26.4 实际问题与二次函数 基础夯实练2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 实际问题与二次函数 基础夯实练2026-2027学年 人教版九年级数学上册 一、单选题 1．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为，门宽为．若饲养室长为，占地面积为，则关于的函数表达式为（   ） A． B． C． D． 2．如图，一座拱桥的纵向截面是抛物线的一部分，拱桥的跨度为4.9m，当水面宽4m时，拱顶离水面2m．有下列结论： ①该抛物线的解析式为：； ②当水面宽度为时，水面下降了； ③当水面下降时，水面宽度增加了 ． 其中，正确结论的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 3．某超市将进价为40元件的商品按50元/件出售时，每月可售出500件．经试销发现，该商品售价每上涨1元，其月销量就减少10件．超市为了每月获利8000元，则每件应涨价多少元？若设每件应涨价x元，则依据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．如图，一名男生推铅球，铅球行进高度（单位：m）与水平距离（单位：m）之间的关系是，他推出铅球的距离为（    ） A．2m B．3m C．8m D．m 5．某新能源汽车配件公司四月份生产配件万个，经过连续两个月的增长，到六月份生产配件达到了万个，设每个月增长的百分率都是，则与的函数表达式是（   ） A． B． C． D． 6．某航空公司对某型号飞机进行着陆后的滑行测试，飞机着陆后滑行的距离（单位：m）关于滑行的时间（单位：s）的函数解析式是，则飞行着陆后停下来需滑行的时间是（    ） A．40秒 B．30秒 C．20秒 D．10秒 7．小明以二次函数的图象为模型设计了一款杯子，如图为杯子的设计稿，若，，则杯子的高CE为（    ） A．21 B．22 C．23 D．24 8．如图，在中，，，，动点P从点B出发，沿向点A以的速度移动，动点Q从点C出发，沿向点B以的速度移动．若P、Q两点分别从B、C两点同时出发，当其中一点到达时两点同时停止运动，则的面积S与出发时间t的函数图像大致是（   ）    A．   B．   C．   D．   9．某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子恰为水面中心，安置在柱子顶端处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，在过的任一平面上，建立平面直角 坐标系（如图），水流喷出的高度与水平距离之间的关系式是 ，则下列结论错误的是（  ） A．柱子的高度为 B．喷出的水流距柱子处达到最大高度 C．喷出的水流距水平面的最大高度是 D．水池的半径至少要才能使喷出的水流不至于落在池外 10．如图为某数字孪生灌区的灌溉渠道轮廓图，可近似看作抛物线的一部分，其两岸的宽度，以点O为坐标原点建立平面直角坐标系，已知该灌溉渠道的深度与到点O的水平距离之间的函数关系式为．某日大雨后，该计算机平台接到指令，进行泄洪，将水位从降低至．若，则泄洪后该灌溉渠道的最大水深为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 11．用长为的铝合金制成如图所示形状的矩形窗框，当_______m时窗户的透光面积最大（铝合金条遮光部分忽略不计）． 12．一名高尔夫球手击出一球，球飞出后的水平距离与球上升的高度满足关系．当球落到地面上时，它飞行了______米． 13．某印刷厂10月份印书20万册，如果第四季度从11月份起，每月的印书量的增长率都为，如果设12月份比10月份多印了万册，那么关于的函数解析式是_____．（不写定义域） 14．如图，是抛物线形沟渠，当沟渠水面宽度时，水深，当水面上升时，水面宽度为________m 15．某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有1个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需要对每个房间每天支出40元的各种费用．则宾馆获得的利润y（元）与房价x（元）（x为10的倍数）之间的函数解析式为______，宾馆利润最大利润是______元． 三、解答题 16．如图，矩形的两边长，，点、分别从A、B同时出发，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动，在边上沿方向以每秒的速度匀速运动．当到达点时，、停止运动．设运动时间为秒，的面积为． (1)填空： ， （用含的代数式表示）； (2)求关于的函数关系式，并写出的取值范围； (3)当为何值时，的面积的最大，最大值是多少？ 17．如图，某隧道的截面由抛物线和矩形构成，矩形的长为，宽为，隧道顶端D到路面的距离为，建立如图所示的平面直角坐标系． (1)求该抛物线的函数解析式； (2)现需在这一隧道内壁上安装摄像头，即在该抛物线上确定一点安装摄像头（大小忽略不计）．已知摄像头到的水平距离为，求摄像头到地面的竖直距离． 18．某学生推铅球，铅球出手点处）的高度是，出手后的铅球沿一段抛物线弧（如图）运行，当运行到最高时，水平距离是． (1)试求铅球行进高度与水平距离之间的函数关系式； (2)如果将轴平移至直线，轴平移至直线，原抛物线不动，在新的坐标系下，求原抛物线弧的函数表达式． 19．如图，某公司要在办公楼前的广场修建一个圆形的喷水池，在池中心竖直安装一根水管，并且在距离池中心地面高的水管处安装一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱与池中心的水平距离为4m时达到最高，高度为．建立如图所示的平面直角坐标系，其中 是水柱距喷水头的水平距离， 是水柱距地面的高度． (1)求抛物线的解析式； (2)求水柱落地处与池中心的水平距离．（结果保留两位小数，参考数据：）． 20．为宣传海洋文化，某文创店计划在一段时间内销售贝壳饰品和栈桥明信片两种文创商品，其中每件贝壳饰品的利润（元）与第天（为整数，且）之间满足一次函数关系，部分销售数据如下表所示： 第天 ．．． 2 3 4 5 ．．． 贝壳饰品每件的利润（元） ．．． 7 7.5 8 8.5 ．．． 已知：贝壳饰品第天销售量满足：；栈桥明信片每套的利润固定为8元，且第天销售量满足：． (1)求每件贝壳饰品的利润（元）与第天之间的函数关系式； (2)若销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套，且每天需支出其他费用500元，求销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为多少元？ 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D C C D D C A C C B 1．【答案】D 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】根据题意表示出垂直于墙饲养室的宽的长度，通过长和宽的实际意义列不等式组求出的范围，再求出矩形面积即可． 本题主要考查了根据实际问题列二次函数关系式，正确表示出饲养室的宽的长度是解题关键． 【详解】解：饲养室长为，则宽为， 由题意， 解得， 则占地面积． 故选：D． 2．【答案】C 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，解题的关键是建立二次函数关系式；因此此题可根据题意得出二次函数关系式，进而问题可求解． 【详解】解：设抛物线的解析式为， 由水面宽时，拱顶离水面，可知点在函数图象上， 将代入中，得， 解得， 故抛物线的解析式为， 故①错误； 当水面宽度为时，即，把代入得： ． 原来水面宽时，则水面下降的高度为， 所以②正确． 当水面下降时，即，把代入得： ，则，解得，此时水面宽度为， 原来水面宽，水面宽度增加了， 所以③正确． 综上，正确结论②③，共2个， 故选：C． 3．【答案】C 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件，根据“总利润=每件衬衫的利润×销售量”列出一元二次方程，解方程后根据题意取舍即可得． 【详解】解: 设这种衬衫每件涨价x元，则销售量为（500-10x）件， 根据题意，得， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，解题的关键是理解题意找到题目中蕴含的相等关系，列出一元二次方程． 4．【答案】D 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，令，求解方程即可； 【详解】解：令，则， 解得：（舍）， ∴他推出铅球的距离为m； 故选：D 5．【答案】D 【知识点】增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了二次函数的应用，设每个月增长的百分率都是，根据题意列出函数表达式即可，读懂题意，列出关系式是解题的关键． 【详解】解：设每个月增长的百分率都是，依题意得：， 故选：． 6．【答案】C 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，由于飞机着陆，不会倒着跑，所以当s取得最大值时，t也取得最大值，即为飞行着陆后停下来需滑行的时间． 【详解】解：， 当时，s取最大值， 即飞行着陆后停下来需滑行的时间为20秒， 故选C． 7．【答案】A 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】首先由求出点的坐标为，然后根据，可知点的横坐标为，代入，得到，所以，又，所以可知杯子高度．本题主要考查了二次函数的应用，求出顶点和点的坐标是解决问题的关键． 【详解】解：， 抛物线顶点的坐标为， ， 点的横坐标为， 把代入，得到， ， ． 故选：A 8．【答案】C 【知识点】动点问题的函数图象、图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了动点问题的函数图像，正确得出函数关系式是解题关键．根据题意表示出的面积S与t的关系式，进而得出答案． 【详解】解：由题意可得， 的面积S随出发时间t的函数关系图像大致是二次函数图像，且开口向下． 故选C． 9．【答案】C 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】在已知抛物线解析式的情况下，利用其性质，求顶点（最大高度），与x轴，y轴的交点，解答题目的问题． 【详解】解：∵y=-x2+2x+3=-（x-1）2+4， ∴当x=0时，y=3，即OA=3m，故A正确， 当x=1时，y取得最大值，此时y=4，故B正确，C错误 当y=0时，x=3或x=-1（舍去），故D正确， 故选：C． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 10．【答案】B 【知识点】其他问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查的是二次函数的实际应用，先求解二次函数的解析式，再求解对称轴方程与顶点纵坐标，判定，再进一步求解即可. 【详解】解：∵， ∴， 把代入， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴顶点纵坐标为：， ∵， ∴， ∴， ∴泄洪后该灌溉渠道的最大水深为， 故选：B 11．【答案】2 【知识点】图形问题(实际问题与二次函数) 【分析】设AB=xm，则 ，根据矩形的面积公式，可得到关于x的函数关系式，然后根据二次函数的性质判断面积的最大值，即可求解． 【详解】解：设AB=xm，则 ， 则窗框的透光面积为 ， ∴当x=2时，窗框的透光面积最大， 即AB=2m时，窗框的透光面积最大． 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，明确题意，列出函数关系式是解题的关键． 12．【答案】 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的应用，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件． 根据题意可以得到当时，的值，即可得到答案． 【详解】解：， 当时， ， 解得，，， 当球落到地面上时，， 当球落到地面上时，它飞行了米， 故答案为：． 13．【答案】 【知识点】函数解析式、增长率问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查了平均增长率的问题．根据10月份的印数表示出12月份的印数即可表示出答案． 【详解】解：根据题意得：． 故答案为：． 14．【答案】 【知识点】拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】建立如图所示的平面直角坐标系，求出抛物线解析式，然后代入即可求解． 【详解】解：建立如图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的解析式为， ∵抛物线过，代入得： ， ∴抛物线的解析式为， 当时，， 解得， ， ∴水面宽度为米． 15．【答案】 10240 【知识点】销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，理清题中的数量关系并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．由题意得y 关于 x 的二次函数，将其写成顶点式，根据二次函数的性质可得答案． 【详解】解：由题意得： ， ，抛物线开口向下， 当时， y 有最大值，为10240， 答：房间定价为360元时，利润最大，最大利润为10240元． 故答案为：，10240． 16．【答案】(1)， (2)； (3)的最大面积是． 【知识点】图形运动问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值问题，根据题意表示出、的长度是解题的关键． （1）根据题意表示出、的长即可； （2）根据三角形的面积公式列式整理即可得解； （3）把函数关系式整理成顶点式解析式，然后根据二次函数的最值问题解答． 【详解】（1）解：由题意得，， 故答案为：，； （2）解：∵，，， ∴， 即； （3）解：由（2）知，， ∴， ∵，当时，随的增大而增大， 而， ∴当时，， 即的最大面积是． 17．【答案】(1) (2)摄像头到地面的竖直距离为 【知识点】待定系数法求二次函数解析式、拱桥问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查了二次函数的应用； （1）先求出抛物线顶点坐标，再按顶点式设出抛物线解析式，代入解析式； （2）令，求出，即可求解． 【详解】（1）解：依题意，该抛物线的顶点坐标为，点的坐标为， 设抛物线解析式为， 代入得，， 解得： ∴该抛物线的函数解析式为 （2）解：依题意，当时， 答：摄像头到地面的竖直距离为 18．【答案】(1)（） (2) 【知识点】投球问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键； （1）根据函数图象设出函数关系式，再将A点坐标代入求解即可求解； （2）设抛物线的表达式，将A点坐标代入即可求解． 【详解】（1）解：由已知可设抛物线的函数表达式是（其中． 抛物线经过了点 解之，得． 故所求的函数表达式为， 令，得或．不合题意，舍去）． 自变量的取值范围是． （2）解：原抛物线的顶点在坐标原点，开口向下，且过点， 所以设抛物线的表达式为， 则解得：， 故所求抛物线弧的函数表达式是． 19．【答案】(1) (2)水柱落地处与池中心的水平距离为米 【知识点】喷水问题(实际问题与二次函数) 【分析】本题考查二次函数的实际运用，解题的关键是掌握二次函数顶点式，函数的性质． （1）设抛物线的解析式为：，把顶点代入，再把，代入，即可； （2）根据（1）中得函数解析式，当时，求出的值，即可． 【详解】（1）设抛物线的解析式为：， ∵顶点坐标为：， ∴， ∵点， ∴， 解得：， ∴函数的解析式为：． （2）由（1）得，函数解析式为：， ∴当时，， 解得：，（舍）， ∴， 答：水柱落地处与池中心的水平距离为：米． 20．【答案】(1) (2)销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元 【知识点】用一元一次不等式解决实际问题、求一次函数解析式、销售问题(实际问题与二次函数) 【分析】此题考查了一次函数和二次函数的应用，求一次函数解析式，一元一次不等式的应用，解题的关键是正确找出题中的等量关系列出表达式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）首先根据题意求出，设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w，表示出，然后利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设 将，代入得， 解得 ∴； （2）解：∵销售期间栈桥明信片每天的销量不低于25套 ∴ ∴ 又∵为整数，且 ∴ 设销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润为w， 根据题意得， ∵ ∴抛物线开口向下，对称轴为直线 ∵，， ∴当时，w有最小值，此时． ∴销售期间该文创店每天销售这两款文创产品的总利润至少为255元． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $