标的乘积表示总价， ∵甲在反比例函数图象下方， ∴甲的横纵坐标的乘积一定小于反比例函数的比例系数k， ∵乙，丁在反比例函数图象上， ∴乙，丁的横纵坐标的乘积一定等于反比例函数的比例系数k， ∵丙在反比例函数图象上方， ∴丙的横纵坐标的乘积一定大于反比例函数的比例系数k， ∴四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是丙， 故选：C． 2．校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件． (1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？ 【答案】(1) (2)5元/件 【分析】（1）由“销售额=销售量×单价”列出函数关系式； （2）设该物品的售价应定为x元/件，结合“利润=销售量×差价”列出函数式，并解答． 【详解】（1）解：依题意得：， 则； （2）设该物品的售价应定为x元/件， 依题意得：， 解得， 经检验，是方程的根且符合题意． 答：该物品的售价应定为5元/件． 【点睛】此题考查了反比例函数的应用，熟练掌握反比例函数的性质是解本题的关键． 3．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 【答案】（1），；（2）270元；（3）230元 【分析】（1）设y=kx+b，把（280，300），（279，302）代入解方程组即可；观察函数表可知两个变量的乘积为定值，所以固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系，不妨设Q=，由此即可解决问题； （2）求出销售价即可解决问题； （3）根据条件分别列出不等式即可解决问题． 【详解】解：（1）由于销售单价每降低1元，每月可多售出2个，所以月产销量y（个）与销售单价x （元）之间存在一次函数关系， 不妨设y=kx+b，则（280，300），（279，302）满足函数关系式， 得， 解得， 故产销量y（个）与销售单价x（元）之前的函数关系式为； 因为固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间存在反比例函数关系， 不妨设， 将，代入得到， 此时； （2）当时，． 由（1）可知，所以，即销售单价为270元； （3）若，则，即，则固定成本至少是24元， ，解得，即销售单价最低为230元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用、不等式，成本，销售价、销售量之间的关系，解题的关键是理解题意，灵活应用待定系数法解决问题． 4．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 【答案】(1)（，为整数） (2) (3)水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、反比例函数的应用，解题时要能读懂题意，列出关系式是关键． （1）依据题意，根据表格数据，可得与之间成反比例函数关系，故可设，进而计算可以得解； （2）依据题意，将，代入中，求出，即可得解； （3）依据题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元，从而可得，再结合二次函数的性质进行判断可以得解． 【详解】（1）解：由题意，根据表格数据，， 与之间成反比例函数关系． 故可设， ． （，为整数）； （2）解：由题意，将，代入中， ． ． ； （3）解：由题意，设水果店销售甲、乙两种水果的总利润为元，销售甲种水果利润为元，销售乙种水果利润为元， 则 ． ， 当时，最大，最大值为1480元． 答：水果店2月销售甲乙两种水果获得的总利润最大，为1480元． 反比例函数跨学科的实际应用问题题型02 1．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据实际意义以及函数的解析式，根据函数的类型，以及自变量的取值范围即可进行判断． 【详解】解：当F一定时，P与S之间成反比例函数，则函数图象是双曲线，同时自变量是正数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，现实生活中存在大量成反比例函数的两个变量，解答该类问题的关键是确定两个变量之间的函数关系，然后利用实际意义确定其所在的象限． 2．如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的应用，设关于的函数解析式为，把，代入求出解析式，再把代入解析式即可得到结论．正确地求出反比例函数的解析式是解题的关键． 【详解】解：设关于的函数解析式为， 把，代入解析式，得：， ∴关于的函数解析式为， 当时，得：， 解得：， 经检验，是原方程的解且符合题意， ∴该液体的密度为． 故选：C． 3．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．设该反比函数解析式为 ，根据当 时， ，可得该反比函数解析式为 ，再把代入，即可求出电流. 【详解】解：设该反比函数解析式为，由题意得： ， 解得：， ∴该反比函数解析式为， 当 时，. 故答案为：. 4．某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 【答案】(1) (2)至少为才能安全通过 【分析】本题考查了反比例函数的应用，解题的关键是具有一定的物理知识，明确压强、压力及受力面积之间的关系． （1）设p与S的函数表达式为，由图可知，当时，，利用待定系数法即可求解； （2）令压强小于等于，求得面积即可． 【详解】（1）解：设p与S的函数解析式为，由图可知，当时，， 所以有， 解得：， 即：p与S的函数解析式； （2）解：根据题意得，， ∴， 解得， 即若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为才能安全通过． 5．某医药研究所研制并生产治疗同一种病的两种新药，经过统计，有两个成年人同时按正常药量服用，1小时后，服用药品的血液中含药量(微克/毫升)与时间(小时)满足反比例函数，服用药品的血液中含药量(微克/毫升与时间(小时)满足二次函数，如图所示，且在3小时，含药量达到最大值为8微克/毫升， （1）求以及的值； （2）当服用药品的血液中含药量为3.5微克/毫升时，求的值； （3）若血液中药品含量不低于6.5微克/毫升时，药品含量在0.75微克/毫升与4.5微克/毫升之间(包括0.75和4.5)时为疗效时间，求这两种药品均起疗效的时间有多长？(结果保留根号) 【答案】（1）；，；（2）1；（3）两种药品均起疗效的时长为． 【分析】（1）根据题意列方程（组）即可得到结论； （2）把y2＝3.5代入y2＝−x2＋3x＋得到x1＝0，x2＝6，把x＝6代入y1＝即可得到结论； （3）根据题意列方程即可得到结论． 【详解】解：（1）∵点在， ∴ ∵抛物线的顶点坐标为， ∴ ∵也在抛物线上， ∴ 解之得，， ∴， ∴； （2）由题意得， 解之得，(舍去)， 当，； （3）由题意得，， 解之得， 由图象得，产品的疗效时间范围是 当时，， 当，， 由图象得，A产品的疗效时间范围是 由于，， 所以这两种药品均起疗效的时长为． 【点睛】主要考查利用反比例函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息． 分段函数问题题型03 1．（2026·山东威海·模拟）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________ 【答案】①③④ 【分析】水平线段代表恒温阶段，对应值就是恒温系统设定的温度；将点坐标代入反比例解析式中求出即可；恒温区间终点时间减去起点时间即可得出恒温持续时长；分别在升温一次函数和降温反比例函数两段求出对应的横坐标，后用右端点减去左端点即可得到恒温系统在一天内保持温度不低于的总时长． 【详解】解：段是恒温阶段，对应的纵坐标为， 恒温系统设定的温度为，故①正确； 由题意得段过，代入得，解得，故②错误； 段温度在， 温度在的时间有，故③正确； 如图， 由题意得段过，， 设线段的表达式为，（）， 把，代入得，解得， 故线段的表达式为，（）， 令得，解得， 令，解得， 恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有，故④正确． 2．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 【答案】(1) (2)第二天早上能驾车出行 【分析】本题主要考查一次函数、反比例函数的综合运用，掌握待定系数法，一次函数、反比例函数图象的性质是解题的关键． （1）设直线的解析式为，将点代入，运用待定系数法即可求解； （2）根据题意可得，则设双曲线的解析式为，将点代入可得反比例函数解析式，当时，，根据从晚上到第二天早上时间间距为小时，由此即可求解． 【详解】（1）解：依题意，设直线的解析式为， 将点代入得：， 解得：， ； （2）解：当时，，即， ∴， 设双曲线的解析式为，将点代入得：， ， 由得，当时，， 从晚上到第二天早上时间间距为小时， ， 第二天早上能驾车出行． 3．（25-26·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 【答案】(1)药物燃烧时；，药物燃烧后 (2)至少经过分钟后学生才可以回教室 【分析】（1）设，将点代入函数解析式求出即可；设，将点代入函数解析式求出即可； （2）令，然后结合图象进一步求解可得答案．． 【详解】（1）解：设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧时；， 设， ∵函数经过点， ∴，， ∴； 根据函数图象可得 ∴药物燃烧后； （2）解：∵当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒害作用， ∴当时，， 经检验，是原分式方程的解， 由函数图象可知，至少经过分钟后学生才可以回教室． 4．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，改造期间生产数量y（万支）与月份x之间的变化成反比例关系，如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)求出如图所示的函数图象的解析式并直接写出取值范围？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 【答案】(1)y=15x-15（4≤x≤12且x为正整数）； (2)该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【分析】（1）根据题意和图象中的数据，可以计算出技术改造完成前对应的函数解析式，再根据题意和图象中的数据，可以技术改造完成后y与x的函数解析式； （2）直接利用（1）中所求，即可列出相应的不等式组，求解即可，注意x为正整数． 【详解】（1）当1≤x≤4时，设y与x的函数关系式为y=， ∵点（1，180）在该函数图象上， ∴180= ，得k=180， ∴y=（1≤x≤4且x为正整数）， 当x=4时，y==45， 即该疫苗生产企业4月份的生产数量为45万支； 设技术改造完成后对应的函数解析式为y=ax+b， ∵点（4，45），（5，60）在该函数图象上， ∴， 解得：， ∴技术改造完成后对应的函数解析式为y=15x-15（4≤x≤12且x为正整数）， （2） 解得：2≤x≤7 ∵x为正整数， ∴x=2，3，4，5，6，7， 答：该疫苗生产企业有6个月的月生产数量不超过90万支． 【点睛】本题考查反比例函数的应用、一次函数的应用、一元一次不等式组的应用，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键． 5．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 【答案】(1)加速段：，自变量取值范围 ．衰减段： 解析式为，自变量取值范围 ． (2)两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数自变量取值范围的确定及方程的应用，熟练掌握待定系数法求函数解析式、结合自变量取值范围分析实际问题是解题的关键． （1）加速段设一次函数，代入两点求解析式及定义域；衰减段设反比例函数，代入点求解析式及定义域． （2）另一辆车速度用延续的一次函数，分两段列速度差方程，验证解是否在对应定义域内． 【详解】（1）解：加速段：设解析式为，代入，得 ， 解得，， ∴，自变量取值范围 ． 衰减段：设解析式为，代入得 ， ∴解析式为，自变量取值范围 ． （2）解：由题意可得另一辆车速度函数：（）． 当 时，两车速度相同，速度差为0，无法达到10． 当 时，有， ， ， 解得或（舍去）， 经检验，是原分式方程的解． ∴两车的速度差能达到10个单位速度的差距，个单位时间达到此速度差． 选择函数模型解决实际问题题型 1．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了反比例函数的实际应用，正确理解表格得到与成反比例函数关系是解题的关键． （1）观察表格可得是一个定值，即与成反比例函数关系，据此设出解析式利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的值即可得到答案． 【详解】（1）解；根据表格数据的关系，可得与成反比例函数关系， 设，把代入中得：，解得， ∴． （2）解：当时，， ∴当该电磁波的频率为时，它的波长是． 2．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 … 水量 17 32 47 a 77 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值； (2)应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数． 【答案】(1) (2)①的量筒没有装满；②81天 【分析】本题考查了反比例函数的应用，以及一次函数的应用，正确列出函数解析式是解答本题的关键． （1）根据表格中的数据特点分析即可； （2）把代入求出y的值，与比较即可； ②求出30天的漏水量，进而可判断可供一位成年人饮用天数． 【详解】（1）∵， ∴表中的数据不符合． 观察表格， 可发现时间t每增加5分钟， 水量y增加15mL， 故可得 能正确反映水量y与时间t的函数关系． 把和代入得， 解得 ， ∴水量y与时间t的函数关系．   把代入得 （2）①把代入得 ∵ ∴的量筒没有装满   ②∵由函数解析式可知每分钟的滴水量为， ∴30天滴水量， (天) 答：这个水龙头一个月(按30天计)的漏水量可供一位成年人饮用81天． 3．（2025·河南南阳·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 【答案】(1)解：由表格数据可知： 当自变量增加值相同时，平均相对心率增加值不相同，所以该函数不是一次函数； 当自变量增加值相同时，相邻的平均相对心率增加值的差不相同，所以该函数不是二次函数； 当自变量与函数值的乘积不是一个定值，所以该函数不是反比例函数（说理方法不唯一）． (2) (3)方案设计如下： 连续跳绳是热身运动；连续跳绳是减脂运动； 连续跳绳是有氧耐力运动；连续跳绳是无氧耐力运动． 从健康角度考虑，连续跳绳时间不要超过5分钟，即连续跳绳5分钟后需要停下休息． 【分析】（1）根据一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质判断作答即可； （2）设，分别把代入，计算求解，进而可得结果； （3）当时，；当时，；当时，；当时，；当时，；根据样本估计总体，全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律，然后设计方案即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 分别把，代入，得，， 解得：， ． （3）解：． ， 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，． 可以估计全校男生跳绳中的相对心率与持续跳绳时间的关系也符合这一变化规律． 方案略． 【点睛】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式等知识．熟练掌握一次函数、反比例函数、二次函数的的图象与性质，反比例函数解析式是解题的关键． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 分层作业 27.3 实际问题与反比例函数 A组|理解层级|巩固过关；B组|掌握层级|能力进阶；C组|运用层级|思维拔高 目 录 A组 巩固过关 题型01 基础概念应用类 题型02 行程问题 题型03 工程问题 题型04 几何图形类 题型05 反比例函数的其它实际应用 B组 能力进阶 题型01 销售问题 题型02 反比例函数跨学科的实际应用问题 题型03 分段函数问题 C组 思维拔高 题型 选择函数模型解决实际问题 基础概念应用类题型01 1．试举出两个实际生活中运用到反比例函数的例子． 2．写出下列问题中两个变量之间的函数表达式，并判断其是否为反比例函数．   （1）底边为的三角形的面积随底边上的高的变化而变化； （2）一艘轮船从相距的甲地驶往乙地，轮船的速度与航行时间的关系； （3）在检修长的管道时，每天能完成，剩下的未检修的管道长为随检修天数的变化而变化． 3．【定义】在平面直角坐标系中，是函数图象上任意一点，纵坐标与横坐标的差“”称为点A的“纵横值”．函数图象上所有点的纵横值”中的最大值称为函数的“最优值” 【举例】已知点在函数的图象上，则点的“纵横值”为．函数的图象上所有点的“纵横值”可以表示为． 当时，的最大值为，故函数的“最优值”为7． 【问题】根据定义，解答下列问题： (1)点的“纵横值”为________； (2)求函数的“最优值”； (3)已知二次函数． ①求证：无论取何值，该二次函数的“最优值”为定值； ②当时，此二次函数的“最优值”为4，求出的值； ③若此函数的顶点记为点，它的“最优值”所在点记为点，点与点到直线的距离相等，直接写出的值． 行程问题题型02 1．（24-25九年级上·广西来宾·期末）一辆汽车从地开往地，两地距离为300千米，汽车的速度与（小时）之间的函数关系为，那么自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．甲、乙两地相距100km，汽车从甲地匀速行驶到乙地，则汽车行驶的时间t与v（单位：km/h）之间的函数图像是（   ） A． B． C． D． 3．区间测速是指检测机动车通过两个相邻测速监控点之间的路段（测速区间）上平均速度的方法．小禾一家在五一小长假期间出去游玩，发现汽车在安全行驶且不超速的条件下，在某一测速区间内行驶的平均速度与行驶时间之间是反比例函数关系，其函数图象如图所示．若小禾的爸爸安全行驶的平均速度为，则他们通过此测速区间的时间为___________． 4．将油箱注满k升油后，轿车可行驶的总路程s(单位：千米)与平均耗油量a(单位：升/千米)之间是反比例函数关系s＝(k是常数，k≠0)．已知某轿车油箱注满油后，以平均耗油量为每千米耗油0.1升的速度行驶，可行驶700千米． (1)求该轿车可行驶的总路程s与平均耗油量a之间的函数解析式； (2)当平均耗油量为0.08升/千米时，该轿车可以行驶多少千米？ 5．汽车从甲地开往乙地，记汽车行驶时间为小时，平均速度为千米/小时（汽车行时速度不超过千米/小时），根据经验，，的一组对应值如下表； （千米/小时） （小时） (1)根据表中的数据，分析说明平均速度（千米/小时）关于行驶时间（小时）的函数关系，并求出其表达式； (2)汽车上午从甲地出发，能否在上午之前到达乙地？请说明理由． 工程问题题型03 1．（25-26八年级上·江苏泰州·期末）某项工作，一个人单独完成需10天．若m个人共同完成需n天，每人每天完成的工作量相同，选取数对，在坐标系中进行描点，下列选项正确的是（　　） A． B． C． D． 2．一工程中，某工程队工人每天需要挖掘20吨土的深沟，整个工程完毕恰好用了6天. (1)在工程结束后，工人需要把所有的土进行回填，在整个回填过程中，平均回填速度v（单位：吨/天）与回填天数t之间有怎样的函数关系? (2)由于遇到紧急情况，要求整个回填工程不超过4天完毕，那么平均每天至少要回填多少吨土? 几何图形类题型04 1．某长方体的体积为100cm3，长方体的高h(单位：cm)与底面积S的函数关系式为(       ) A．h＝ B．h＝ C．h＝100S D．h＝100 2．面积为2的，一边长为x，这边上的高为y，则y与x的变化规律用图象表示大致是（    ） A． B． C． D． 3．小琪家计划利用一堵长为8m的墙，用篱笆围一个面积为的矩形养鸡场．如图，设的长为，的长为，则y关于x的函数关系式为（    ）（包括自变量x的取值范围） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·河南南阳·学情诊断）一个等腰三角形的面积为，设它底边上的高为x），底边长为y（），则y关于x的函数关系式是________． 5．如图，是某水上乐园为亲子游乐区新设滑梯的示意图，其中线段PA是竖直高度为6米的平台，PO垂直于水平面，滑道分为两部分，其中AB段是双曲线的一部分，BCD段是抛物线的一部分，两滑道的连接点B为抛物线的顶点，且B点的竖直高度为2米，滑道与水平面的交点D距PO的水平距离为7米．以点О为坐标原点建立平面直角坐标系，滑道上点的竖直高度为y，距直线PO的水平距离为x． (1)请求出滑道BCD段y与x之间的函数关系式； (2)当滑行者滑到C点时，距地面的距离为1米，求滑行者此时距滑道起点A的水平距离； (3)在建模实验中发现，为保证滑行者的安全，滑道BCD落地点D与最高点B连线与水平面夹角应不大于45°，且由于实际场地限制，，求OD长度的取值范围． 反比例函数的其它实际应用题型05 1．某地资源总量Q一定，该地人均资源享有量与人口数y的函数关系图象是(    ) A．A B．B C．C D．D 2．你吃过拉面吗？实际上在做拉面的过程中就渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度是面条的粗细（横截面积）的反比例函数，当横截面积为时，面条的总长度为，请写出y与s的函数关系式__________． 3．某市举行中学生数学知识竞赛，如图用四个点分别描述甲、乙、丙、丁四所学校竞赛成绩的优秀率（该校优秀人数与该校参加竞赛人数的比值）与该校参加竞赛人数的情况，其中描述乙、丁两所学校情况的点恰好在同一个反比例函数的图像上，关于这四所学校在这次党史知识竞赛中成绩优秀人数有以下三种说法：①甲优秀的人数最多；②丙优秀的人数最多；③乙比丁优秀的人数多．其中说法正确的是______．（填写序号）    4．你吃过拉面吗？在做拉面的过程中渗透着数学知识：一定体积的面团做成拉面，面条的总长度y（m）是面条的横截面积x（mm2）（x＞0）的反比例函数，其图象如图所示． （1）请写出点P的实际意义； （2）求出y与x的函数关系式； （3）当面条的横截面积是1.6mm2时，求面条的总长度． 5．某品牌计算机春节期间搞活动，规定每台计算机售价万元，首次付款后每个月应还的钱数y（元）与还钱月数t的关系如图所示．    (1)根据图像写出y与t的函数关系式； (2)求出首次付款的钱数； (3)如果要求每月支付的钱数不多于400元，那么首付后还至少需几个月才能将所有的钱全部还清？ 销售问题题型01 1．（2025·浙江绍兴·一模）如图，在平面直角坐标系中，四个点分别表示甲，乙，丙，丁四件商品的数量y与单价x的情况，且乙，丁两件商品所表示的点在同一反比例函数图象上，则四件商品中，总价（总价单价数量）最多的是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 2．校园超市以4元/件的价格购进某物品，为制定该物品合理的销售价格，对该物品进行试销调查．发现每天调整不同的销售价，其销售总金额为定值，其中某天该物品的售价为6元/件时，销售量为50件． (1)设该物品的售价为x元/件时，销售量为y件，请写出y与x的函数表达式(不用写出x的取值范围)； (2)若超市考虑学生的消费实际，计划将该物品每天的销售利润定为60元，则该物品的售价应定为多少？ 3．某玩具厂生产一种玩具，本着控制固定成本，降价促销的原则，使生产的玩具能够全部售出．据市场调查，若按每个玩具280元销售时，每月可销售300个．若销售单价每降低1元，每月可多售出2个．据统计，每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）满足如下关系： 月产销量y（个） … 160 200 240 300 … 每个玩具的固定成本Q（元） … 60 48 40 32 … （1）每月产销量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为______；从上表可知．每个玩具的固定成本Q（元）与月产销量y（个）之间满足反比例函数关系式，求出Q与y之间的关系式； （2）若每个玩具的固定成本为30元，求它的销售单价是多少元？ （3）若该厂这种玩具的月产销量不超过400个，求此时销售单价是多少元？ 4．某水果店今年2月至5月份销售甲、乙两种新鲜水果，已知甲种水果每月售价与x月份之间关系如下表所示： 月份x 2 3 4 5 售价份（元） 12 8 6 4.8 甲种水果进价元/千克与月份x之间满足，销售量P千克与x之间满足． 乙种水果每个月售价与月份x之间满足，对应图象如图所示． 乙种水果进价元/千克与x之间满足，平均每月销售160千克． (1)用所学的函数模型刻画与x之间的函数关系式 (2)求与x之间的函数关系式； (3)试求水果店哪个月销售甲、乙两种水果获得的总利润最大，最大总利润是多少元？ 反比例函数跨学科的实际应用问题题型02 1．当压力F（N）一定时，物体所受的压强p（Pa）与受力面积S（m2）的函数关系式为P＝（S≠0），这个函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 2．如图，综合实践小组的同学们用自制“密度计”测量液体的密度．密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度（单位：）是液体的密度（单位： ）的反比例函数，当密度计悬浮在密度为的水中时，，当密度计悬浮在另一种液体中时，，则该液体的密度为（   ） A． B． C． D． 3．已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为______． 4．某探险队在野外探险时遇到了一片湿地，为了安全通过这片湿地，他们沿着前进的路线铺了若干块木板，构成了一条临时通道．若人和木板对湿地面的压力F一定时，木板对湿地的压强是木板面积的反比例函数，其图像如图所示． (1)求出p与S的函数表达式； (2)若这片湿地面能承受的压强不超过，那么他们所铺的木板面积至少为多少才能安全通过． 5．某医药研究所研制并生产治疗同一种病的两种新药，经过统计，有两个成年人同时按正常药量服用，1小时后，服用药品的血液中含药量(微克/毫升)与时间(小时)满足反比例函数，服用药品的血液中含药量(微克/毫升与时间(小时)满足二次函数，如图所示，且在3小时，含药量达到最大值为8微克/毫升， （1）求以及的值； （2）当服用药品的血液中含药量为3.5微克/毫升时，求的值； （3）若血液中药品含量不低于6.5微克/毫升时，药品含量在0.75微克/毫升与4.5微克/毫升之间(包括0.75和4.5)时为疗效时间，求这两种药品均起疗效的时间有多长？(结果保留根号) 分段函数问题题型03 1．（2026·山东威海·模拟）老李的鱼菜共生系统内装有恒温装置，如图是某天恒温装置从开启到关闭及关闭后，温度与时间的变化图像，其中段是恒温阶段，段是恒温系统关闭阶段，是反比例函数图像的一部分，下列说法中：①恒温系统设定的温度为；②的值为；③温度在的时间有；④恒温系统在一天内保持温度不低于的时间有．其中说法正确的是________ 2．（24-25九年级上·贵州安顺·期末）某生物小组探究“酒精对人体的影响”，资料显示，一般饮用低度白酒毫升后，血液中酒精含量（小时）的关系可近似的用如图所示的图象表示．国家规定，人体血液中的酒精含量大于或等于（毫克/百毫升）时属于“酒后驾驶”，不能驾车上路． (1)求图中线段所在直线的函数表达式； (2)当时，与成反比例关系．假设某人晚上喝完毫升低度白酒，那么此人第二天早上能否驾车出行？请说明理由． 3．（25-26·黑龙江大庆·期中）为了预防流感，大庆市第三十六中学对教室进行“药熏消毒”．已知药物燃烧阶段室内每立方米空气中的含药量y）与燃烧时间x（）成正比例．燃烧完毕后，y与x成反比例（如图）．根据图中信息解答下列问题： (1)请求出药物燃烧时及药物燃烧后，y与x函数关系式及自变量的取值范围； (2)当每立方米空气中含药量低于时，对人体方能无毒副作用．那么从有人开始消毒，至少经过多长时间后学生才可以回教室． 4．某疫苗生产企业于2021年1月份开始技术改造，改造期间生产数量y（万支）与月份x之间的变化成反比例关系，如图所示，技术改造完成后是一次函数图象的一部分，请根据图中数据解答下列问题： (1)求出如图所示的函数图象的解析式并直接写出取值范围？ (2)该企业有几个月的月生产数量不超过90万支？ 5．（25-26八年级上·上海·月考）一款有能量回收功能的电动车的一次加速到停止加速后因能量回收产生的速度衰减过程大致趋势如图，轴为时间轴（单位：每个单位长度为一个单位时间），轴为速度轴（每个单位长度为一个单位速度），研究该车在较短的一段时间内（）的速度的大小关于时间的函数，该车加速的过程近似于一个一次函数图像的一部分，速度衰减过程近似于一个反比例函数图像的一部分． (1)根据图中信息，分别求出两段图像所对应的函数的解析式，并写出各自的定义域； (2)若有另一辆同款电动车，与原电动车同时以同样的起始速度启动加速，但在30个单位时间内都不停止加速，那么两车的速度差能否达到10个单位速度的差距？若可能，问经过多少个单位时间达到此速度差；若不可能，请说明理由． 选择函数模型解决实际问题题型 1．（2025·浙江湖州·一模）电磁波由振荡的电场和磁场构成，我国嫦娥六号探测器就是通过无线电波（电磁波的一种）与地球通信，电磁波的波长）会随着电磁波的频率f（单位：）的变化而变化．已知某段电磁波在同种介质中，波长与频率f的部分对应值如下表： 频率 5 10 15 20 25 30 波长 60 30 20 15 12 10 (1)根据表格中的数据，选择合适的函数模型，求出波长关于频率的函数表达式． (2)当该电磁波的频率为时，它的波长是多少？ 2．水龙头关闭不严会造成滴水，为了调查漏水量与漏水时间的关系，某兴趣小组进行以下试验与探究： 试验：在滴水的水龙头下放置一个能显示水量的容器量筒，每记录一次容器中的水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表中的一组数据． 时间 5 10 15 20 25 … 水量 17 32 47 a 77 … (1)探究：根据上表中的数据，请判断和 （，为常数）哪个解析式能准确的反映水量y与时间t的函数关系？求出该解析式并写出漏记的a值； (2)应用： ①兴趣小组用量筒进行测量，请估计在第30分钟量筒是否滴满？ ②成年人每天大约需饮水，请估算这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一位成年人饮用天数． 3．（2025·河南南阳·三模）某综合实践小组准备研究心率（每分钟心跳次数）与跳绳活动（每分钟跳160次左右）持续时间的关系，用实测心率占最大心率的百分比（也叫相对心率）来描述运动后的即时心率与跳绳持续时间的关系（最大心率年龄）．该小组在九年级学生中随机抽取了20位男生（年龄都是16岁），测试了跳绳持续时间与相对心率，通过计算平均数后得到的数据如下表： 跳绳持续时间（单位：秒） 0 30 60 90 140 … 平均相对心率（%） 40 60 70 76 82 … (1)该小组讨论认为，一次函数、二次函数、反比例函数都不能很好地表示随变化的规律，请你说明理由． (2)该小组请教体育老师和保健医生后知道，随着跳绳持续时间增加，平均相对心率随之增加且增加的速度越来越慢．他们计算表中的值，画出散点图如下图所示，发现是（是常数）的反比例函数，求与之间的函数表达式． (3)该小组查阅资料发现： 热身运动合适的心率范围是最大心率的； 减脂运动合适的心率范围是最大心率的； 有氧耐力运动（锻炼心肺功能）合适的心率范围是最大心率的； 无氧耐力运动合适的心率范围是最大心率的，从健康角度考虑，相对心率不应超过． 根据这些信息，请你帮学校设计一套适合男生跳绳持续时间的训练方案． 试卷第1页（共3页） 1/1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $